直线与平面垂直的性质定理课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.6.2课时2直线与平面垂直的性质定理第八章立体几何初步1.理解直线与平面垂直的性质定理，并会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.2.理解直线到平面的距离、两个平面间的距离的概念，并会求直线到平面的距离.

我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.在空间中是否有类似的性质呢？lab

为了生活的方便，各种“晾衣神器”层出不穷！观察这些图片，你能发现什么线、面关系的规律？观察：(1)如图1，在长方体ABCD-A′B′C′D′中,棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系?

(2)如图2，已知直线a、b和平面α.如果a⊥α,b⊥α，那么直线a、b一定平行吗?

可以发现,这些直线相互平行.不失一般性，我们以(2)为例加以证明.如图，假设a与b不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面.在该平面内过点O作直线b′//a,则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线,所以直线b与b'可确定平面β.设α∩β=c,则O∈c.因为a⊥α,b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b′//a,所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b′与c垂直，显然不可能.因此b//a.

由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平面直线的判定知识，也无法应用基本事实4，在这种情况下我们采用了“反证法”．

abαOb′cβ

直线与平面垂直的性质定理定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言表示

a⊥α,b⊥α⇒a//b.图形语言表示作用：判断线线平行线面垂直⇒线线平行

直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.知识归纳在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论?如果平面α与平面β平行，你又能得到什么结论?baa⊥α，b⊥a，b⊄α⇒b//α.aa⊥α，α//β⇒a⊥β.αβa在a⊥α的条件下，如果a⊥β，又能得到什么结论？a⊥α，a⊥β⇒α//β.【例1】如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.∴AA1＝BB1.∵

AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1//BB1.∵l∥α，∴l∥A1B1.设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，∴四边形AA1B1B是矩形.由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.aα

由例1还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.αβ

在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们底面间的距离.

知识归纳

解：如图，延长棱台各侧棱交于一点P，得到截得棱台的棱锥．过点P作棱台下底面的垂线，分别交棱台的上、下底面于点O′，O，∴棱台的体积

设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′，高为h′．则PO′=h′．则PO垂直于棱台的上底面．从而O′O＝h．

由棱台的上、下底面平行，棱台的上、下底面相似，并且

【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.

证明：AE∥MN.证明：∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥AB，∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，又AB∥CD，∴AE⊥PD.∴AE⊥CD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.【例4】已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.

⑴求点B1到平面A1BCD1的距离；

⑵求B1C1到平面A1BCD1的距离．解：∵AD＝AP，E是PD的中点，⑴如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.∴AE⊥PD.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴线段B1E的长即为所求.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.在Rt△A1B1B中，

【例4】已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.

⑴求点B1到平面A1BCD1的距离；

⑵求B1C1到平面A1BCD1的距离．解：⑵∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，

1.直线与平面垂直的性质定理定理

：

垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言表示

a⊥α,b⊥α⇒a//b.图形语言表示线面垂直⇒线线平行

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.2.直线到平面的距离、平面到平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.1.如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明：∵PA⊥α,l⊂α.∴PA⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴a∥l.又∵PA⊥α，a⊂α，∴a⊥平面PAB.同理PB⊥l.∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.⑴写出点A到平面BCC1B1的距离;⑵写出直线AB到平面A1B1C1D1的距离;⑶写出平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离.解：⑵∵AB∥平面A1B1C1D1,⑴点A到平面BCC1B1的距离h1=AB=4.⑶∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,∴AB到平面A1B1C1D1的距离h2=AA1=2.∴平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离h3=AB=4.3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点.求证：直线A1F∥平面ADE.证明：∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1.又CC1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面

BCC1B