弹性力学-第八章-平面问题的极坐标解答

第八章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。弹性力学主讲邹祖军第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程§8-2平面轴对称应力问题§8-3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板§8-4匀速转动的圆盘§8-5曲梁的纯弯曲§8-6曲梁一端受径向集中力作用§8-7圆孔对应力分布的影响§8-8集中力作用于全平面§8-9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体主要内容

弹性力学主讲邹祖军第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程A.直接坐标与极坐标间的关系第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程(a)(b)(c)(d)如图8.1第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程(e)又(f)求导(g)利用式(d)和式(f),则二维梯度算子(Hamilton算子)在极坐标中的表达式第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程即(8.1)Laplace算子(8.2)极坐标中的位移(8.3)径向位移环向位移B.极坐标下的几何方程第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程位移的左梯度

(h)应变张量(8.4)利用从式(h)和式(8.4)得几何关系(8.5)第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程直接推导几何方程(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOPBA第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程(3)总应变整理得：（8.5）——极坐标下的几何方程第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程C.极坐标下的平衡方程体积力矢量(8.6)(8.7)剪应力互等定理极坐标下的平衡方程(8.8)第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程1.极坐标中的微元体体力：应力：PA面PB面BC面AC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——

r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOPABC直接推导极坐标的平衡方程第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）xyOPABC2.平衡微分方程第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：xyOPABC第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程xyOPABC——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（8.8）方程（8.8）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程D.极坐标下的物理方程(8.9)对平面应变问题,E和V分别换成E1和V1即可E.极坐标下的应力协调方程极坐标下体积力的散度由不变量得(h)(i)第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程将(h)和(i)代入式(7.17)得(7.17)(8.10)上式即为平面应力问题极坐标形式的应力协调方程,将v换为v1即可得平面应变问题极坐标形式的应力协调方程设体积力为有势力.则(8.11)直角坐标为新坐标,极坐标为老坐标则由由张量变换得(j)第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程由(7.20)和(e)(7.20)(k)比较(k)与(j)得(8.12)应力函数表示的协调方程是标量方程,形式不变即平面应力平面应变(8.13)F应力分量的坐标变换式(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量第八章平面问题的极坐标解答§8-1基本方程§8.2平面轴对称应力问题无体积力,且与θ无关.求解方法：——逆解法A.轴对称问题应力分量与协调方程（1）应力分量（a）（2）协调方程B.协调方程的求解将协调方程表示为：4阶变系数齐次微分方程将其展开，有第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题——4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题方程的特征根为：于是，方程的解为：将代回：（b）——轴对称问题协调方程的通解，A、B、C、D

为待定常数。C.应力分量将方程（b）代入应力分量表达式（8.14）——轴对称平面问题的应力分量表达式第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题D.位移分量对于平面应力问题，有物理方程（c）积分式（c）第一式，有第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题（d）——是任意的待定函数将式（d）代入式（c）中第二式，得将上式积分，得:（e）——是r

任意函数将式（d）和式（e）代入(c)的第三式，得或写成：要使该式成立，两边须为同一常数。第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题（f）（g）式中F为常数。对其积分有：（

h）其中H为常数。对式（g）两边求导其解为：（i）（j）将式（h）(i)（j）代入式（d）

（e），得（d）（e）（8.15）第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题平面轴对称问题小结：（b）（1）应力函数（2）应力分量（8.14）（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由应力和位移边界条件确定。第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由应力和位移边界条件确定。由式（8.15）可以看出：应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。对于完整的圆环域,根据位移单值性条件,从（8.15）第二式可看出：第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题从（8.15）第二式还可看出：H只引起环向刚体转动位移Ｈr，如图若把常数Ｉ及Ｋ相应的位移记为第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题(8.17)相应的直角坐标系，则说明Ｋ是x方向的平移，Ｉ是y方向的平移．对整环或圆域的轴对称问题，如不考虑刚体位移，则(8.16)又平面问题极坐标下的平面问题的基本方程（8.5）几何方程：（8.8)物理方程：（8.9）平面应力情形（8.9a）平面应变情形平衡微分方程：第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）相容方程：（8.13a）——常体力情形的相容方程。应力分量计算式：（8.12a）第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题弹性力学极坐标求解归结为（1）由问题的条件求出满足式（8.13a）的应力函数（8.13a）（2）由式（8.12a）求出相应的应力分量：（8.12a）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：（位移单值条件）第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题（1）应力分量（8.12b）（2）相容方程轴对称问题的应力分量与相容方程：第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题平面轴对称问题小结：(b)（1）应力函数（2）应力分量（8.14）（3）位移分量（8.15）式中：A、B、C、H、I、K

由应力和位移边界条件确定。第八章平面问题的极坐标解答§8.2平面轴对称应力问题§8-3圆环或圆筒受均布压力压力隧洞A.圆环或圆筒受均布压力已知：求：应力分布。确定应力分量的表达式：（8.14）边界条件：（a）将式（8.14）代入，有：（b）第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定求解。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项要使单值，须有：B=0，由式（b）得将其代回应力分量式（8.14），有：第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板（8.18）（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：——具有圆形孔道的无限大弹性体。边缘处的应力：第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板B.压力隧洞问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压q作用，求圆筒的应力。1.分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的厚壁圆筒；(b)仅受外压作用的无限大弹性体。确定外压p的两个条件：径向变形连续：径向应力连续：2.求解第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板2.求解(1)圆筒的应力与边界条件应力：（a）边界条件：(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：（b）边界条件：将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板4个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。上式也可整理为：(c)(d)第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板利用：(e)要使对任意的成立，须有(f)对式（f）整理有，有0第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板(g)式（g）中：将式（g）与式（c）（d）联立求解(c)(d)（4-16）当n<1时，应力分布如图所示。第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板讨论：（1）压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。完全接触：接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：位移：（1）非完全接触（光滑接触）应力：位移：接触条件：第八章平面问题的极坐标解答§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板§8-4匀速转动的圆盘由问题的几何形状与外力（体力）均对称于轴O，因而为轴对称问题。

等厚度圆盘，半径为a，均匀旋转的角速度为ω，回转轴为O，圆盘的密度为ρ，求：圆盘内的应力与位移。1.等厚度圆盘（1）问题的描述圆盘内任一点具有加速度（径向）：圆盘内任一点具有惯性力（径向）：由此可见，该问题为一变体力的问题，体力分量为：——沿r方向线性变化的体力所以有：axyOrA第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘（2）平衡方程、相容方程与应力函数平衡方程：（a）将上式两边同乘以r,有引入函数，使得：（b）这里也称为应力函数。——应力分量计算式（但不是常体力下的应力函数）第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘相容方程：（变形协调方程）轴对称问题的几何方程为：（c）在式（c）中消去位移分量，有：——应变表示的变形协调方程（相容方程）由平面应力情形下的物理方程：（b）代入上式，有再将应力分量式（b）代入，并整理得（d）第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘（d）两边同除r2也可简写成：将上式对r积分一次，得：两边同乘以r，并积分，得：——应力函数表示的相容方程应力函数：两边同除以r，并整理，得：第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘再将应力函数代入应力分量式（b），有（e）式中：A、B

为任意常数。由定解条件确定。（3）应力分量应力有界条件：对实心圆盘，为保证r=0

处应力的有界性，应取：边界条件：——自动满足代入式（e），有axyOrA第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘（f）最大应力点位于圆盘的中心：（4）位移分量由几何方程，可得：（g）最大位移点位于圆盘的边缘：axyOrA第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘axyOrA最大位移点位于圆盘的边缘：2.变厚度圆盘作为自学（一般了解）内容第四章平面问题的极坐标解答§8-4匀速转动的圆盘§8-5曲梁的纯弯曲1.问题及其描述矩形截面曲梁：内半径为a，外半径为b，在两端受有大小相等而转向相反的弯矩M作用（梁的厚度为单位1），O为曲梁的曲率中心，两端面间极角为β。取曲梁的曲率中心O为坐标的原点，并按图示建立坐标系。由于各截面上弯矩M相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为z轴）。2.应力分量1.曲梁的应力第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲3.边界条件——自然满足（1）（2）将应力分量代入，有（a）（b）注：此处为单连体问题，（3）端部：（c）（d）由轴对称问题应力分量式将其代入式（c）第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲（c）（d）轴对称问题应力分量式：代入式（c），有代入式（d），有（分部积分）00第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲将其代入，有整理，有（d）（a）（b）联立求解式（a）（b）（d）,可求得：第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲其中：将其代入应力分量式，有（8.20）其截面上的应力分布如图：第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲讨论：（1）（2）中性轴（）距内侧纤维较近，离外侧较远，中性轴不过截面形心。（3）中性轴与材力中比较：

关于截面不再成线性分布，而是成双曲线分布。但在曲率不大时这种影响较小；

挤压应力实际不为零；2.曲梁的位移第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲2.曲梁的位移假定：（8.15）代入位移分量式（8.15），确定得代回位移分量式（8.15），即得相应的位移分量。这里只给出环向位移：第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲将上式对变量r求导，得由上式可知：当θ

一定时，曲梁截面任意径向线段dr转角都相同，即平面保持平面。

表明：材力中纯弯曲曲梁的平面保持平面假设是正确的。第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲

问题：图示为带有一微小张角α缺口的圆环，若将此圆环焊成一整环，试求此时环内的内力矩M。解：要使该圆环焊成一整环，需在两端加上一对平衡力矩M。MM使其产生环向位移为：由两端受力偶作用时的环向位移计算式：由前面系B的计算式：代入应力分量式，可求出圆环中的装配应力。第八章平面问题的极坐标解答§8-5曲梁的纯弯曲

矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为a，外半径为b，一端固定，另一端受径向集中力作用。（1）应力函数的确定分析：任取一截面m-n

，截面弯矩为由材料力学初等理论，可知截面上正应力由此假定：再由应力分量与应力函数间的关系，可推得：将其代入相容方程

（a）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用§8-6曲梁一端受径向集中力作用

（b）该方程可转变为欧拉方程求解，其解为

（c）代入应力函数为（2）应力分量的确定

（8.22）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用边界条件：代入应力分量得：端部条件：代入剪应力分量得：联立求解得：第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用其中，代入应力分量式（8.22），有：

（8.22a）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用

（d）

（e）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用求位移:将应力代入本构关系(8.9)得应变,将应变代入几何关系(8.5)得位移

（f）积分（f）第一式

（g）

将（g）代入(f)第二式积分整理得

（h）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用

将（g）和(h)代入(f)第三式整理得

（i）上式成立必须两边同时等于一个常数F

（j）

（k）

对（j）求导得

（l）

方程（k）的通解

（m）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用

利用(l),(m),从（i）得

（n）将(l)和(n)代入

(g)和(h)得位移

（8.23）H,K和L为常数,由约束确定,对应项为刚体位移第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用切口处相对径向位移为由(8.23)得代入式(d)的最后一式得

（o）代入式(d)求出A,B,再由式(8.22)示出应力§8-7圆孔对应力分布的影响1.孔边应力集中概念

由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：

带有圆孔的无限大板（B>>a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。求：孔边附近的应力。第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（2）问题的求解

问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。A

取一半径为r=b(b>>a），在其上取一点A的应力：OxybAArA由应力转换公式：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（a）新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界问题1（b）（c）baba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（a）问题1ba

问题1的解：内边界外边界（b）

该问题为轴对称问题，其解为当b>>a时，有（d）第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响

问题2的解：ba问题2（非轴对称问题）内边界外边界（c）

由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。

又由极坐标下的应力分量表达式：可假设应力函数为：

将其代入相容方程：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（e）

与前面类似，令：有

该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（f）ba问题2

相应的应力分量：

对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界外边界（c）(g)第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba问题2代入应力分量式（g）,有

（h）第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响将问题1和问题2的解相加,得全解：

（8.24）讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正应力：3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y轴，θ=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——齐尔西（G.Kirsch）解第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（3）沿x轴，θ=0°，环向正应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用叠加后的应力：（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：

45°第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响第四章平面问题的极坐标解答§8.8集中力作用于全平面§8-8集中力作用于全平面

如图8.11应力分量可为(a)周期为只有当n=0时,应力分量关于x轴对称才能成立,式(a)为(b)a,b,c是r的函数,应力([力][长度]-1)与P([力][长度]-1)成正比,用因次分析法得第四章平面问题的极坐标解答§8.8集中力作用于全平面(c)将(c)代入平衡方程得(d)以任意r为半径割出一个圆,考虑整体平衡则将(c)代入上式得(e)(f)B由位移单值条件确定第四章平面问题的极坐标解答§8.8集中力作用于全平面(g)(g)中K,L,H三个与刚体位移相对应的常数,要使位移单值,必(h)应力分量为(8.25)对平面应力第四章平面问题的极坐标解答§8.8集中力作用于全平面略去刚体位移,则(8.26)直角坐标系下的位移(8.27)式中将代入上式得对平面应变,V和E分别换成V1和E1即可式(8.27)或(8.28)是平面问题的基本解或Kelvin解,在边界元法中起着关键作用A.楔顶受有集中力偶M作用（1）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：将其代入协调方程：

（a）xyOM第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

§8-9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

（b）（2）应力分量的确定xyOM第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

xyOM边界条件：（1）——自然满足第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

（c）

（b1）xyOMab（2）代入应力分量表达式（b1）,得：

（8.29）——英格立斯（C.E.Inglis）解答说明：另外两个边界条件，一定自动满足。楔顶的边界条件：第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

特殊情况：xyOM说明：

前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力P和集中力偶M的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。

前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

xyOPB.楔顶受有集中力P作用

楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力P，与中心线的夹角为β，求：（1）应力函数的确定因次分析法：由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：

（d）将其代入相容方程，以确定函数：第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

得：xyOP——4阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其中A，B，C，D为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：xy（对应于无应力状态）第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

（2）应力分量的确定xyOP(3)边界条件：（1）——自然满足（2）楔顶的边界条件：ab任取一圆弧，其上的应力应与楔顶的力P平衡。

（e）将式（e）代入，有：第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

积分得：可解得：代入式（e）得：

（8.30）

——密切尔（J.H.Michell）解答xyOPab第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

两种特殊情况：P（1）（2）两种情况下的应力分布：应力对称分布应力反对称分布PxyOabxyOab第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

（3）PxyO无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

C.楔形体一侧面上受有均布面力

作用（1）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：将其代入相容方程：

（f）得到：第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

该方程的解为：

（4-24）（2）应力分量的确定

（g）边界条件：由此可确定4个待定常数。第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

可求得：将常数代入应力分量表达式，有第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

axyOxyO第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

xyOaaxyOaxyOa第八章平面问题的极坐标解答§8.9在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体

§8-10边界上受法向集中力作用的半平面PxyO1.应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到

（8.31）——极坐标表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得

（4-27）或将其改为直角坐标表示，有第八章平面问题的极坐标解答§8-10边界上受法向集中力作用的半平面

（8.32）2.位移分量——直角坐标表示的应力分量假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为将式（8.31）代入PxyO第八章平面问题的极坐标解答§8-10边界上受法向集中力作用的半平面由几何方程(a)(b)(c)积分式（a）得，(d)将式（d）代入式（b），有积分上式，得(e)第八章平面问题的极坐标解答§8-10边界上受法向集中力作用的半平面将式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使上式成立，须有：第八章平面问题的极坐标解答§8-10边界上受法向集中力作用的半平面不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有式中，常数H，I，K由边界条件确定。(f)PxyO(d)(e)第八章平面问题的极坐标解答§8-10边界上受法向集中力作用的半平面常数I须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。(f)由式（f）得：(g)由问题的对称性，有：Pxy