2024高考数学一轮复习第七章立体几何课时作业41直线平面平行的判定和性质文

PAGEPAGE1课时作业41直线、平面平行的判定和性质[基础达标]一、选择题1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的全部直线中()A．不肯定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在多数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为a与点B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．答案：D2．[2024·河南开封模拟]在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，b∥α或b在平面α内，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．故选D.答案：D3．[2024·石家庄模拟]过三棱柱ABC－A1B1C1的随意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1AA．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.答案：B4．[2024·山东聊城模拟]下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()解析：在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.故选B.答案：B5．[北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任始终线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B二、填空题6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．解析：若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,PA＋AC)＝eq\f(AB,CD)，可求得CD＝20；若P在α，β之间，则eq\f(AB,CD)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,AC－PA)，可求得CD＝4.答案：20或47．[2024·广州高三调研]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝eq\f(1,3)，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝eq\f(2,3)，故NT＝2－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝eq\f(1,3)，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8.[2024·福建泉州模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面PAO①与C重合②与C1重合③为CC1的三等分点④为CC1的中点解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，∴PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，连接PQ，则PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO⊂平面PAO，BQ、BD1⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.故选④.答案：④三、解答题9.[2024·安徽合肥一中模拟]如图，四棱锥P－ABCD中，E为AD的中点，PE⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2eq\r(3)，AC∩BD＝F，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD重心．(1)求证：GF∥平面PDC；(2)求三棱锥G－PCD的体积．解析：(1)证明：连接AG交PD于H，连接CH.由四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC，知eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，又G为△PAD的重心，∴eq\f(AG,GH)＝eq\f(2,1)，在△ACH中，eq\f(AG,GH)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，故GF∥HC.又HC⊂平面PDC，GF⊄平面PDC，∴GF∥平面PDC.(2)由AB＝2eq\r(3)，△PAD，△ABD为正三角形，E为AD中点得PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，又PE⊥平面ABCD，∴VG－PCD＝VF－PCD＝VP－CDF＝eq\f(1,3)·PE·S△CDF，由四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC＝2eq\r(3)，△ABD为正三角形，知DF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∠CDF＝∠ABD＝60°，∴S△CDF＝eq\f(1,2)CD·DF·sin∠CDF＝eq\f(\r(3),2)，∴VP－CDF＝eq\f(1,3)PE·S△CDF＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱锥G－PCD的体积为eq\f(\r(3),2).10.[2024·江西临川二中月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，PA的中点，点Q是BC上一个动点．(1)当Q是BC中点时，求证：平面BEF∥平面PDQ；(2)当BD⊥FQ时，求eq\f(BQ,QC)的值．解析：(1)证明：∵E，Q分别是矩形ABCD的对边AD，BC的中点，∴ED＝BQ，ED∥BQ，∴四边形BEDQ是平行四边形，∴BE∥DQ.又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ.∵F是PA的中点，E是AD的中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF＝E，BE、EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PDQ.(2)连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.∵BD⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA、FQ⊂平面PAQ，∴BD⊥平面PAQ，∵AQ⊂平面PAQ，∴AQ⊥BD，在矩形ABCD中，由AQ⊥BD得△AQB∽△DBA，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BQ,AB)，∴AB2＝AD·BQ，又AB＝1，AD＝2，∴BQ＝eq\f(1,2)，则QC＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BQ,QC)＝eq\f(1,3).[实力挑战]11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A－PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A－PDE的高．因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×4))＝4.又AD＝2，所以VA－PDE＝eq\f(1,