初中数学竞赛辅导资料初三

初中数学竞赛辅导资料(45)

一元二次方程的根

甲内容提要

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.

根公式是：xJ土国-4ac—《心。)

2a

2.根的判别式

①实系数方程ax，bx+c=O(aWO)有实数根的充分必要条件是：

b2—4ac^0.

②有理系数方程ax2+bx+c=0(aW0)有有理数根的判定是：

b2-4ac是完全平方式O方程有有理数根.

③整系数方程x，px+q=O有两个整数根Op?—4q是整数的平方数.

3.设Xi,X2是ax，bx+c=O的两个实数根，那么

①axi2+bxi+c=0(aWO,b2—4ac^0),ax22+bx2+c=0(aWO,b2—4ac^0)；

-b-\-^b2-4ac

②xi=---------------

la

2

③韦达定理：Xi+X2=——,xiX2=—(aWO,b—4ac^0).

aa

4.方程整数根的其他条件

整系数方程ax2+bx+c=0(aWO)有一个整数根X1的必要条件是：勺是c的因数.

特殊的例子有：

C=0Ox—,a+b+c=OOxi=l，a-b+c=O<^>Xi=-1.

乙例题

例1.已知：a,b,c是实数，且a=b+c+l.

求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.

(1990年泉州市初二数学双基赛题)

证明(用反证法)

设两个方程都没有两个不相等的实数根，

那么△WO和△zWO.

1—46<0①

即Va2-4c<0②

a=6+c+l③

23代入③，得

由①得bb+1

44

a—c=b+l^—,4cW4a—5④

4

②+④：a?—4a+5W0,

即(a-2)2+1^0,这是不能成立的.

既然△1或()和△zWO不能成立的，那么必有一个是大于0.

.,.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.

本题也可用直接证法：当△1+42>0时，则和中至少有一个是正数.

例2.已知首项系数不相等的两个方程：

(a—1)X2—(a2+2)x+(a2+2a)=0^0(b—1］一面+2汝+面+21))=0(其中a,b为正整数)

有一个公共根.求a,b的值.

(1989年全国初中数学联赛题)

解：用因式分解法求得：

方程①的两个根是a和—；方程②两根是b和"2.

a-1b-1

由已知a>l,b>l且aWb.

•八口b+2-〃+2

..公共根是a=-------或b=-------.

b-1a-1

两个等式去分母后的结果是一样的.

即ab—a=b+2,ab—a-b+l=3,(a-l)(b-1)=3.

a-1=1tz—l=3

・・・a,b都是正整数,或

Z-1=3<b-l=l

a=2a=4

解得<或<

b=4b=2

又解：设公共根为XO那么

(a—1)%；—(。之+2)x+(a?+2a)=0CD

°。先消去二次项：

—(Z?2+2)x+(〃+2b)=0②

①X(b-1)—②义(a-1)得

2222

[一(a+2)(b-l)+(b+2)(a-l)]x0+(a+2a)(b-1)-(b+2b)(a-1)=0.

整理得(a—b)(ab—a—b—2)(xo—1)=0.

.,.x()=l；或(ab—a—b—2)=0.

当x()=l时，由方程①得a=l,

.'.a-1=0,

.•.方程①不是二次方程.

.•.xo不是公共根.

当91?一2—13—2)=0时，得(a—l)(b—l)=3.......解法同上.

例3.已知：m,n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根

差相等.

求：m+n的值.(1986年泉州市初二数学双基赛题)

解：方程①两根差是

H_电|=_刀2)2=J(X]+%2)2—4%1%2=飞府—4n

同理方程②两根差是

耕_%|=J"-4m

依题意，得dm2-4n=y/n2—4m.

两边平方得：m2—4n=n2—4m.

/.(m—n)(m+n+4)=0

Vm^n,

m+n+4=0,m+n=-4.

例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(aW0)没有有理数根.

证明：设方程有一个有理数根一(m,n是互质的整数).

n

为B么a(——)2+b(——)+c=0,即an2+bmn+cm2=0.

nn

把m,n按奇数、偶数分类讨论，

・・・m,n互质，，不可能同为偶数.

①当m,n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数+奇数+奇数=奇数W0；

②当m为奇数，n为偶数时，anZ+bmn+cn?是偶数+偶数+奇数=奇数W0；

③当m为偶数，n为奇数时，ai?+bmn+cn?是奇数+偶数+偶数=奇数W0.

综上所述

不论m,n取什么整数，方程a(—K+b(—)+c=0都不成立.

nn

即假设方程有一个有理数根是不成立的.

...当a,b,c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(aW0)没有有理数根.

例5.求证：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和

面积比都等于k(k2l).(1983年福建省初中数学竞赛题)

证明：设矩形A的长为a,宽为b,矩形B的长为c,宽为d.

根据题意，得£±@=a=左.

a+bab

c+d=(a+b)k,cd=abk.

由韦达定理的逆定理，得

c,d是方程z?—(a+b)kz+abk=O的两个根.

△=[一(a+b)k]2—4abk

=(a2+2ab+b2)k2—4abk

=k[(a2+2ab+b2)k-4ab]

Vk^l,a2+b2^2ab,

a2+2ab+b2^4ab,(a2+2ab+b2)k^4ab.

AA^O.

一定有c,d值满足题设的条件.

即总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(kNl).

例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？

①(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；②10?+(1?-2以一(1<+2)=0.

解：①用因式分解法求得两个根是：x—,x=—.

1=女+12k~l

由xi是整数，得k+l=±l,±2,±3,±4,±6,±12.

由X2是整数，得k—1=±1,±2,±3,±6.

它们的公共解是：得k=0,2,-2,3,-5.

答：当k=0,2,-2,3,—5时，方程①有两个整数解.

②根据韦达定理

左2—2,2

%]+尤2-------------------=一忆—

kk

k+272

=----——k—

kk

：X1,X2,k都是整数，

.-.k=±l,±2.(这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.)

把k=l,—1,2,—2,分别代入原方程检验，只有当k=2和k=-2时适合.

答：当k取2和一2时，方程②有两个整数解.

丙练习45

1.写出下列方程的整数解：

①5x2-V3x=0的一个整数根是.

②3x2+(V2-3)x一a=0的一个整数根是.

③*2+(岔+1)*+括=0的一个整数根是.

2.方程(1—m)x2—x—1=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是.

3.已知方程x2—(2m—l)x—4m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m=.

4.若xWy,且满足等式x?+2x—5=0和y?+2y—5=0.

那么4+°=.(提示：x,y是方程z?+5z—5=0的两个根.)

%y

5.如果方程x?+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系

是：.(1986年全国初中数学联赛题)

6,若方程ax?+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么两实数根的符号必是.

(1987年泉州市初二数学双基赛题)

7.如果方程mx?—2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m—5)x?—2mx+m=0实数根

的个数是().

(A)2(B)1(C)0(D)不能确定(1989年全国初中数学联赛题)

8.当a,b为何值时，方程x2+2(l+a)x+(3a?+4ab+4b?+2)=0有实数根？

(1987年全国初中数学联赛题)

9.两个方程x?+kx—1=0和x?-x—k=0有一个相同的实数根，则这个根是()

(A)2(B)-2(C)1(D)-1(1990年泉州市初二数学双基赛题)

10.已知：方程x?+ax+b=0与x?+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：

11.已知：方程x?+bx+l=0与x?—x—b=0有一个公共根为m,求：m,b的值.

12.已知：方程x?+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程x2—a?x+ab=0的两个实数根.

试求a,b的值或取值范围.(1997年泉州市初二数学双基赛题)

13.已知：方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根和等于si，两根的平方和等于s2,两根的立方和等

于S3.

求证：as3+bs2+csi=0.

14.求证：方程x?—2(m+l)x+2(m—1)=0的两个实数根，不能同时为负.

(可用反证法)

15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0

的两个实数根.

求证：(a—c)(b—c)(a—d)(b—d)=(p—q)2.

16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个方程是：

.(1990年泉州市初二数学双基赛题)

17.如果方程(x—1)(X?—2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m

的取值范围是()

333

(A)OWmWl(B)mN—(C)—<m(l(D)—WmWl

444

(1995年全国初中数学联赛题)

18.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是整数)的两个实数根为a,B且0<a<l,

1<3<2,那么k的取值范围是()

(A)3<k<4(B)-2<k<-l(C)3<k<4或(D)无解

(1990年全国初中数学联赛题)

初中数学竞赛辅导资料为(46)

完全平方数和完全平方式

甲内容提要

一定义

i.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.

4

例如0,1,0.36,—,121都是完全平方数.

25

在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.

2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.

如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.

例如：

在有理数范围m2,(a+b-2)2,4x2-12x+9,144都是完全平方式.

在实数范围(a+V3)2,X2+2V2X+2,3也都是完全平方式.

二.整数集合里，完全平方数的性质和判定

1.整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位数字为2,3,7,8

的整数必不是平方数.

2.若n是完全平方数，且能被质数p整除，则它也能被p2整除..

若整数m能被q整除，但不能被q2整除，则m不是完全平方数.

例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.

又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.

三.完全平方式的性质和判定

在实数范围内

如果ax?+bx+c(aWO)是完全平方式，贝I]b2—4ac=0且a>0；

如果b2-4ac=0且a>0；则ax2+bx+c(a=0)是完全平方式.

在有理数范围内

当b2-4ac=0且a是有理数的平方时，ax，bx+c是完全平方式.

四.完全平方式和完全平方数的关系

1.完全平方式(ax+b)2中

当a,b都是有理数时,x取任何有理数，其值都是完全平方数；

当a,b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.

2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.

例如：n2+9,当n=4时，其值是完全平方数.

所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.

五.完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系

1.在整系数方程ax2+bx+c=0(aW0)中

①若b?-4ac是完全平方数，则方程有有理数根；

②若方程有有理数根，则b2—4ac是完全平方数.

2.在整系数方程x2+px+q=0中

①若p?-4q是整数的平方，则方程有两个整数根；

②若方程有两个整数根，则p2—4q是整数的平方.

乙例题

例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.

证明：设五个连续整数为m—2,m—l,m,m+l,m+2.其平方和为S.

那么S=(m—2)2+(m—1)2+m2+(m+1)2+(m+2)2

=5(m2+2).

Tn?的个位数只能是0,1,4,5,6,9

・・・m，2的个位数只能是2,3,6,7,8,1

.・・m2+2不能被5整除.

而5(m2+2)能被5整除，

即S能被5整除，但不能被25整除.

・・・五个连续整数的平方和不是完全平方数.

例2m取什么实数时，(m—l)x2+2mx+3m—2是完全平方式？

解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得

[△=0

当且仅当《时，(m—l)x29+2mx+3m—2是元全A平方式

m—1>0

△=0,即(2m)2—4(m—l)(3m—2)=0.

解这个方程，得mi=0.5,m2=2.

解不等式m—1>0,得m>l.

m=0.5或m=2

即《

m>1

它们的公共解是m=2.

答：当m=2时，(m—l)x2+2mx+3m—2是完全平方式.

例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.

求证：a=b=c.

证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得

原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc

•・,它是完全平方式，

即4(a+b+c)2—12(ab+ac+bc)=0.

2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ca=0,

(a—b)2+(b-c)2+(c—a)2=0.

要使等式成立，必须且只需：

a-b=0

<b-c=0

c-a=0

解这个方程组，得a=b=c.

例4.已知方程x?—5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.

解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.

可设△=m2(m为整数),

即(-5)2—4k=m2(m为整数)，

“日i25-m

斛得，k=.

4

・・・k是非负整数，

.^25-m2>0

“25-加2是4的倍数

由25—n?》。，得忸45,即一5WmW5；

由25—n?是4的倍数，得m=±l,±3,±5.

25-m2

以m的公共解士1,±3,±5,分别代入卜=-------.

4

求得k=6,4,0.

答：当k=6,4,0时，方程x?—5x+k=0有两个整数解

例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+l)=0没有有理数根.

证明：(用反证法)设方程有有理数根，那么△是整数的平方.

：△=(8k)2-16(k2+l)=16(3k2-l).

设3k2—1=n?(m是整数).

由3k2—m2=l,可知女和!11是一奇一偶，

下面按奇偶性讨论3k2=m2+l能否成立.

当k为偶数，m为奇数时，

左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；

右边m"除以4余1,m?+1除以4余2.

等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，

左边k2除以4余1,3k2除以4余3

右边n?是4的倍数，n^+l除以4余1

.••等式也不能成立.

综上所述，不论k,m取何整数，3k2=m2+l都不能成立.

；.3k2—1不是整数的平方，16(3k2-1)也不是整数的平方.

/.当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+l)=0没有有理数根

丙练习46

1.如果m是整数，那么m2+l的个位数只能是.

2.如果n是奇数，那么d—1除以4余数是—,「+2除以8余数是,3n2除以4

的余数是—.

3.如果k不是3的倍数，那么k?—1除以3余数是.

4.一个整数其中三个数字是1,其余的都是0,问这个数是平方数吗？为什么？

5.一串连续正整数的平方俨，22,32,.............,1234567892的和的个位数是.

(1990年全国初中数学联赛题)

6.m取什么值时，代数式X?—2m(x—4)—15是完全平方式？

7.m取什么正整数时，方程x2—7x+m=0的两个根都是整数？

8.a,b,c满足什么条件时,代数式(c—b)x?+2(b—a)x+a—b是一个完全平方式？

9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：

①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.

10.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.

11.已知四位数是平方数，试求a,b.

12.已知：n是自然数且n>l.求证：211—1不是完全平方数.

13.已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+l是完全平方数，求整数a和b的值.

14.已知：a,b是自然数且互质，试求方程X?—abx+,(a+b)=0的自然数解.

2

(1990年泉州市初二数学双基赛题)

15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是()

(A)17(B)18(C)35(D)36

(1990年全国初中数学联赛题)

初中数学竞赛辅导资料(47)

配方法

甲内容提要

1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

(a±b)2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.

常用的有以下三种：

①由a?+b2配上2ab,②由2ab配上a2+b2,③由a2±2ab配上b?.

2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

①用完全平方式来因式分解

例如：把x4+4因式分解.

原式=x4+4+4x2—4X2=(X2+2)2—4x2...........

这是由a?+b2配上2ab.

②二次根式化简常用公式：=|«|,这就需要把被开方数写成完全平方式.

例如：化简,5-2日

我们把5—2痣写成2—2及g+3

=(V2)2-2V2A/3+(73)2

=(V2-V3)2.

这是由2ab配上a2+b2.

③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.

即：a?》。，.•.当a=0时，a?的值为0是最小值.

例如：求代数式a?+2a—2的最值.

*.*a2+2a—2=a2+2a+1—3=(a+1)2—3

当a=-l时，a2+2a-2有最小值一3.

这是由a2±2ab配上b?

④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需

要配方.

例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.

解：方程x?+y2+2x-4y+1+4=0.

配方的可化为(x+1)2+(y—2)2=0.

x+1=0

要使等式成立，必须且只需1

y-2=0

x=-1

解得

b=2

此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识

和技巧.

乙例题

例1.因式分解：a2b2—a2+4ab—b2+1.

解：a2b2-a2+4ab-b2+l=a2b2+2ab+l+(-a2+2ab-b2)(折项，分组)

=(ab+1)2—(a—b)2(配方)

=(ab+l+a-b)(ab+1-a+b)(用平方差公式分解)

本题的关金建是用折项，分组，树立配方的思想.

例2.化简下列二次根式：

①TT+ZTT；②A/2-V3；③710-473+27?.

解：化简的关键是把被开方数配方

①，7+4百="+2x2有+3=7(2+V3)2

=〔2+Vs|=2+V3.

③J10-4J3+2拒=^10-47(72+1)2

=710-4(72+1)

=^6-472="-2x2行+2=7(2-V2)2

例3.求下列代数式的最大或最小值:

①X2+5X+1；②一2x?—6x+l.

5225

解：①x?+5x+1—X2+2X—x+-——+1

、24

…"4

24

V(X+-)220,其中0是最小值.

2

S21

即当x二一时，X2+5X+1有最小值一一

24

②—2x2—6x+l_(23X--)

=2X+2

23991

=-2(X2+2X-X+----------)

2442

3

—2(x+—)2・0,其中0是最大值，

2

311

・••当x=——时，—2x2—6x+l有最大值一.

22

例4.解下列方程：

①X4—x2+2xy+y2+1=0；(g)x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.

解：①(X4—2X2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折项，分组)

(X2—l)2+(x+y)2=0.(酉己方)

根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.

%2-1=0

得

%+y=0

%—1,x=-l

或

b=l

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2—2y+l=0.(折项，分组)

(x+y)，6(x+y)+9+y2—2y+l=0.

(x+y+3)，(y—1)2=0.(配方)

.1x+y+3=0.[x=-4

y-1=0[y=l

例5.已知：a,b,c,d都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2,则mn也可以表示为两个整

数的平方和，试写出其形式.(1986年全国初中数学联赛题)

解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2

=a2c?+b2d?+2abcd+a2d2+b2c2—2abcd(分组，添项)

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6.求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

22

解：x-4x+16+y+10y+25=25(添项)

(X—4)2+(y+5)2=25(配方)

：25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.

(x-4)2=0-[(x—4)2=25—f(x—4产=9+(x-4)2=16

。或〈.或〈.或〈.

0+5)2=251(y+5)2=01(y+5)2=16(y+5)2=9

x-4=0x=4

由《得＜

、y+5=5j=0

,x=4x—9x——1

同理，共有12个解1\\

y=_10[y=-5[y=-5

丙练习47

1.因式分解：

@x4+x2y2+y4；@x2-2xy+y2-6x+6y+9；@x4+x2-2ax-a2+1.

2.化简下列二次根式：

____________________ar

①+12x+9+-\/4x2-20X+25(――<x<—)；

22

——3x+2

(l<x<2)；

x+2

⑦(14+6A/^)4-(3+y/~5)；⑧(J3-%)2+y[x~~—8x+16.

3求下列代数式的最大或最小值：

①2X2+10X+1；②一，x2+x-l.

2

4.已知：a2+b2-4a-2b+5.求：，+°的值.

V3-2V2

5.已知：a2+b2+c2=lll,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.

6.已知：实数a,b,c满足等式a+b+c=O,abc=8.

试判断代数式工+-+-值的正负.（1987年全国初中数学联赛题）

abc

7.已知：x=J19-.

Iv—6%3—2%2+16%+23/一人V—»g、

求：--------、------------------------.(1986年全国初中数学联赛题)

x2-8x+15

8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0.求证：a=b=c.

9.解方程：

@x2-4xy+5y2-6y+9；@x2y2+x2+4xy+y2+1=0；

(3)5x2+6xy+2y2-l4x-8y+10=0.

10.求下列方程的整数解：

①(2x-y—2)2+(x+y+2)2=5；

@x2-6xy+y2+10y+25=0.

初中数学竞赛辅导资料(48)

非负数

甲内容提要

i,非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.

a是非负数，可记作a20,读作a大于或等于零，即a不小于零.

2.初中学过的几种非负数：

⑴实数的绝对值是非负数.若a是实数，则时20.

⑵实数的偶数次哥是非负数.若a是实数，则a?。》。(n是正整数).

⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.

若布是二次根式，则、后20,aNO.

⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.

若二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个实数根，则b2—4ac20.

若b2—4ac20(aWO),则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.

⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、

体积的量数也都是非负数.

3.非负数的性质：

⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.

例如：a?有最小值0(当a=0时)，卜+1|也有最小值0(当x=—1时).

⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.

若a20且一a三0,则a=0；

如果a-b》0且b—a》0,那么a—b=0.

⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.

例如：若a,b,x都是实数数，贝Ua2+b220,时X帆NO,a?JI20.

⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.

例如若,一1|+(b+3)2+V2c+l=0

二0a—1=0Cl=1

那么＜(6+3)2=0BP</?+3=0«b=-3

J2c+1=02c+l=0c=-0.5

乙例题

例1.求证：方程x4+3x?+2x+6=0没有实数根

证明：把方程左边分组配方，得

(X4+2X2+1)+(X2+2X+1)+4=0

即(x2+l)2+(x+l)2=—4

(x2+l)2>0,(x+l)220,

（x2+l）2+（x+l）2^0.

但右边是一4.

不论x取什么实数值，等式都不能成立.

方程X4+3X2+2X+6=0没有实数根.

例2.a取什么值时，本艮式—2）（同一1）+—2）（1—同）有意义?

解：：二次根式的被开方数（a-2）（同一1）与（a—2）（1一同）都是非负数,

且（a-2）（时—1）与（a—2）（1一同）是互为相反数，

（a—2）（时—1）=0.（非负数性质2）

.,.a—2=0；或|<7|-1=0.

.*.ai=2,a2=l,a3=-1.

答：当a=2或a=l或a=-1时，原二次根式有意义.

例3.要使等式（2—Lx）2+，-+16—8x=o成立,*的值是_________.

3x-4

（1991年泉州市初二数学双基赛题）

解：要使原等式成立：（2—Lx）22o,...1厂+16-8%wo

3x-4

yjx2+16-8%

--11=-1,(X-47^0)

x-4x-4

(2—一X)2=1,且x-4<0.

3

x=3或x=9

即《解得《

x<4

x-4<0

.'.x=3.

答：x的值是3.

例4.当a,b取什么实数时，方程x2+2(l+a)x+(3a?+4ab+4b2+2)=0有实数根？

(1987年全国初中数学联赛题)

解：..•当△、()时，方程有实数根.

解如下不等式：

[2(1+a)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)^0

—8a?—16ab—16b?+8a—4三0,

2a?+4ab+4b2—2a+lW0,

(a+2b)2+(a-l)2^0①

V(a+2b)2>0且(a—琰》0,

得(a+2b)2+(a-l)2^0②

只有当(a+2b)2=0且(a—1)2=0不等式①和②才能同时成立.

答：当a=l且b=--时，方程X2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.

2

丙练习48

1.已知在实数集合里+有意义，则x=—.

2.要使不等式(a+1)2或0成立，实数a=.

3.已知Ja—1+2Z?+1=0,贝I]a=,b=,a100b101=

4.把根号外因式移到根号里：

5.如果a〈b,那么(%+(x+b)等于()

(A)(x+a)J—(x+〃)(x+Z?).(B)(x+a)J(x+〃)(x+>).

(C)—(x+a)个—(x+a)(x+b).(D)—(x+a)J(x+〃)(％+4).

(1986年全国初中数学联赛题)

6.已知a是实数且使a=Vx,贝ijx=.

(1990年泉州市初二数学双基赛题)

7.已知a,b是实数且aVJE+J匚石+工.

2

化简74a2-4ab+l-yla2b-2ab+l后的值是.

(1990年泉州市初二数学双基赛题)

8.当x=时，一(x+A/2)有最大值____.

(1986年泉州市初二数学双基赛题)

9.已知：|1—a|+J-=L且|1—4，都是整数.求a,c的值.

(1989年全国初中数学联赛题)

10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.

11.求适合不等式2x2+4xy+4y2—4x+4W0的未知数x的值.

12.求证：不论k取什么实数值，方程x?+(2k+l)x—1?+1<=0都有不相等的实数解.

13.比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.

x+y+z=2

14.已知方程组<%>+丁2+冗2=1-。的解乂,丫2都是非负数.求a的值.

xy+z=1-a

初中数学竞赛辅导资料(49)

对称式

甲内容提要

一.定义

1.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值

不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.

例如：代数式x+y,xy,x3+y3+z3—3xyz,x5+y5+xy,—H——，

%y

x+y+y+z+z+x

都是对称式.

xyzxyzxyz

其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.

2.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z循环变换后代数式的值不变,

则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.

例如：代数式a2(b-c)+b2(c_a)+c2(a_b),2x2y+2y2z+2z2x,—I-----1-------------，

abcabc

/、,111、111

(xy+yz+zx)(—+—+-),—~~------f+------j------2+~------2-

xyza+b—cb+c—ac+a—b

都是轮换式.

显然，对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式.

二.性质

1.含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.

2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式,

且系数相等.

例如：在含x,y,z的齐二次对称多项式中，

如果含有X?项，则必同时有y2,z?两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，

且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：

m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常数.

3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的

一切同型式，且系数相等.

例如：轮换式alb—c)+b[c—a)+<?(a—b)中，有因式a—b一项，必有同型式b—c和

c—a两项.

4.两个对称式(轮换式)的和，差，积，商(除式不为零)，仍然是对称式(轮换式).

例如：x+y,xy都是对称式，

.'.x+y+xy,(x+y)xy,三1口等也都是对称式.

孙

'/xy+yz+zx和—I-----1—都是轮换式,

-xyz

—I-----1—+xy+yz+z,(—I------1—)(xy+yz+z).也者B是轮换式..

xyzxyz

乙例题

口,、111、111、

例1.计算：(xy+yz+zx)(—+—+一)—xyz(—+—+—).

xyzxyz

分析：：（xy+yz+zx）（▲+4+工）是关于x,y,z的轮换式，由性质2,在乘法展开时，只