北师大版2025年八年级数学下册章节重点梳理 第1章 三角形的证明【3大考点14种题型】

第1章三角形的证明【3大考点14种题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1等腰三角形】 1【题型1含30°的直角三角形性质的应用】 2【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】 4【题型3等边三角形的性质与判定】 5【题型4解决“一线”的最短路径问题】 7【题型5解决“两线”的最短路径问题】 8【考点2直角三角形】 9【题型6直角三角形全等的判定】 9【题型7直角三角形的性质的应用】 10【题型8勾股定理及其逆定理】 12【题型9命题与定理】 13【考点3线段的垂直平分线、角平分线】 14【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 14【题型11段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 15【题型12角平分线性质的应用】 17【题型13角平分线判定的应用】 18【题型14角平分线性质与判定的综合运用】 19【考点1等腰三角形】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定定等边三角形的方法：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．【题型1含30°的直角三角形性质的应用】【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．

(1)求∠CFE的度数；(2)当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．(1)若∠B=30°，∠APC=70°，求∠CAE的度数；(2)当∠B=30°，AB⊥AC，AB=6时，设AP=x，请用含x的式子表示PD，并写出PD的最大值．【变式1-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥(1)如图1，求证：△CDE是等腰三角形；(2)如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．【变式1-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】【例2】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰△ABC中，AB=BC，高AD、BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接F(1)如图1，当∠ABC=45°时，①求证：BF=AC；②求∠FC(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′【变式2-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．(1)求证：AB=AC．(2)若∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形．【变式2-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于II，交AB于(1)求证：△ANC为等腰三角形；(2)求证：BN=CD．【变式2-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD，BC=AC．(1)求∠C的度数；(2)如图2，点E在CA延长线上，连接BE，BE∥AD，求证：AE=CD；(3)在（2）的条件下，求证：CE−BD=2AB．【题型3等边三角形的性质与判定】【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．【变式3-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别为边AB，(1)求证：△CFE为等边三角形；(2)连接CD交EF于点G，如图2，求证：CG⊥FE；(3)如图3，已知△ABC的面积为8，求△DEF的面积．【变式3-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

(1)如图1，当E为AB的中点时，则AE______DB（填“>”“<”或“=”）．(2)如图2，当E为AB边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，若△ABC的边长为2，AE=3，求CD的长．【变式3-3】（23-24八年级·北京·期末）如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC．D点为射线AH上任意一点，连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．【题型4解决“一线”的最短路径问题】方法总结：（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．【例4】（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为．【变式4-1】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为．【变式4-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在△ACD中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为．【题型5解决“两线”的最短路径问题】【例5】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=（）

A．30° B．45° C．60° D．90°【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村往Q村，要经过两座桥EF，MN．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF，MN的位置，使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）【变式5-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）A．β−α=30° B．β+α=210° C．β−2α=30° D．β+α=200°【变式5-3】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在△ABC和△AEF中，AC=AE，连接CE，CE恰好平分∠ACB，在CE上存在一点D，使∠DAF与∠ACB互为补角，连接AD．

(1)如图1，当∠ACB=60°时，求∠CAE的度数；(2)如图2，当∠ACB=120°，AD=AF时，试说明EF与AC的位置关系；(3)在（2）问的条件下，如图3连接FD并延长，分别交BC，AE于点M，N，若MN=4，AC=BC，P，Q分别为AB和AE上的动点，请直接写出△DPQ周长的最小值．【考点2直角三角形】1.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.2.直角三角形性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.3.直角三角形判定有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【题型6直角三角形全等的判定】【例6】（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，BE(1)求证：BE⊥CD．(2)若∠BAC=30°，试判断△CBD的形状，并说明理由．【变式6-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°【变式6-2】（24-25·重庆江北·开学考试）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点(1)求证：△ACD≌(2)过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE=AE．求证：AF=2CD．【变式6-3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图①，四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC，且AC=AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB=AF．(1)求证：∠DAF=∠CAB；(2)如图②，连接AE，且AE是∠BAF的角平分线，求证：DF=EF+CE．【题型7直角三角形的性质的应用】【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，过点A作AE⊥BD于点E．(1)当BD平分∠ABC，且∠ABC=60°时，求∠BAE的度数；(2)当点D是AC中点，DB=3，且△BCD的面积为94，求AE【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（A．60° B．50° C．40° D．30°【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO=90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，恰好CB′'平分∠OCE【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数；(2)【迁移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数；(3)【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系．【题型8勾股定理及其逆定理】【例8】（2024八年级·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？(1)想一想怎样找出最短路径；(2)如图，若树干周长为3m，葛藤绕一圈升高4【变式8-1】（24-25八年级·全国·期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△DEB沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE(2)如图②，如果点B′落在AC的中点处，求CE【变式8-2】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线．(1)若∠B=54°，求∠ECD的度数．(2)若AB=10，BC=6，求DE的长．【变式8-3】（23-24八年级·四川广元·期末）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：(1)如图1，AB与CD交于点M；①找格点E，使DE∥AB且②直接写出∠AMC的度数．(2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在AB上作点M，使∠CMA=45°．【题型9命题与定理】【例9】（23-24八年级·河南郑州·期末）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？．【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）下面定理中，没有逆定理的是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等【变式9-2】（24-25八年级·上海杨浦·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式．【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有个．①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程12x+7=9x+2【考点3线段的垂直平分线、角平分线】1．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.【例10】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC=7cm，则DC的长为【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，D为BC上一点，CE垂直平分AD交AD于点E，已知AC=5，BC=8，则BD的长为（

）A．3 B．5 C．8 D．18【变式10-2】（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为【变式10-3】（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．【题型11段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】【例11】（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点(1)求证：FC=AD；(2)求证：AB=BC+AD；(3)若四边形ABCD的面积为32，AB=8，求点E到BC边的距离.【变式11-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E．(1)求证：BD是线段CE的垂直平分线；(2)若∠CBD=20°，求∠ADE的度数．【变式11-2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，在AB边上取一点F，使∠ACF=∠CBG，连接CF．(1)求证：AF=CG；(2)试探究线段CF与DE长的数量关系，并对结论给予证明．【变式11-3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．（1）求证：BE=AD．（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【题型12角平分线性质的应用】【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段,得到两条垂线段的长度相等.【例12】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．(1)若AB=6，AC=3，BC=5，可得到结论：BDDC(2)若AB=m，AC=n，BC=t，可得到结论：BDDC(3)图2中，AB=m，AC=n，BC=t，若CE是∠BCA的外角平分线，与BA的延长线交于点E，可得到结论：BEAE【变式12-1】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为18cm，面积为27cm2，则点PA．3cm B．4cm C．6cm【变式12-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点P是线段AD上的任一点（不与A、D重合），PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F，若点D到PE的距离为3，PF=6，则S

【变式12-3】（23-24八年级·云南红河·期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=50°，过点D作AC的垂线，交AC于点E，∠CDE=32°．(1)求∠ADE的度数；(2)若AC=6，S△ADCS△ABD【题型13角平分线判定的应用】【方法总结】证明一条射线(或线段)是角平分线,有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两边距离相等的点在角的平分线上.【例13】（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．(1)求证：BE=AD；(2)若AD，BE交于O点，连接OC，求证：OC平分∠BOD．【变式13-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，S△DCE=S△DBF，且∠BAD=42°，则【变式13-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处?(阴影部分不能修建超市)【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在

【题型14角平分线性质与判定的综合运用】【方法总结】当遇到角平分线问题时,除了常见的作垂线的方法,还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助线方法:①作垂线:已知AP平分∠BAC,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,得PD=PE且,可△ADP≌△AEP;②截长:已知AP平分∠BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP≌△AEP.【例14】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC=α,∠DAB=90°−α2,CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DECA．α2 B．α3 C．30°−α【变式14-1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线BE，CE交于点E，且∠BEC=26°，则∠CAE=．【变式14-2】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．

(1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=7，AD=4，【变式14-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．

(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．

第1章三角形的证明【3大考点14种题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1等腰三角形】 2【题型1含30°的直角三角形性质的应用】 3【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】 9【题型3等边三角形的性质与判定】 15【题型4解决“一线”的最短路径问题】 23【题型5解决“两线”的最短路径问题】 27【考点2直角三角形】 33【题型6直角三角形全等的判定】 33【题型7直角三角形的性质的应用】 37【题型8勾股定理及其逆定理】 42【题型9命题与定理】 46【考点3线段的垂直平分线、角平分线】 48【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 49【题型11段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 52【题型12角平分线性质的应用】 59【题型13角平分线判定的应用】 64【题型14角平分线性质与判定的综合运用】 68【考点1等腰三角形】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定定等边三角形的方法：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．【题型1含30°的直角三角形性质的应用】【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．

(1)求∠CFE的度数；(2)当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．【答案】(1)∠CFE=60°；(2)CF=2BF，证明见解析．【分析】（1）通过SAS证明△DBC≌△EAB得出∠BE=∠BCD，再由∠ABE+∠CBE=60°即可推出结果；（2）过点C作CH⊥BE，垂足为H，通过AAS证明△AFC≌△CHB得出CF=BH，再根据含30°的直角三角形性质推出CF=2FH即可得出结论；本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=∠BCA=60°，AC=CB，在△ADC和△CEB中，AD=CE∴△ADC≌△CEBSAS∴∠CBE=∠ACD，∴∠CFE=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠BCA=60°，（2）证明：过点C作CH⊥BE，垂足为H，

∴∠CHB=90°.∵∠AFC=∠AFE+∠CFE=30°+60°=90°，∴∠AFC=∠CHB，在△ACF和△CBH中，∠AFC=∠CHB∴△ACF≌△CBHAAS∴CF=BH，∵∠FCH=180°−∠CHB−∠CFE=180°−90°−60°=30°，∴CF=2FH，∴BH=2FH，即BF+FH=2FH，∴BF=FH，∴CF=2BF．【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．(1)若∠B=30°，∠APC=70°，求∠CAE的度数；(2)当∠B=30°，AB⊥AC，AB=6时，设AP=x，请用含x的式子表示PD，并写出PD的最大值．【答案】(1)40°；(2)PD=6−x，3；【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．（1）证明△ABC≌△ADE，进而解答即可．（2）根据当AD⊥BC时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可．【详解】（1）解：在△ABC和△ADE中，AB=AD∠B=∠D∴△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵∠B=30°，∠APC=70°，∴∠CAE=∠BAD=∠APC−∠B=70°−30°=40°．（2）解∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=6，AP=x，△ABC≌△ADE，∴AB=AD=6，∴当AD⊥BC时，x最小，PD最大，PD=6−x，∵∠B=30°，AD⊥BC，∴∠APB=90°，∴AP=1∴AP=x=3时，PD有最大值，即PD=AD−AP=6−3=3．【变式1-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥(1)如图1，求证：△CDE是等腰三角形；(2)如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．【详解】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE∥∴∠BCD=∠EDC，∴∠EDC=∠ACD，∴ED=EC；即△CDE是等腰三角形；（2）解：∵DE∥∴∠ADE=∠ABC=30°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=30°，由（1）可知，∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，∵BF=DF，∴∠B=∠BDF=30°，∴∠DFC=30°+30°=60°，在△DFC中，∠FDC=90°,∠FCD=30°，∴DF=1又∵DF=BF,BC=12，∴DF=1【变式1-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t【答案】(1)△BPQ是等边三角形，理由见解析(2)当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形【分析】（1）分别求出BP、BQ的长可知BP=BQ，再由等边三角形的性质得到∠B=60°，即可证明（2）分当∠PQB=90°时和当∠BPQ=90°时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．【详解】（1）解：△BPQ是等边三角形，理由如下；由题意得，当t=2时，AP=2cm，∴BP=AB−AP=4cm∴BP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60∴△BPQ是等边三角形；（2）解；∵运动时间为ts∴AP=tcm，∴BP=AB−AP=6−t如图1所示，当∠PQB=90°时，∵∠B=60∴∠BPQ=90°−∠B=30°，∴BP=2BQ，∴6−t=2t，解得t=2；如图2所示，当∠BPQ=90°时，同理可得∠BQP=30°，∴BQ=2BP，∴26−t解得t=4；综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形．【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】【例2】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰△ABC中，AB=BC，高AD、BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接F(1)如图1，当∠ABC=45°时，①求证：BF=AC；②求∠FC(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′【答案】(1)①详见解析；②45°(2)详见解析【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．（1）①根据题意证明△BDF≌△ADC(ASA②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明△DFC（2）根据题意补全图形，根据题意证明∠DC【详解】（1）解：①证明：∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，∴∠BDF=90°=∠ADC,BD=AD，∵BF是△ABC的高，∴∠DBF=90°−∠C=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∠DBF=∠DACBD=AD∴△BDF≌△ADC(ASA∴BF=AC；②解：如图：由①知：△BDF≌△ADC(ASA∴DF=DC，∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC∴DC=DC∴DF=DC故△DFC∴∠FC（2）解：补全图形如下：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，∵AD是△ABC的高，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵AD,BE是△ABC的高，∴∠ADC=90°=∠BDF=∠BEC，∵∠EBC=∠DBF，∴∠DFB=∠ACD，∴△DBF≌△DAC(AAS∴DF=DC，∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC∴DC=DC∴DF=DC∴∠DC∴∠DC∴C【变式2-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．(1)求证：AB=AC．(2)若∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形．【答案】(1)详见解析(2)除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．（1）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可；（2）由题意求出∠DAE=36°，再求出其他角的度数，即可得到答案．【详解】（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD=AE，∴DE=EF，∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC；（2）证明：解：∵∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，∴2∠DAE=72°，∴∠DAE=36°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°−36°∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°−108°∴∠B=∠BAD,∠C=∠EAC,∠BAE=∠BEA,∠ADC=∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．【变式2-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于II，交AB于(1)求证：△ANC为等腰三角形；(2)求证：BN=CD．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）由AD平分∠BAC交BC于D，可得∠DAB=∠DAC；由CN⊥AD交AD于H可得∠AHN=∠AHC=90°；两者结合由三角形内角和定理可得∠ANH=∠ACH，即可得AN=AC，从而得到△ANC是等腰三角形；（2）连接DN，先证△AND≌△ACD，得到DN=DC，∠AND=∠ACD=2∠B=∠B+∠NDB，从而可得DN=BN，由此即可得到CD=BN．【详解】（1）证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN=∠AHC=90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH=∠CAH，又∵在△ANH和△ACH中，∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∴∠ANH=∠ACH，∴AN=AC，∴△ANC为等腰三角形；（2）证明：BN=CD，理由如下：如图：连接ND，∵△AND和△ACD中：AN=AC∠NAD=∠CAD∴△AND≌△ACDSAS∴DN=DC，又∵∠ACB=2∠B，∴∠AND=2∠B，又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，∴∠B=∠NDB，∴NB=ND，∴BN=CD．【变式2-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD，BC=AC．(1)求∠C的度数；(2)如图2，点E在CA延长线上，连接BE，BE∥AD，求证：AE=CD；(3)在（2）的条件下，求证：CE−BD=2AB．【答案】(1)∠C=36°(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是熟练运用相关知识．（1）根据AB=AD=CD，BC=AC，可得△ABC、△ABD、△ADC都为等腰三角形，从而可得∠C=∠CAD，∠B=∠ADB，∠B=∠BAC，继而得到∠C=∠BAD，将∠B和∠BAC化为∠C的倍数，根据三角形内角和即可解题；（2）根据BE∥AD可得∠E=∠DAC=∠C，∠ABE=∠BAD=∠C=∠CAD，从而得到∠E=∠ABE，△EAB为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解题；（3）根据等腰三角形的性质将AC、AE化为AB+BD和AB即可解题．【详解】（1）解：∵AB=AD=CD，BC=AC，∴△ABC、△ABD、△ADC都为等腰三角形，∴∠C=∠CAD，∠B=∠ADB，∠B=∠BAC，∴∠C=∠BAD，∴∠B=∠BAC=2∠C，∴2∠C+2∠C+∠C=5∠C=180°，∴∠C=36°；（2）证明：∵BE∥AD，∴∠E=∠DAC=∠C，∠ABE=∠BAD=∠C=∠CAD，∴∠E=∠ABE，△EAB为等腰三角形，∴AE=AB=AD=CD；（3）证明：∵BC=BD+DC=AC，AE=AB=AD=CD，AE+AC=CE，∴CE=DC+BD+AE=AB+AB+BD=2AB+BD，∴CE−BD=2AB．【题型3等边三角形的性质与判定】【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．【答案】(1)见解析；(2)60°；(3)见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理．（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，进而求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．【详解】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180°−(∠ADE+∠BED)=60°，（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC，又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，AC=BC∠CAM=∠CBN∴△ACM≌△BCN(SAS∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．【变式3-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别为边AB，(1)求证：△CFE为等边三角形；(2)连接CD交EF于点G，如图2，求证：CG⊥FE；(3)如图3，已知△ABC的面积为8，求△DEF的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键，（1）由等边三角形的性质得出CA=CB，∠C=60°，则可得出（2）由（1）知∠CFE=60°，∠A=60°，得出EF∥AB，由等腰三角形的性质得出（3）证得△DEF是等边三角形，得出CG=DG=12CD，由三角形积公式得出【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴CA=CB，∵E，F分别为边BC，∴CE=1∴CE=CF，∴△CFE为等边三角形；（2）证明：由（1）知，∠CFE=60°，∴EF∥AB，∵D为AB边的中点，∴CD⊥AB，∴CG⊥FE；（3）解：点D，E，F分别为边AB，∴DE=12AC,EF=∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴DE=EF=FD=CF=CE，∴△DEF是等边三角形，∵CF=DF,CE=DE,EF=EF，∴△DEF≌由（2）知：CG，∴CG=DG=1∴S△DEF∵△ABC的面积为8，∴S△DEF【变式3-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

(1)如图1，当E为AB的中点时，则AE______DB（填“>”“<”或“=”）．(2)如图2，当E为AB边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，若△ABC的边长为2，AE=3，求CD的长．【答案】(1)=(2)当E为AB边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析(3)5【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=12∠ACB=30°，然后证∠DEB=∠D，得（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB=EF，即可得出结论；（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECFAAS，由DB=EF=3，BC=2【详解】（1）解：如图1，

∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∠ACB=60°，AE=BE，∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，又∵ED=EC，∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEC=120°，∴∠DEB=120°−90°=30°，∴∠D=∠DEB=30°，∴BD=BE=AE，即AE=DB，故答案为：=．（2）解：当点E为AB上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图2，AE=DB．理由如下：

如图2，过E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECFAAS∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF=3，∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°，∴∠DBE=∠ABC=∠EFC=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∵EF∥BC，∴∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF，在△DEB和△ECF中，∠D=∠CEF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECFAAS∴DB=EF=3，∵BC=2，∴CD=BC+DB=5．【变式3-3】（23-24八年级·北京·期末）如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC．D点为射线AH上任意一点，连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)当∠ADC为钝角时，∠ADC=90°+∠ECA；当∠ADC为锐角时，∠ADC=90°−∠ECA【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ECA≌△DCB是解题的关键．（1）连接AE，DB，CB，可得△ABC为等边三角形，再利用SAS证明△ECA≌△DCB，得BD=EA，从而证明结论；（2）分∠ADC为钝角和∠ADC为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．【详解】（1）证明：连接AE，DB，CB，∵点B与点C关于射线AH对称，∠HAB=30°，∴CD=BD，AC=AB，∴∠HAB=∠HAC=30°，∴∠CAB=2∠HAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∠ACB=60°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE−∠ACD=∠ACB−∠ACD，则∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，EC=DC∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCBSAS∴BD=EA，∵DC=BD=EC，∴AE=EC，又AB=BC，∴EB垂直平分AC；（2）解：解：如图，当∠ADC为钝角时，由（1）知∠ACE=∠BCD，∴∠ADC=90°+∠ECA，如图，当∠ADC为锐角时，∵∠ADC+∠BCD=90°，∠ACE=∠BCD，∴∠ADC=90°−∠ECA．【题型4解决“一线”的最短路径问题】方法总结：（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．【例4】（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为．【答案】5【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+E【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，AQ=2，QD=1.5，∴AD=DC=AQ+QD=3.5，∵AQ=2，AD=DC=3.5，∴QD=DQ∴CQ∴AP=AQ∵∠A=60°，∴△APQ∴PQ∴PE+QE的最小值为5．故答案为：5．【变式4-1】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为．【答案】7【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作CH⊥AB于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于BD对称点N′，连接MN′，则MN=MN′，由CM+MN=CM+MN′≥CH得当C、M、N′【详解】解：∵BD平分∠ABC，如图，过C作CH⊥AB于H，作N关于BD对称点N′∴N'在AB连接MN′，则CM+MN=CM+MN′≥CH，当C、M、N′共线且∵在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为7，∴S△ABC∴CH=7即CM+MN的最小值为72故答案为：72【变式4-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在△ACD中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】连接BP，由△ECP≌△BCP得BP=EP，EP+AP=BP+AP，根据BP+AP≥AB知，当点P在线段AB上时，EP＋AP的最小值是【详解】解：连接BP，∵CF平分∠BCE交AD于点F，∴∠ECP=∠BCP∵CE=CB，CP=CP，∴△ECP≌△BCPSAS∴BP=EP，∵EP＋AP=BP+AP且∴当点P在线段AB上时，EP＋AP的最小值是∵AB=7，∴EP＋故选：B

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为．【答案】10【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接BP，证明△ABP≌△ACPSAS，即可得到CP=BP，得PD+PC=PD+PB，再根据当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10．添加辅助线，构造PD+PC=PD+PB【详解】解：如图，连接BP，∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，则∠ABP=∠CAP，又∵AB=AC，AP=AP，∴△ABP≌△ACPSAS∴BP=CP，∴PD+PC=PD+PB≥BD，∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值为10，故答案为：10．【题型5解决“两线”的最短路径问题】【例5】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=（）

A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．

∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村往Q村，要经过两座桥EF，MN．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF，MN的位置，使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）【答案】见解析【分析】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作l1、l3的垂线，垂足分别为A、B，在PA上截取PC等于河宽，在BQ上截取QD等于河宽，连接CD交l2，l4于E、M，分别过点E、M作l1【详解】解：如图所示，分别过点P和点Q作l1、l3的垂线，垂足分别为A、B，在PA上截取PC等于河宽，在BQ上截取QD等于河宽，连接CD交l2，l4于E、M，分别过点E、M作l1易证明CD+PC+QD的长即为最短路径长．【变式5-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）A．β−α=30° B．β+α=210° C．β−2α=30° D．β+α=200°【答案】D【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∠OQN=180°−20°−∠ONQ【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB由轴对称的性质得∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∠OQN=180°−20°−∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ，∴α+β=180°−20°−∠ONQ+20°+20°+∠ONQ=200°．故选：D．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式5-3】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在△ABC和△AEF中，AC=AE，连接CE，CE恰好平分∠ACB，在CE上存在一点D，使∠DAF与∠ACB互为补角，连接AD．

(1)如图1，当∠ACB=60°时，求∠CAE的度数；(2)如图2，当∠ACB=120°，AD=AF时，试说明EF与AC的位置关系；(3)在（2）问的条件下，如图3连接FD并延长，分别交BC，AE于点M，N，若MN=4，AC=BC，P，Q分别为AB和AE上的动点，请直接写出△DPQ周长的最小值．【答案】(1)120°(2)EF(3)4【分析】（1）根据题意确定∠ACE=∠AEC=30°，再利用三角形的内角和计算即可；（2）由题干条件推出△ACE为等边三角形，然后进一步证明△ADC≌△AFE，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可；（3）首先将D沿AB对称至D′，AE对称至D″，可确定且D′，D″分别在EC、EF上，并连接D′D″，此时与AB和AE交点即为所求P、Q【详解】（1）解：∵∠ACB=60°，CE恰好平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=1∵在△ABC和△AEF中AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=30°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠AEC=180°−30°−30°=120°；（2）证：∵∠ACB=120°，CE恰好平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=1∵AC=AE，∴△ACE为等边三角形，∠CAE=∠AEC=60°，∵∠DAF与∠ACB互为补角，∴∠DAF=60°，∴∠DAF=∠CAE=60°，∴∠DAF−∠DAE=∠CAE−∠DAE，即：∠CAD=∠EAF，在△ADC和△AFE中，AC=AE∴△ADC≌△AFESAS∴∠AEF=∠ACE=60°，∴∠ACE+∠CEF=60°×3=180°，∴EF∥（3）解：由（2）可知，∠AEF=∠AEC=60°，∵AC=BC，CE恰好平分∠ACB，∴CE垂直平分AB，如图所示，将D沿AB对称至D′，沿AE对称至D″，且D′，D″分别在连接D′D″，此时与AB和AE交点即为所求P∴此时，△DPQ的周长最小，且N、Q两点重合，此时，△DPQ周长的最小值即为D′

由（2）可得∠EAB=30°，由对称的性质可得：∠D′A∴△AD∴D′∵△ADF为等边三角形，∴DF=AD，∴D′此时，过D点作DK∥AC，交BC于

∴∠DKM=∠FEN=60°，∠KDM=∠EFN，∵∠BCE=60°，∴△KDC为等边三角形，DK=DC，由（2）知，DC=EF，∴DK=EF，在△KDM和△EFN中，∠DKM=∠FEN∴△KDM≌△EFNASA∴MD=NF，∴MD+DN=NF+DN，即：MN=DF=4，∴D′∴△DPQ周长的最小值为4．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键．【考点2直角三角形】1.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.2.直角三角形性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.3.直角三角形判定有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【题型6直角三角形全等的判定】【例6】（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，BE(1)求证：BE⊥CD．(2)若∠BAC=30°，试判断△CBD的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析;(2)△CBD是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）先证明Rt△EBC≌Rt△EBDHL，再推出（2）先证明∠CBD=60°，再根据BD=BC，即可证明△CBD是等边三角形；本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和RtBD=BCEB=EB∴Rt△EBC≌∴∠CBE=∠DBE，∵BD=BC∴△BDC是等腰三角形，∴BF⊥CD，∴BE⊥CD；（2）解：△CBD是等边三角形，理由如下：∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠CBD=60°，又∵BD=BC，∴△CBD是等边三角形．【变式6-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明CB=C′B′，再利用【详解】证明：∵AD与A′D′∴CB=2CD，C∵CD=C∴CB=C在Rt△ABC和Rt△AAB=A∴Rt△ABC≌Rt△A【变式6-2】（24-25·重庆江北·开学考试）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点(1)求证：△ACD≌(2)过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE=AE．求证：AF=2CD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．（1）由“HL”即可证△ACD≌（2）由直角三角形的性质可得∠EAF+∠B=90°，∠B+∠BCE=90°，从而得出∠EAF=∠BCE,再由“AAS”可证△AEF≌△CEB，可得【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD和RtAC=ABAD=AD∴Rt△ACD（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠AEF=∠CEB=90°，∴∠EAF+∠B=90°，∴∠EAF=∠BCE，在△AEF和△CEB中，∠EAF=∠BCE∠AEF=∠CEB∴△AEF≌∴BC=AF，∵Rt△ACD∴CD=BD，∴BC=2CD，∴AF=2CD．【变式6-3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图①，四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC，且AC=AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB=AF．(1)求证：∠DAF=∠CAB；(2)如图②，连接AE，且AE是∠BAF的角平分线，求证：DF=EF+CE．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）根据题意证明∠AFD=∠B，进而根据HL证明△ADF≌△ACB，即可求解；（2）连接AE，由（1）证明可得△ADF≌△ACB，DF=CB，证明Rt△AEF≌Rt△AEB【详解】（1）证明：∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∵∠B=90°，∴∠AFD=∠B，在Rt△ADF和RtAD=AC∴△ADF≌△ACB．∴∠DAF=∠CAB；（2）证明：连接AE，由（1）证明可得△ADF≌△ACB，∴DF=CB，在Rt△AEF和RtAE=AE∴Rt∴EF=EB，∵BC=BE+CE=EF+CE，∴DF=EF+CE．【题型7直角三角形的性质的应用】【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，过点A作AE⊥BD于点E．(1)当BD平分∠ABC，且∠ABC=60°时，求∠BAE的度数；(2)当点D是AC中点，DB=3，且△BCD的面积为94，求AE【答案】(1)∠BAE=60°；(2)AE=3【分析】（1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；（2）由点D是AC中点得S△ADB=S此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ABE=30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°−30°=60°；（2）解：∵点D是AC中点，∴AD=DC，∵S△ADB=1∴S△ADB∵S△ADB∴32∴AE=3【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得∠ABC+∠1=180°，则有，∠ABC=50°再根据垂直的定义得∠BDC=90°，然后利用，∠ABC+∠2=90°计算∠2的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵a∥∴∠ABC+∠1=180°，∵∠1=130°，∴∠ABC=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠2=90°，∴∠2=40°，故选：C．【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO=90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，恰好CB′'平分∠OCE【答案】12【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出∠OHC=∠CB′A′=129°，进而求出∠CHE=51°，根据直角三角形两锐角互余求出∠ECH=39°【详解