初中数学教学参考资料【九级第一学期】

【九年级第一学期】

编者的话

九年级第一学期数学课本（试验本），正在“课改”基地学校进行第一轮教学试验。

为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写组人员编写了本册课

本的教学参考材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教

学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到

新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。本

《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》

的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参

考书”打好基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此

材料提出宝贵意见和修改建议。

初中数学教材编写组

第一部分锦中懒述

九年级第一学期数学课本（以下简称本册课本），含“相似三角形”、“锐角

的三角比”、“二次函数”等三章内容，还有配合各章内容的练习部分。

初中数学教材的编写，一直在努力贯彻以下原则：必须正确体现本学科课程

标准提出的目标和要求；必须恰当安排学科教学的有关内容；必须对教学过程进

行积极引导。

本册课本基本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行

本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。从六年级

到八年级的数学课本内容中，已经建立了“实数知识基础”、“初等代数知识基础”；

而关于平面几何知识系统的构建、初等代数函数的基础性研究、概率与统计初步

知识的介绍，还没有全部完成。本册课本中的“相似三角形”和“锐角的三角比”

两章，是平面几何知识系统的组成部分；“二次函数”一章，是初等代数函数的

基础性研究的继续。

本册课本编写的指导思想仍然是：把握内在联系，体现精中求简，突出数学

思想，关注学习过程。在具体编写中，强调联系和整合，重视继承和创新，关注

过程和方法，力求做到深入浅出、平实有序。

第二十三章“相似三角形”，其核心内容是相似三角形的有关概念、判定定

理和性质定理。本章还有“比例线段及其性质”、“三角形一边的平行线的性质与

判定”等铺垫性内容，以及“实数与向量相乘”和“平面向量的分解”等整合性

内容。对本章内容的处理，保留了一期教材中同一内容的基本结构。同时，突出

了对图形的放缩运动(相似变换)和其中不变量的关注；充实了比例线段的知识基

础及其运用；对“三角形一边的平行线”的有关定理，进行了分类整理；对相似

三角形的判定和性质，其探索和思考过程的展现更加合理、充分。另外，注意到

“实数与向量相乘”可以看作是向量的放缩运动，而实数与向量相乘对于向量加

法的分配律\[k(a+b)=ka+kb3,其实是相似三角形判定与性质定理的代数形

式，用几何方法对这一分配律进行证明时就是以相似三角形判定与性质为依据，

可见“实数与向量相乘”同“相似三角形”有密切联系。由此安排了实数与向量

相乘的内容，注重明确运算的意义、运算律以及实施运算的操作方法；然后，对

向量的线性运算进行了阶段性整理。

第二十四章“锐角的三角比”，主要内容是关于锐角的三角比的概念和解直

角三角形及其应用。本章内容的处理，同样保留了一期教材的基本结构，但在叙

述方式方面有与“课改”要求相适应的变化。如：在引进锐角的三角比的概念时，

从测量分析着手，重视与相似三角形相联系，突出了理性思维过程；在求锐角的

三角比以及由三角比的值求角时，加强了计算器的运用。又如在例题内容方面，

有较大的更新和适当的增加，增强了例题的现实感和时代性。

第二十五章“二次函数”，着重于建立二次函数的概念和研究它的图像，在

归纳二次函数的图像特征的基础上，讨论了二次函数的一些直观性质。关于初中

阶段对二次函数的学习，其内容分为两个层次，本章是基本内容部分，在拓展

II还有定向拓展内容部分，将进一步充实二次函数的知识基础和基本运用。在

本章内容的处理中，重视体现研究函数的基本思想和初等方法。如：对二次函数

图像的研究，展现了从特殊到一般的发展过程，突出了图形运动、变换的思想以

及分解与组合的策略；对二次函数性质的讨论，注重利用图像的直观性，通过观

察和分析，归纳图像的基本特征，再将二次函数的一些基本性质进行直观描述。

同时，本章重视数学与现实的联系，体现在通过简明的实例引进二次函数有关概

念；运用二次函数的知识解决简单的实际问题等。

本册内容的呈现，主要采用“过程模式”，通过“问题一一活动”的安排，

引导学生探索求知。课本中保持有“问题”、“思考”、“操作”、“想一想”、“议一

议”等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学

生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。

在各章的末尾，配备有“阅读材料”或“探究活动，如：“话说，黄金分割，”、

“漫谈’出入相补原理…的材料，重在丰富学生的数学文化；“利用函数的图像

研究函数”的材料，重在指导学生进行学习过程的反思和经验总结；还有“分割

三角形”和“测量活动”的安排，旨在加强数学实践活动和引导学生探究学习。

数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有一些开放性问题、探究性

问题、实践性问题等；注意训练要求分层，有统一性也有多样性。“试一试”栏

目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供

给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，

满足不同学生的学习需要。

本册课本的教学内容总量，按照《上海市中小学课程方案（试行本）》规定

的课时数进行控制。以每周的数学课3节计算，本册课本的教学课时数有51节；

现在设计的教学课时46节，留有一定的机动余地。具体的教学计划和进度，由

教师根据学校和学生的实际情况进行制定。

各章教学的课时数建议如下：

第二十三章相似三角形24课时（21+3）

第二十四章锐角的三角比11课时（10+1）

第二十五章二次函数11课时（10+1）

第二部分各章说明

第二十三章相似三角形

一、全章综述

1.教学目标

(1)通过实物图形的放缩，直观理解相似形的意义，归纳相似形的本质特征，形成相

似三角形的概念.经历对形状相同图形的从直观感知到数学抽象的过程，掌握相似三角形

的定义.

(2)知道两条线段的比的意义，理解比例线段及其有关概念，掌握比例的性质，了解

黄金分割的意义.

(3)掌握三角形一边的平行线的性质和判定定理、平行线分线段成比例定理.了解三

角形的重心的意义与性质.能运用三角形一边的平行线的性质和判定定理，从较复杂的图

形中辨析基本图形再进行计算与证明.

(4)通过将三角形相似所需条件与三角形全等所需条件的类比，体验类比思想；经历

相似三角形判定定理的推导过程，能运用有关定理判定两个三角形相似，提高演绎推理能

力.

(5)通过对相似三角形的理性思考，提出关于相似三角形性质的猜想，再进行推理

证实，经历数学探究的完整过程；体会图形放缩运动过程中有关几何量的变与不变的辩证

关系，掌握相似三角形的性质,并能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题.

(6)在发现和证明图形性质的过程中，领略数学探索的意义，体会化归的思想、运动

的观点和分类讨论的思想以及从特殊到一般的思维策略.

(7)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法，会根

据实数与向量相乘的意义判别两个非零向量是否平行；知道实数与向量相乘的运算律，理解

向量的线性运算的含义，会运用实数与向量相乘的运算律以及有关的运算法则进行向量的线

性运算。

(9)理解平行向量定理，会用向量关系式表示两个平行向量；理解单位向量的意义；

知道向量分解的含义，会用画图的方法求一个向量在两个不平行向量方向上的分向量。

2.课时安排

本章教学共24课时，建议分配如下:

23.1图形的放缩与相似形1课时

23.2比例线段2课时

33.3三角形一边的平行线4课时

23.4相似三角形的判定5课时

23.5相似三角形的性质4课时

23.6数与向量相乘3课时

23.7平面向量的分解2课时

复习小结3课时

3.设计说明

本章主要学习相似三角形的概念、判定和性质.为了研究相似形，需要学习比例线段及

其性质、三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理.又在学习相似三

角形的基础上，引进了实数与向量相乘的运算,讨论了向量的合成与分解.

相似形的概念，是通过对实物图形的放大与缩小的直观认识逐步形成的，先定性描述

再揭示其本质特征.由于图形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似形的概念之后，

安排学习比例线段,进而讨论三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例

定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.

关于相似三角形的内容，从相似三角形的概念到判定、再到性质，有序展开、形成系

统。由三角形一边的平行线的性质导出相似三角形预备定理，是推导相似三角形判定定理

的前奏；由相似三角形的定义得到“相似三角形的对应角相等、对应边成比例”，是研究相

似三角形性质定理的开端。再通过“问题”的引导，在解决问题的过程中，进一步演绎出

相似三角形的判定和性质定理系统，展现了论证几何的研究过程和逻辑推理的思想方法。

关于向量内容的展开，基于对图形放缩运动的认识和对向量代数知识扩展的思考。在八

年级的“四边形”中，引进了向量的概念及其加减运算，现在进一步提出向量的“乘法”是

自然的。课本中通过类比“求几个相同加数的和的运算”，引出“正整数与向量相乘”的运

算；然后推广到整数、有理数与向量相乘，再给出“实数与向量相乘”的定义。这样的处

理，体现了代数思考的过程，有利于学生进行知识的迁移。课本中还指出，“实数与向量相

乘”其实是向量的放缩运动，以此建立起两者的联系，有助于学生理解“实数与向量相乘”

的几何意义。知道了“实数与向量相乘”的运算以后，理所当然就是讨论它所具有的运算律;

接着，把向量的加、减及实数与向量相乘的运算进行整理，建立起向量的线性运算结构，从

而完成了向量代数初步知识的构建。在此基础上，提出了平行向量定理以及平面向量的分解,

为向量的运用打下了基础。

本章内容的呈现，体现了“问题驱动，分层推进”的思路，通常是从学生的知识背景出

发提出问题，引导学生从数学的角度思考问题,通过探究活动和演绎推理，构建数学知识.

例如由三角形中位线提出关于三角形一边的平行线的问题，通过直线平移，针对平行线与

三角形的不同位置关系展开分类讨论，从而得到三角形一边平行线的性质及判定，并进一

步推广到一般情况，得到平行线分线段成比例定理.又如课本通过类比全等三角形的判定，

提出三角形相似的判定问题进行探索研究，运用运动的观点和相似三角形的预备定理，导

出相似三角形的判定定理,进而把全等三角形统一到相似三角形中。对于相似三角形性质，

也是先从相似三角形的概念及几何图形的内在特性提出有关问题，再进行探索和研究.课本

重视展现数学发现与理论建立的过程，努力促进学生主动学习、完善学习方式，引导学生

提出问题、探究及解决问题.

本章设计了两篇阅读材料和一个探究活动.“黄金分割”和“出入相补原理”的材料，

是数学文化教育的素材；“分割三角形”的活动，重在加强数学思维训练和引导学生探究学

习。

4.教学建议

(1)切实把握教学要求，落实核心知识内容.本章学习的重点，是相似三角形的概念、

性质与判定定理，还有三角形一边的平行线的性质与判定定理，以及向量的线性运算.比例

线段和比例的性质,是学习和研究相似三角形的知识基础，本章涉及的比例线段变形都比较

简单,教学时不需要单独针对比例的性质进行复杂的比例式变形训练,只要在学习过程中结

合具体问题进行练习.三角形一边的平行线的性质，既是学习相似三角形的知识基础,又是

独立解决问题的依据,是本章教学的另一个重点.教学中要注意培养学生的空间观念,能从

几何图形或实际问题中,分解出基本图形,再根据基本图形的性质解决问题.但要注意控制

问题的难度,避免技巧化.相似三角形是本章的核心内容,要重视学生对相似三角形的概念、

性质与判定定理的理解与运用,要注意落实下面四个基本图形的相似问题.而在几何证明和

计算中,一般运用相似三角形的判定与性质不超过两次.

对于向量的教学，要严格控制难度，把握课本中所明确的基本要求，一般不推广、不拓

展、不深化。例如，对数乘向量运算律，不要求进行论证，只要求学生感知理解，通过练习、

作业逐步达到会用。又如课本介绍了利用数乘向量证明三角形的中位线定理，这里仅仅是一

种学习欣赏,不要求学生完全掌握,教学中不要再去寻找利用向量方法解决的其他几何问题。

(2)注意培养学生数学地提出问题、思考问题、解决问题.九年级的学生已具备了一

定的数学知识、技能与方法,积累了一定的数学学习经历与经验,初步会从数学的角度思考

问题.因此，本章内容的展开，注意引导学生用数学的眼光观察事物，提出问题、探索问题、

解决问题.如“三角形一边的平行线”一节，课本通过对三角形中位线定理的条件与结论的

关系进行变更和推广,形成了问题1,进而通过平移直线改变图形的位置,形成了问题2与问

题3,然后围绕三个问题的探索，开展学习活动.在本章的教学过程中,要注意通过导言让学

生体会数学问题的由来,领略数学地思考问题的过程和方法,要关注教学活动的数学内涵，

避免活动流于形式、缺乏思维而浮于表面.教师要注意把握教材设计的意图，创造性地使用

课本、开发课程，引导学生从数学本质属性的角度进行思考、提出质疑，形成数学问题，以

满足不同层次学生的学习需求.例如在“三角形一边的平行线”的第二课时，课本中提出

思考：图23—16,如果点D、E在AABC的边AB、AC上,DE〃BC,那么型=42=延成立

BCABAC

吗？其实这个问题发生的起点是:如图23—10中，DE是AABC的中位线，这时就有DE〃BC,

F)PAF)4771

—=-由平行于三角形一边的直线的性质定理进行启发，于是进一步提出:

BCABAC2

如图23—16,如果点D、E在△ABC的边AB、AC上,DE〃BC(DE不一定是中位线)，那么，

匹=亚=4月仍然成立吗？

BCABAC

(3)关注数学思想方法的领会与运用.在以前的数学学习过程中，学生对基本数学思想

方法有了初步的感受，本章内容蕴涵了运动变化思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归

思想、方程思想、类比与归纳的方法等.在教学过程中，感悟基本数学思想方法是打好基础、

数学地进行思维的关键,教师要注意让学生领会数学知识中所隐含的数学思想方法.要在具

体问题中渗透数学思想方法,进行潜移默化,让学生在获取知识的过程中逐步感受、了解和

领悟数学思想方法.要避免脱离知识、过程而讲思想，防止数学思想教条化而导致数学思想

的失去活力.

5.评价建议

(1)关注数学基础知识的理解与运用.相似三角形是今后学习锐角三角比、三角函数

和圆的知识基础，例如其中三角比的概念、三角函数的定义、圆的有些性质的证明，都与相

似三角形有密切联系.另外，在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似

三角形的知识.学好三角形相似既是进一步学习的需要,也是工作实践的需要.所以在学习

评价中，要关注学生对相似三角形的概念、判定与性质定理的理解和应用，针对几种基本相

似图形的运用进行评价.关于三角形一边的平行线定理，主要是理解与简单应用.向量的线

性运算是向量代数和空间结构代数化的基础内容，是向量在数学和物理研究中发挥工具作

用的准备知识。要重视学生对向量加、减以及实数与向量相乘运算的意义的理解，要求学

生知道这些运算的法则和运算律，知道向量的线性组合表示和向量的分解式，会按照运算

或分解的要求进行画图。要引导学生体会知识之间的联系，对于两个非零向量Z、b,根据

实数与向量相乘的意义和平行向量定理，可知3=左£(左是实数)与B〃£能相互推出、

相互转化。

(2)关注数学思想方法的体验与运用.要关注学生对数学知识中所隐含思想方法的领

会.本章从一个图形经过“放大”或“缩小”可以得到一个与它相似的图形的学习导言开始,

在比例线段和相似三角形的学习中,始终贯穿着图形运动变化的思想,要关注图形在不同的

运动过程中，哪些量将发生变化,哪些量不发生变化,逐步提高运用运动变化的观点来思考、

探索问题的能力.同时，课本从三角形中位线联想到三角形一边的平行线、再到平行线分线

段成比例，从全等三角形的判定联想到相似三角形的判定，从数的运算联想到向量的线性

运算等,都蕴涵着类比思想和从特殊到一般的探究策略.要关注学生在学习活动中,对类比、

归纳、转化思想的体验与领悟.另外，在本章一些定理的运用中，常常通过运算进行推理探

究或推理后进行代数运算,在学习评价中要关注学生对数形结合思想、方程思想和分类讨论

思想领悟与运用。

(3)关注学生数学活动的参与度及在数学活动中的体验和感悟.本章许多问题及探究

都是通过对已有的知识经验进行反思、质疑而形成的。要关注学生在数学活动中的参与度

以及运用数学知识解决问题的经历、经验和策略的积累.在学习过程中,要重视通过数学思

维活动提高学生学习数学的兴趣；关注学生在问题形成、问题探究和问题解决的数学活动

经历中的体验与感悟；关注学生提出、探究问题的能力及思维品质的提高.通过评价激发学

生的学习兴趣，引导学生提出问题、思考问题,逐步养成善于提问、主动探究的学习习惯.

二、具体说明

23.1放缩与相似形

1.教学目标

(1)能用图形放缩运动的观点理解相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多

边形的对应角、对应边的意义.

(2)通过对图形放缩运动的探究，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征

及相似形与全等形的关系.

2.教材分析及教学建议

学生已经知道，形状相同、大小也相同的两个图形是全等形，因此对''形状相同”已经

有了一定的认识.在这个基础上,课本中通过实物图形,让学生感知现实生活中有很多这样的

图形，它们形状相同但大小不一定相同.然后引进图形的放缩，进一步认识形状相同的图形,

形成相似形的概念；再通过实验分析，得到两个多边形相似其实是指它们的内角对应相等、

边的长度对应成比例，初步认识相似多边形的本质特性和放缩运动中的不变量.

在教学中，要注意以下几点：

(1)所设“问题”是引导学生通过对放缩前后的两个三角形进行观察和测量，感受图

形放缩运动中有的量将发生变化,而有些量可能不会变化.由此知道三角形在放缩运动过程

中，各个内角的大小不变,而各边的长度“同样程度”地放大.但这时还没有给出比例线段的

概念,因此课本在这里表述为边的长度对应成比例.

(2)“试一试”栏目中的活动，是在三角形的基础上，提出考察四边形，以便进一步推

广到一般的多边形，从中体会相似多边形的对应角、对应边的意义，归纳相似多边形的本质

特性.

(3)“例题”是运用两个相似多边形的性质及四边形的内角和进行计算,要注意根据对

应顶点确定对应边和对应角.

3.练习答案

练习23.1

1.略.2.略.3.12、12、15.

23.2比例线段

1.教学目标

(1)知道两条线段的比的意义,理解比例线段及其有关概念，了解黄金分割的意义；知

道比例线段的性质,能结合具体图形,运用比例线段的性质,进行简单的比例线段变形.

(2)会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的

面积比与线段比的转化.在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用.

2.教材分析及教学建议

学生在六年级已经学习过比、比例及比例的基本性质.课本通过回顾比和比例的概念，

给出了两条线段的比和比例线段的概念.本章所涉及的比例线段的变形都比较简单,重点在

于比例线段性质的基本运用.结合比例线段的研究，本节介绍了介绍了黄金分割，主要用作

数学文化教育素材。

在教学中，要注意以下几点：

(1)比例的合比性质也可以这样证明：因为-=所以-+!=-+1,即

bdbd

—=士1课本中运用设元的方法证明比例的合比性质和等比性质，目的是让学生体会

bd

比例的意义和等量代换的思想.

(2)关于比例的合比性质和等比性质,不需要单独进行复杂的比例式变形训练(只要结

合具体图形进行简单的比例线段变换)，但要注意让学生体会合比、等比性质证明过程中隐

含的数学思想方法.

(3)例题1主要是为学习三角形一边平行线性质作准备,不必要进行复杂的比例式变形

训练.

(4)例题2主要让学生领悟“同高(或等高)的两个三角形的面积比等于对应底边的

比”的性质，指出了面积比与线段比之间的联系，也是为证明平行于三角形一边的直线的性

质与判定定理作铺垫.同高(或等高)的三角形的面积比,可以转化为线段比,这有别于相似

三角形的面积比问题.用面积关系解决问题是我国古代数学的成就之一,可参考本章阅读材

料“出入相补原理”.

(4)通过例题3,介绍了黄金分割，在例题解答过程中含有用字母表示数及方程思想.

关于黄金分割，在阅读材料中作了更多的介绍.

3.练习答案

练习23.2(1)

12

1.(D-;(2)3；(3)-.2.略.

23

7

3.4.9,12,15.

2

练习23.2(2)

1.6.2,略.3.V5-1,3-V5.

23.3三角形一边的平行线

1.教学目标

(1)掌握三角形一边的平行线的性质和判定定理、平行线分线段成比例定理；了解三

角形的重心的意义与性质；能运用三角形一边的平行线的性质和判定定理，从较复杂的图

形中分解出基本图形,进行基本的计算与证明.

(2)通过对三角形中位线的概念与性质的分析，从特殊到一般，提出关于三角形一边

平行线的研究问题；经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略

运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略.

2.教材分析及教学建议

课本通过对三角形中位线的概念与性质进行分析，引出对三角形一边的平行线的性质

与判定的研究，导出了三角形一边的平行线的性质与判定定理。

如图，已知DE是4ABC的中位线,那么DE是4ABC的BC的平行线。课本由此出发，提出

一系列问题进行探究，(1)如果D是边AB的中点，点E在边AC上，DE〃BC,那

么E是边AC的中点吗？(2)如果移动DE,保持点D、E分别在边AB和AC上,

ApAn

DE/7BC,那么——与——相等吗？(3)如果BC的平行线分别与边AB、AC的延

ECDE

ApAn

长线交于点D、E,那么一与——相等吗？这样逐步推进，得到三角形一边的平

ECDE

npAnApi

行线的性质定理。再注意到如果DE是4ABC的中位线，可知一=—=—=-

BCABAC2

于是提出对三角形一边的平行线性质定理的结论进行推广的命题，通过证明得到三角形一边

的平行线性质定理的讨论。

关于三角形一边的平行线判定定理，课本中是由三角形一边的平行线性质定理的一个逆

命题引起出来的，实际上也就是三角形中位线定理的推广。

本节立足学生已有的知识背景,通过对原有认识的反思质疑提出问题,引发新知识的学

习，目的是为了引导学生从数学的角度思考问题,进行探究学习，构建数学知识.

在教学中，要注意以下几点：

(1)“问题1”来源于对三角形中位线定理的反思，实际上三角形中位线定理的一个逆

命题；这个问题也是“问题2”的特殊情况，“问题1”与“问题2”的解决方法是相同的.

教学过程中要注意引导学生用图形运动的观点领略归纳法,再进一步提出“问题3”，体会分

类讨论思想.

(2)“问题3”由“问题2”平移直线/而来,又化归为问题2予以解决,这样使整个问

题得到彻底解决.要引导学生关注转化的思想方法。

(3)为推广三角形一边平行线的性质定理而设计的“思考”，源于三角形一边平行线

的性质定理和三角形中位线定理.教师可以适当加以引导:如图23—10,DE是AABC的中位

nr4nAF1

线，这时DE〃BC,可知竺=白上=白匕=上.由三角形一边平行线的性质定理启发，提出问

BCABAC2

题:如图23—16,如果点D、E在4ABC的边AB、AC上,DE〃BCCDE不一定是中位线)，那

么，匹=42仍然成立吗？这样既可以让学生体会到新问题的起源,又可以找到与原

BCABAC

有知识的联系.

(4)对“问题1”结论的推导，在边款已指出可用同一法；课本中采用的基本方法是

面积法，并为运用面积法推导“问题2”的结论作铺垫。后面证明三角形一边的平行线判定

定理，也是采用面积法，同样在边款指出可用同一法。选用面积法来处理，可能更有利于学

生接受，也体现了我国古代几何学的特色.在本册课本中，对“同一法”不作教学要求。

(5)在三角形一边的平行线判定定理后，安排了“议一议”。要向学生指出，如果

DFAF

一=一,不能得到DE//BC,可举出反例进行说明.这个学习活动要让学生尝试,这样有利

BCAC

于学生正确理解判定定理.

(6)提出改变三角形一边的平行线性质定理中的条件再探索其结论的“思考”，是为了

推广得到平行线分线段成比例定理.课本中对结论的推导，是通过平移直线AC,转化为三角

形一边平行线的问题来解决.在边款中已经指出，也可以这样推导结论:如图23—26(1),由

。〃给得DF"=F—G―一-0.又42〃BC,得AF丝=A—G―-…②.由①x②得DF竺=F"G.教

AFAGFBGCFBGC

学时，可根据学生的实际情况选择推导方法。

(7)平行线分线段成比例定理是三角形一边平行线性质定理推广，三角形一边平行线

性质定理可看作是平行线分线段成比例定理的特殊情况.如图(1),把平行线分线段成比例

定理的图形中的直线CE向左平移,可得图(2)、图(3),即得三角形一边平行线的图形.但要注

意，平行线分线段成比例定理的逆命题是假命题,而平行线分线段成比例定理的逆命题是真

命题.

(8)本节有6个例题.例题1、例题2是三角形一边平行线性质定理及其推论的运用，

其中例题2需要把已知线段等积的关系化成比例形式.例题3主要是为了得到重心的概念与

性质.例题4为我们提供了一种证明两条直线平行的新思路，要让学生体会，利用三角形一

边的平行线判定定理证明两条直线平行,先要证明线段成比例时,这时常常需要把每一个比

看成一个整体,分别证明它们与第三个比相等,通过第三个比利用等量代换来过渡,或者说通

过“中间比”来过渡.例题5是为了加深理解巩固平行线分线段成比例定理.例题6是关于第

四比例项的作图题，是平行线分线段成比例定理的运用，边框已指出“作图依据是平行线分

线段成比例定理”，也可以说是三角形一边平行线性质定理，其实是告诉学生可据此证明作

图正确(一般不要求证明).

3.练习答案

练习23.3(1)

1628

1.(1)—,—；(2)4.2.(1)10；(2)10.3.略.

33

练习23.3(2)

1.(1)9；(2)4,12；(3)—.2.—,一.3.4.

833

练习23.3(3)

1.(1)平行；(2)平行；(3)不平行；(4)平行.2.略.

练习23.3(4)

1.(1)4.8；(2)9,15.3.略.

23.4相似三角形的判定

1.教学目标

(1)知道两个三角形相似的定义及有关概念,能以图形放缩运动的观点理解相似比；

掌握相似三角形的判定定理.

(2)通过类比两个三角形全等的判定方法，提出判定三角形相似所需条件的问题，获

得探究相似三角形判定方法的过程经历，发展理性思维的能力.

2.教材分析及教学建议

在“图形的放缩与相似形”一节，通过图形的放缩运动描述了两个图形相似的意义.在

这一认识基础上，本节具体地研究相似三角形。

课本首先给出了相似三角形的定义，说明了有关概念，明确了相似三角形的符号表示

和相似比的意义.然后，通过对三角形一边的平行线问题的进一步思考,得到相似三角形的

预备定理.再通过对判定全等三角形所需条件进行分析,类比全等三角形的判定方法，提出

了关于相似三角形判定的四个问题；通过对四个问题的探究,得到三个一般三角形相似的判

定定理和一个直角三角形相似的判定定理.本节内容重点是掌握相似三角形的判定定理,并

能运用判定定理进行推理判断.

在教学中，要注意以下几点：

(1)由于在相似三角形判定定理的推导过程中需要运用三角形相似的''传递性"，所以

课本中特别安排了“想一想”，让学生知道三角形相似具有传递性.

(2)在相似三角形的符号表示中，通常把表示对应顶点的字母分别写在“A”后的相

应位置上，这样比较容易找出两个三角形的对应角和对应边。但是，这样的表示方式只是“通

常”使用而不是统一规定。关于相似三角形判定定理的运用，在书写格式中，类似于全等三

角形的判定,先要指出“在哪两个三角形中”，这样表述可使判定过程中的条件与结论的关系

更加明显.

(3)要注意引导学生参与分析全等三角形的判定定理、提出相似三角形判定问题的过

程,感受类比思想的意义.

(4)相似三角形的三个判定定理的探究，都是通过移动其中的一个三角形(即作一个与

它全等的三角形)，把它们转化为可用预备定理来解决的问题,要引导学生体会其中蕴涵的化

归思想和方法.

(5)“问题4”是为导出直角三角形相似的判定定理而设计的。在解决问题时，通过

先计算第三边的比,再运用判定定理3得到结论.教学中要提醒学生,在解决几何问题时注意

恰当地运用计算进行推理.

(6)判定定理1的运用比较容易，课本中没有举例，可通过“练习”进行说明；必要

时，也可自行安排例题进行讲解。

(7)例题1与例题2是判定定理2的运用.例题1需要先计算边长的比，得到两组边对

应成比例,然后运用判定定理2推出两个三角形相似.一般地,两个三角形相似,它们的最短

边与最短边对应,最长边与最长边对应,要注意根据边长的大小,选择两个三角形适当的边进

行计算.本题还可得到△AOBs/^OC.例题2需要把线段乘积的条件转化为比例的形式,再运

用判定定理2推出两个三角形相似。要注意对证题思路的分析，有时将乘积式或比例式进行

适当的变形具有关键作用.

(8)例题3是判定定理3的运用,本题也可以用其它的方法证明.例题4主要是直角三

角形相似的判定定理的运用，要引导学生在计算推理过程中,体会数形结合思想.

(9)例题5、例题6是相似三角形判定定理运用，又有一定的综合性。例题5要两次判

定三角形相似；例题6需要运用三角形一边的平行线的性质与相似三角形的判定定理,可以

有多种方法证明.可以根据学生的情况，适当调整例题的难度.

3.练习答案

练习23.4(1)

1.(l)AABC^ADFE；(2)AABC^ADEF.

2.AAFE^ADFC,AAFE^ABCE,ADFC^ABCE.

3.略.

练习23.4(2)

1.(l)AABC^ADEF；(2)AABC^AEFD；(3)不相似.

2.略.3.2毫米.

练习23.4(3)

1.(1)AABC^>ADEF；(2)AABC^AEFD.

2.90厘米、120厘米，或40厘米、80厘米，或30厘米、45厘米.

3.AABC^AFED.

练习23.4(4)

1.(1)相似；(2)相似;(3)不相似;(4)相似.

2.略.

练习23.4(5)

APAT

1.(1)ZACP=ABC；(2)AC2=AP•AB(或——=——).

ACAB

2.略.

23.5相似三角形的性质

1.教学目标

(1)掌握相似三角形的性质,能应用相似三角形的性质解决简单的几何问题和实际问

题.

(2)经历相似三角形性质的探索过程,增强演绎思维能力,体会图形相似变换中的变量

与不变量.

2.教材分析及教学建议

研究相似三角形的性质，主要是研究它们的对应边、对应角、对应高、对应中线、对

应角平分线以及周长、面积分别具有的数量关系特征.已知两个三角形相似，由定义可知它

们的对应角相等、对应边成比例；由此联想到它们的对应特殊线段及周长、面积，这样就

形成了对于“对应角平分线(或高、中线)的比"、"周长比”、“面积比”分别与相似比

之间的关系进行探究的三个问题。整个相似三角形性质的学习内容,就是围绕这三个问题展

开，通过探究，获得结论；再巩固运用。

在教学中，要注意以下几点：

(1)“问题1”提出对相似三角形的对应角平分线之比与相似比之间的关系进行探究，

让学生在获得结论的同时，得到对于探究过程和方法的体验。至于对应高之比、对应中线

之比分别与相似比之间的关系，安排在练习、习题中让学生对结论进行证明。

(2)“问题2”的结论，可以利用比例的等比性质进行推导。课本中选用设元的方法，

主要让学生体会数学思想方法.“问题3”的结论，通过计算可以得到.

(3)教学中要注意相似三角形性质定理3的运用.由相似比求面积比，学生容易掌握;

反过来由面积比求相似比，学生往往掌握不好,误认为“相似三角形的面积比等于相似比”，

要提醒学生注意.

(4)相似三角形的性质归纳起来有两个要点：一是相似三角形所有对应线段的比等于

相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方.学生对于相似三角形性质定理的理解

和直接运用，一般来说困难不大；当比例线段性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形

的判定与性质进行综合运用时，容易出现混乱。要控制教学的难度，加强学习指导.

(5)本节有7个例题.例题1是相似三角形判定定理与性质定理1的综合运用，主要训

练逻辑推理能力.例题2、例题3是相似三角形性质定理2、定理3的运用,主要是为了深化

理解定理.例题4是关于射影定理的证明,主要是相似三角形的判定与性质的运用，但所得结

论没有概括为定理，一般也不要进行补充.例题5的教学，要注意让学生体会方程思想.

例题6、例题7是对相似三角形判定与性质定理的运用进行巩固，有一定的综合要求.

例题6可改变为把点P看作是BC上的一个动点,如：已知4ABC中,AB=AC,点P是BC上的一

个动点，点D在边AC上，ZAPD=ZB.则点P在BC上移动的过程中，AABP与4PCD始终相似.

例题7运用的知识点比较多；将例题7的条件改变，得到“议一议”的问题，可知正方形

DEFG的边长与AABC的形状无关,只与AABC的边BC和高EF的长有关.

3.练习答案

练习23.5(1)

1.4.2.8.3.略.

练习23.5(2)

1.略.2.(1)10000；(2)10.3.略.

练习23.5(3)

1.(1)9；(2)25.2.略.

练习23.5(4)

1.略.2.略.

23.6实数与向量相乘

1.教学目标

(1)通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解

实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个

非零向量，能画出它们相乘所得的向量。

(2)知道实数与向量相乘的运算律，会依据运算律对向量算式进行计算、化简。

(3)理解平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；理解单位向量的

意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。

2.教材分析及教学建议

本节的主要内容是实数与向量相乘的定义、运算律及其初步运用。内容的展开，以问

题、例题为载体，从特殊到一般、从具体到抽象，注重基本知识的归纳和形成。

在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同的向

量连加"与''几个相同的数连加”类比，引进了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数

与向量相乘的含义，再给出实数与向量相乘的定义。联想向量的加法和实数的乘法都有它们

的运算律，接着就对实数与向量相乘的运算律进行探讨，通过例题讨论，归纳得到实数与向

量相乘满足实数与向量相乘的交换律、对于实数加法的分配律、对于向量加法的分配律，从

而建立了实数与向量相乘的运算结构。

根据实数与向量相乘的意义，可知实数与向量相乘的积是平行于已知向量的一个向量;

于是考虑：如果两个非零向量是平行向量，那么其中一个向量能否用某一实数与另一个向量

相乘来表示？利用具体图形，通过具体问题讨论，得到了平行向量定理。这样，“两个向量

平行”与“实数与向量相乘”就可以相互表示，为今后向量工具解决几何问题提供了一个思

考依据。

在实数集中，。和1是两个特殊的数。在平面向量中，已经规定了零向量（6）,现在

再引进单位向量（工），是建立向量代数结构的需要。（通常，这类集合中含零元和单位元。）

在教学中，要注意以下几点：

（1）关于实数与向量相乘的运算的引进，课本中是从数的乘法切入，引导学生进行类

比联想和归纳，形成认知基础，然后给出实数与向量相乘的定义，这是一条代数的思路，可

能比较容易纳入学生已有的知识结构。边款中指出了实数与向量相乘同向量的放缩之间的联

系，可作为实数与向量相乘的一种几何解释。如果将向量的放缩运动作为引进认识实数与向

量相乘的运算的起点，通过简单的说明，再给出实数与向量相乘的定义，那么就得到引进“数

乘向量”的另一条思路，教学时也可尝试这一思路。

（2）例题1是根据实数与向量相乘的意义画图，让学生通过操作活动，体会实数与向

量相乘的几何表示。例题2和例题3是实数与向量相乘的初步运用，要引导学生初步认识两

个平行向量的代数表示形式。

（3）例题4和例题5是为探讨实数与向量相乘的运算律而设计的。通过例题4,展示

了实数与向量相乘、向量的加减进行混合运算的过程，同时为归纳实数与向量相乘对于实数

加法的分配律（分配律1）提供思考基础。例题5直接指向实数与向量相乘对于向量加法的

分配律（分配律2）,从特殊到一般分层递进。

（4）在例题5的教学中，要引导学生体会分配律2的证明方法。其中第（1）题中的

实数是3（整数），可用代数方法推导结论；再用作图方法验证，是为了引出几何证明方法。

这一几何证明方法，可用于对任一非零实数的分配律2证明，课本中有提示，但不作教学要

求。在几何证明过程中，运用了“三角形一边的平行线性质定理推论”，其实也就是“A3//

A,5,n△OABn她=也=空，，，由此可见分配律2与相似三角形的联

ABOB0A

系（分配律20相似三角形的判定与性质定理），现在不必告诉学生。

（5）例题6是运用有关运算律进行向量的代数计算，即化简算式。教学时，要进行说

理，讲清每次变形的依据。解题后的“想一想”，是指导学生进行反思总结，应让学生明确，

这样的关于向量的代数计算（后面称为向量的线性运算）与多项式的运算类似，从而建立起

新旧知识的联系。

（6）提出运用实数与向量相乘的意义研究几何问题，并以证明三角形中位线进行说明，

是为了引起学生学习向量知识的兴趣，不要进一步展开。

（7）引进平行向量定理和单位向量，是为了完成向量初步知识的构建。教学时着重于

知识的形成，现在对它们的运用不要展开。”平行向量定理”与“实数与向量相乘的意义”

结合起来，就得到B〃a=存在唯一的实数仅，使3=相。”，它在向量几何只

有重要的运用，现在只是给学生打下认识的基础。

（8）例题7是帮助学生加深理解实数与向量相乘的意义，学会根据实数与向量相乘的

意义判别两个向量是否平行。在解题过程中，涉及到向量关系式的变形、解向量方程组的问

题，学生可能会感到陌生。教学时，要指导学生进行知识迁移，认识到现在遇到的向量关系

式的变形、解向量方程组，分别与数量关系式的变形、解一次方程组类似（因为对于向量和

数量，有关运算的运算律、等式性质类似）。

（9）练习23.6第3题，通过分5个小题的设计，展示了梯形中位线定理的证明过程。

完成本题练习以后，可进行一次整理，让学生体会用向量工具证明梯形中位线定理的思考方

法。但是，不要求学生自己独立地用向量方法证明几何问题。

3.练习答案

练习23.6（1）

1.略。

—►—*I―►I—*J—*

2.4a与向量。方向相同，长度为4，卜-—a与向量。方向相反，长度为—a；

-2d2a与向量a方向相同,长度为2,。

3.已知四边形ABCD是平行四边形，且E、F、G、H分别为各边的中点，由平行四

边形的判定与性质可知，EG、AB、DC互相平行且相等，FH、BC、AD互相平行且相等；

EG与FH互相平分于点O。所以，

HI=BC=2BG=2a；DC=AB=-BA=-2BF=-2bo

再由向量加法的平行四边形法则，#BD=BC+BA=2BG+2BF=2a+2b„

练习23.6(2)

1.(1)3(2。一/?)+5(2。-3Z?)=6〃-3Z?+10。-15/?=16。-18b；

(2)3(2。—b—2c)—(3Q+2b)-6a—3b—6c—3a—2b—3a—5b—6c；

1---1-一一1-5-11-11一

(3)-(a+2b-2c)+-(2a+3b-c)——b=-a+—b——c。

34261212

2.作法：由已知非零向量〃、b,先作向量M=再作2用=2(〃+B),最后取反

方向，得一2m=-2(〃+B)。图略。

3.由向量Z、b,1满足关系式31+4,—4=6,得

3〃+4刃-4x=。，

即4x=3〃+。

一3一—

所以x——ci+bo

4

练习23.6(3)

1.(1)a=6e；(2)b=-3e；(3)c=--e；

2

2.由2Q+B=3C,3a-b-2c,得2(2Q+B)=6C,3(3a-b)=6c,

即43+23=93—3几所以［=兀向量)与B平行。

3.(1)EA+AD+DF=EF,EB+BC-^-CF=EF；AD

____________________________________\F

(2)EA+AD+DF+EB+BC+CF=2EF；/\

BC

(3)由EA=—AE=—E3,DF=—CF,代入(2)式,

^AD+BC=2EF；

(4)因为通与与G同向，又彳万+灰=2而，可知•万+灰与Z万、前同

方向，|而+万4=|诟|+|万4；

(5)由赤+前=2/，可知

而与砺、就同向，12而卜|砺+就卜|砺|+|前1

即正〃通〃灰，2|EF|=|AD|+|BC|,

所以EF〃AD〃BC,且E/=；(AO+3C)。

23.7平面向量的分解

1.教学目标

(1)理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图

表示结果。

(2)知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不

平行向量的线性组合。

(3)知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。

(4)在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形

结合、化归等数学思想方法。

2.教材分析及教学建议

本节内容是前面所学向量知识的整理和运用。通过对向量的加法、减法以及实数与向量

相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序,

归纳了向量的线性运算。在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合和关于一个向量的分

解式的概念，再指出了如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知

两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基。

在教学中，要注意以下几点：

(1)引言和例题1是对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算进行回顾和整理,

为归纳向量的线性运算进行铺垫。要引导学生与实数的运算法则进行类比O

(2)例题2指出了向量线性运算的实施和画图表示运算结果的方法。教学时，要充分

展示解题过程，分步说明依据和做法。

(3)例题3是帮助学生认识线性组合的意义，也是对向量有关运算的法则进行巩固运

用。将平面内一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合，是今后导出平面向量基本

定理的认识基础，这里是初步的渗透。

(4)例题4是帮助学生进一步学习任何将平面内一个向量表示为两个给定的不平行向

量的线性组合，也是为引进向量的分解式作铺垫。题后的“想一想”，对后面讨论分解式问

题有启发作用。

(5)“问题”和讨论，是研究平面向量的分解，得出求作一个向量在已知两个不平行向

量方向上的分向量的画法。要引导学生体会和归纳画图方法。

(6)例题5是求作一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量的画法训练，要做

好讲评，帮助学生掌握画图方法。

(7)例题6求一个向量关于两个不平行向量的分解式，是帮助学生认识向量的分解式

的意义，