2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程（教学用书）教学设计 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程（教学用书）教学设计新人教A版选修2-1主备人备课成员教学内容本节课内容为新人教A版选修2-1教材第2章圆锥曲线与方程的2.4.1节“抛物线及其标准方程”。主要包括抛物线的定义、几何性质、标准方程及其应用等内容。通过本节课的学习，学生能够掌握抛物线的定义和几何性质，并能熟练运用抛物线的标准方程解决实际问题。核心素养目标1.培养学生的几何直观能力，通过抛物线的几何性质，使学生能够从直观角度理解曲线的形状和特征。

2.提升学生的数学抽象能力，引导学生从具体实例中抽象出抛物线的方程，并理解其数学意义。

3.强化学生的数学建模能力，通过建立抛物线方程，解决实际问题，培养学生将数学知识应用于现实生活的能力。

4.增强学生的逻辑推理能力，通过抛物线的性质和方程，锻炼学生运用逻辑推理进行数学证明和推导。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了直线方程、二次函数等相关知识，对坐标轴和函数的概念有初步的了解。此外，他们应该已经掌握了平面几何中的基本图形性质，如圆的方程和性质，以及二次函数图像的基本特征。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科通常表现出较高的兴趣，尤其是对图形几何部分。学生的能力水平各异，但普遍具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。学习风格上，有的学生偏好通过直观图形理解概念，而有的学生则更倾向于通过代数推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解抛物线的定义和几何性质时可能会遇到困难，特别是在从直观几何概念过渡到代数方程的过程中。此外，学生可能难以将抛物线的方程与实际问题相结合，进行数学建模。对于抽象思维能力较弱的学生，理解抛物线的对称性和开口方向可能是一个挑战。同时，学生在解决应用题时，可能会在确定参数和解读题目要求上遇到问题。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有最新版新人教A版选修2-1教材，以便同步学习。

2.辅助材料：准备与抛物线相关的几何图形、标准方程图表以及抛物线应用的案例视频，以辅助学生理解。

3.教学工具：使用黑板或电子白板展示关键公式和步骤，方便学生跟随。

4.教室布置：设置适当的空间用于小组讨论，并提供足够的桌椅，确保教学活动顺利进行。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的抛物线形状，如锅盖、运动轨迹等，引导学生思考抛物线的来源和应用。

2.提出问题：提出与抛物线相关的问题，如“如何描述抛物线的形状？如何确定抛物线的方程？”激发学生的学习兴趣和求知欲。

二、讲授新课（15分钟）

1.抛物线的定义：介绍抛物线的定义，通过图形展示抛物线的几何特征，引导学生理解抛物线的概念。

2.抛物线的几何性质：讲解抛物线的对称性、开口方向、顶点坐标等几何性质，通过实例说明这些性质在实际中的应用。

3.抛物线的标准方程：介绍抛物线的标准方程，讲解方程中各个参数的含义，引导学生掌握方程的推导过程。

三、巩固练习（10分钟）

1.基础练习：让学生独立完成教材中的例题，巩固对抛物线标准方程的理解。

2.应用练习：给出实际应用问题，要求学生运用所学知识解决，培养学生的数学建模能力。

四、课堂提问（5分钟）

1.针对讲授新课中的关键点，提出问题，检查学生对新知识的掌握情况。

2.鼓励学生积极回答问题，展示自己的解题思路，培养学生的逻辑思维能力。

五、师生互动环节（5分钟）

1.小组讨论：将学生分成小组，讨论如何将抛物线的标准方程应用于实际问题。

2.分享成果：每组派代表分享讨论成果，其他学生补充和提问，增强学生的合作意识和交流能力。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、工程设计等，培养学生的创新意识。

2.强调抛物线方程在解决实际问题中的重要性，培养学生的数学应用能力。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2.布置作业：要求学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。

教学时间：共计45分钟。知识点梳理1.抛物线的定义

-抛物线是一种平面曲线，其上任意一点到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离相等。

-抛物线的方程可以表示为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2.抛物线的几何性质

-对称性：抛物线关于其对称轴对称，对称轴为抛物线的对称轴。

-开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

-焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(0,1/(4a))，当a>0时；为(0,-1/(4a))，当a<0时。

-准线方程：抛物线的准线方程为y=-1/(4a)，当a>0时；为y=1/(4a)，当a<0时。

3.抛物线的标准方程

-抛物线的标准方程可以表示为y^2=4ax或x^2=4ay的形式，其中a为抛物线的参数。

-通过抛物线的焦点和准线可以推导出其标准方程。

4.抛物线的图像

-抛物线的图像是一个开口向上或向下的曲线，其顶点位于对称轴上。

-抛物线的开口大小由参数a决定，a越大，开口越小；a越小，开口越大。

5.抛物线的性质与方程的应用

-抛物线的性质和方程可以应用于解决实际问题，如计算抛物线上某点的坐标、确定抛物线的焦点和准线等。

-抛物线的方程可以用于解决几何问题，如求抛物线与直线、圆的交点等。

6.抛物线的判定

-根据抛物线的定义和几何性质，可以判定一个曲线是否为抛物线。

-抛物线的判定条件包括：曲线关于其对称轴对称，曲线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离等。

7.抛物线的切线和法线

-抛物线上的切线与法线的性质：切线垂直于法线，切线与法线的交点在抛物线的对称轴上。

-切线方程和法线方程的推导：利用抛物线的方程和导数求解切线方程和法线方程。

8.抛物线的最值问题

-抛物线上的最值问题：求抛物线上的最大值或最小值，可以通过求导数或利用顶点坐标求解。

-抛物线上的最值点：最值点通常位于抛物线的顶点处。

9.抛物线的对称性在解决实际问题中的应用

-抛物线的对称性可以简化实际问题，如求抛物线与直线、圆的交点时，可以利用对称性减少计算量。

10.抛物线的性质与方程在工程中的应用

-抛物线的性质和方程可以应用于工程设计，如求抛物线的最大截面积、最小距离等。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中的练习题，包括例题和课后习题，巩固对抛物线标准方程的理解和运用。

2.选择以下题目中的一道进行解答，并提交解答过程和最终答案：

a.给定抛物线方程y^2=8x，求焦点坐标和顶点坐标。

b.已知抛物线经过点(2,4)，且开口向上，求抛物线的标准方程。

c.抛物线与直线y=2x相交于两点，求抛物线的方程。

3.分析以下问题，并尝试用所学知识解决：

-一个工厂的屋顶形状为抛物线，其顶点位于地面上，焦点位于地面以下2米处，且焦点到屋顶的距离为6米，求屋顶的方程。

4.编写一个简单的程序或使用图形计算器，绘制抛物线y^2=4ax的图像，并改变参数a的值观察图像的变化。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，确保每位学生都能收到反馈。

2.对于基础练习，检查学生是否能够正确应用抛物线的标准方程解决问题，是否能够准确计算出焦点和顶点坐标。

3.对于应用题，评估学生是否能够理解题意，是否能够将实际问题转化为数学问题，并运用抛物线的性质和方程进行解答。

4.对于编程或图形计算器的使用，检查学生是否能够正确设置参数，是否能够观察并分析图像的变化。

5.对于每个学生的作业，给出以下反馈：

-正确解答的问题，给予肯定并鼓励。

-出现错误的问题，指出错误原因，并提供改正建议。

-对于理解有困难的学生，提供额外的辅导资源或建议。

-对于表现优异的学生，提出更高的期望，鼓励他们进一步探索数学问题。

6.在下一节课的开始，通过提问或讨论的方式，检查学生对作业的理解和应用能力。

7.对于普遍存在的问题，可以在课堂上进行集体讲解，帮助学生共同克服困难。

8.鼓励学生之间互相批改作业，以促进同学之间的学习和交流。内容逻辑关系①抛物线的定义

-抛物线的几何定义：抛物线是平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

-抛物线的方程定义：抛物线可以表示为y=ax^2+bx+c（a≠0）的形式。

②抛物线的几何性质

-对称性：抛物线关于其对称轴对称，对称轴为抛物线的对称轴。

-开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

-焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(0,1/(4a))，当a>0时；为(0,-1/(4a))，当a<0时。

-准线方程：抛物线的准线方程为y=-1/(4a)，当a>0时；为y=1/(4a)，当a<0时。

③抛物线的标准方程

-抛物线的标准方程可以表示为y^2=4ax或x^2=4ay的形式，其中a为抛物线的参数。

-标准方程中的参数a与抛物线的开口大小和方向有关。

④抛物线的图像

-抛物线的图像是一个开口向上或向下的曲线，其顶点位于对称轴上。

-抛物线的开口大小由参数a决定，a越大，开口越小；a越小，开口越大。

⑤抛物线的性质与方程的应用

-抛物线的性质和方程可以应用于解决实际问题，如计算抛物线上某点的坐标、确定抛物线的焦点和准线等。

-抛物线的方程可以用于解决几何问题，如求抛物线与直线、圆的交点等。

⑥抛物线的判定

-根据抛物线的定义和几何性质，可以判定一个曲线是否为抛物线。

-抛物线的判定条件包括：曲线关于其对称轴对称，曲线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离等。

⑦抛物线的切线和法线

-抛物线上的切线与法线的性质：切线垂直于法线，切线与法线的交点在抛物线的对称轴上。

-切线方程和法线方程的推导：利用抛物线的方程和导数求解切线方程和法线方程。

⑧抛物线的最值问题

-抛物线上的最值问题：求抛物线上的最大值或最小值，可以通过求导数或利用顶点坐标求解。

-抛物线上的最值点：最值点通常位于抛物线的顶点处。

⑨抛物线的对称性在解决实际问题中的应用

-抛物线的对称性可以简化实际问题，如求抛物线与直线、圆的交点时，可以利用对称性减少计算量。

⑩抛物线的性质与方程在工程中的应用

-抛物线的性质和方程可以应用于工程设计，如求抛物线的最大截面积、最小距离等。课后作业1.完成以下抛物线方程的焦点坐标和顶点坐标：

-y^2=12x

-x^2=8y-16

答案：

-焦点坐标：(3,0)，顶点坐标：(0,0)

-焦点坐标：(0,2)，顶点坐标：(4,0)

2.给定抛物线方程y^2=4x，求抛物线与x轴的交点坐标。

答案：

-抛物线与x轴的交点坐标为：(0,0)和(1,0)

3.已知抛物线经过点(1,-3)，且开口向上，求抛物线的标准方程。

答案：

-抛物线的标准方程为：y^2=4(x-1)

4.抛物线与直线y=2x相交于两点，求抛物线的方程。

答案：

-抛物线的方程为：y^2=4x

5.一个工厂的屋顶形状为抛物线，其顶点位于地面上，焦点位于地面以下2米处，且焦点到屋顶的距离为6米，求屋顶的方程。

答案：

-抛物线的方程为：y^2=-8(x-1)

6.给定抛物线方程x^2=4y，求抛物线在y轴上的截距。

答案：

-抛物线在y轴上的截距为：(0,0)