2016春季 初一竞赛经典进阶进度一06勾股定理

1、 勾股定理勾股定理 1 / 8 第六讲 勾股定理 1. 定理：在直角三角形中，斜边直角边。 2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 （需证明） 3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直 角三角形。 4. 如果正整数 a bc、 、满足 222 abc，那么abc、 、叫做勾股数组。 常见的有：3 4 5、 、； 51213、； 6 810、 、； 7 24 25、 、； 9 40 41、 、等。 以勾股数组中的三个数分别为三边长的三角形是直角三角形。 5. 勾股定理的推广：在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外

2、两边的平方和，减去(或加 上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的 2 倍 如左下图，在锐角ABC中， 222 2ABACBCBC CD 如右下图，在钝角ABC中， 222 2ABACBCBC CD（证明见备用） 6. 在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半。 勾股定理勾股定理 2 / 8 1 求图中abc、 、的长。 c 30 90 6C B A CB A 90 3 4 b a 2 2 1 90 C B A 3 a 7 b 33 c 2 如图，Rt ABC中， 0 90C，AB垂直平分线交BC于D，若8BC ，5AD ， 求AC的长。 解：易知：5 DB,3 D

3、C,在ACDRt 中， 由勾股定理得：4 AC 3 如图：AB=AC，ADBC 于 D，AF=FD，AEBC 且交 BF 的延长线于 E，若 AD=9，BC=12，求 BE 的长。 解：AEBC，AEFDBF， AFFD，AFEDFB，AEFDBF（AAS） EFBF 2 1 BE AFFD 2 1 AD，FD. ABAC，ADBC，BDCD 2 1 BC6 在 RtBDF 中， 222 DFBDBF36 4 81 4 225 ，BF 2 15 7.5，BE15. 勾股定理勾股定理 3 / 8 C B A D C B A PCB A OB A B A 4 已知：如图，在ABC中，AB=15，B

4、C=14，AC=13。求ABC的面积。 5 如图，四边形ABCD中，cmAB3cmBC4cmCD12cmDA13，且 0 90ABC，求 四边形ABCD的面积。 解：连接AC，易知cmAC5，又 222 CDACAD， 则 0 90ACD， 2 36cmSSS ACDABCABCD 6 如图，在如图，在ABC中中,ACAB ，点，点 P 是边是边BC上任意一点，试说明上任意一点，试说明 22 ABAPBP CP 证明：过 A 点作 ADBC 交 BC 于 D 点， 在 RtABD 和 RtAPD 中， 222 222 ADDPAP ADBDAB ，所以 2222 DPAPBDAB 所以CPBP

5、DPBDDPBDDPBDAPAB)( 2222 7 一只 2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上， 这时梯脚距离墙角 0.7m， 如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4m， 那么梯脚移动的距离是多少？ 解：由图可知，AB=2.5m,OB=0.7m,AA =0.4m 设 BB=xm 在 RtAOB及 RtA OB中 222 0.72.5OA，可得2.4OAm, 所以 2.40.42OAOAAAm 而 222 (0.7)2.5OAx即 222 2(0.7)2.5x 解得 0.8xm 所以梯脚移动的距离是 0.8m。 勾股定理勾股定理 4 / 8 DC B A 8 如图，在平静的湖面上，有一支红莲 BA，高出

6、水面的部分 AC 为 1m，一阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面（即 AB=DB） ，已知红莲移动的水平距离 CD 为 3m，求湖水深 BC。 解：设湖水深为xm,又 AB=DB，则在 RtBCD 中 222 ) 1(3xx，解得4x。即 BC=4. 9 如图AM是ABC的边BC上的中线，求证： 2222 2()ABACAMBM 解法一：解法一：过过A引引BCAD 于于D由题知设：由题知设：aBCCMBM 2 1 ，bDM 由勾股定理得， 在由勾股定理得， 在ABM 中，中，abbaADbaADBDADAB2)( 22222222 abbaADbaADBCADAC2)( 22222222

7、 )2)(2 2222222 BMAMbaADACAB （ 解法二：广勾股定理：在解法二：广勾股定理：在ABM 中，中，DMBMBMAMAB 2 222 在在ACM 中中DMCMCMAMAC 2 222 由由 得，并注意到得，并注意到MCMB ，所以，所以)(2 2222 BMAMACAB 勾股定理勾股定理 5 / 8 10 如图求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍 证明：设四边形ABCD对角线BDAC、中点分别是PQ、，连接BQDQ、,由上题得，在BDQ 中， 2 2) 2 (222 2 22222 BD PQ BD PQDQBQ ，即 2222 422

8、BDPQDQBQ 在ABC 中，BQ是AC边上的中线，所以)22( 4 1 2222 ACBCABBQ 在ACD 中，DQ是AC边上的中线，所以)22( 4 1 2222 ACCDADDQ 将、代入得 22222222 4)22 2 1 )22 2 1 BDPQACDCADACBCAB （ 即 2222222 PQBDACDACDBCAB 11 （1）如图，DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为 9，Q 的面积为 15，求正方形 M 的面积。 （2）如图，分别以ABCRt的三边为直径向外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积 321 SSS、之间的关系吗？请说明理由？ （3）如图，如果ABCR

9、t的两直角边的长为 3 和 4，以三边为直径作半圆，你能利用（2）的 结论求出图中阴影部分的面积吗？ 勾股定理勾股定理 6 / 8 Q P C B A D I1C A M N 12 如图，P是等边ABC内的一点， 连结PA、PB、PC， 以BP为边作 0 60PBQ， 且BPBQ ， 连结CQ。 （1） 求证：CQAP ； （2） 若5:4:3:PCPBPA，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由。 （3） 若5:4:3:PCPBPA，求APB的度数。 证明： （1）在ABP和CBQ中， ABBC ABPCBQ BPBQ CBQABP CQAP （2）5:4:3:PCPBPA，设aPA3，a

10、PB4，aPC5。 连结PQ，易知BPQ为等边三角形，aPQ4，在PQC中，aPACQ3， aPQ4，aPC5； 222 PCPQCQ，PQC为直角三角形。 （3）由（1）知CBQABP，BQCAPB，连接PQ，由（2）知BPQ 为等边 三角形，PQC为直角三角形。 0 60PQB， 0 90PQC 0 150PQCPQBBQCAPB。 13 如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DMDN，如果 2222 +BMCNDMDN,求证： 222 1 4 ADABAC. 勾股定理勾股定理 7 / 8 A FECB D A FECB 14 如图，已知ABC中，D 是 BC 中点，E 为 AB 上一点，

11、F 为 AC 上一点，若 90EDF，且 222 EFFCBE，求证： 90BAC。 15 如图，ABC中，ACABA， 90，D 为 BC 边上一点，求证： 222 2ADDCBD。 16 如图， 已知ABC为等腰直角三角形， 0 90BAC，E、F是BC边上的点， 且 0 45EAF， 求证 222 EFCFBE。 证法一：把AEB绕A点旋转 0 90至ADC，所以BEDC 。 00 45,90EAFBAC，则 0 45EAFFAD， AFDAEF，即FDEF 。 0 90BCAB，故 0 90FCD， 222 FDFCDC 222 EFCFBE 证法二：过C点作BCCD 使得BEDC ，ACDABEADAE ,，CADBAE， 0 90EAD 00 45,90EAFBAC，则 0 45EAFFAD， AFDAEF，即FDEF 。 222 FDFCDC 222 EFCFBE D B C A E F B C A D 勾股定理勾股定理 8 / 8 1. 已知长方形ABCD中，4AB ，3BC ，折叠长方形ABCD，使AD与对角线BD重合，求 折痕DE的长； 解：在长方形ABCD中，3 BCAD 在DABRt 中，5 22 ADABBD 设xAE ，DAE 和DEF 重合 3 DADF，xE