2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，已知在中，，平分，，垂足为点D，，交边于点E，，求的值．2．如图，中，为钝角，，点是边延长线上一点，以点为顶点，为边，在射线下方作．(1)在射线上取点，连接交线段于点．①如图1，若，请直接写出线段与的数量关系和位置关系；②如图2，若，判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图3，反向延长射线，交射线于点，将沿方向平移，使顶点落在点处，记平移后的为，将绕点顺时针旋转角，交线段于点，交射线于点，请直接写出线段与之间的数量关系_______________．3．已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1．(1)求证：平分．(2)若，，求的值．(3)若，如图2，求的值．4．如图，在矩形中，，点分别在边上，满足．(1)求证∶．(2)若，求的长．5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题：(1)当点在的垂直平分线上时，求的值；(2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．(3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．6．如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E．(1)求证：；(2)如图2，连接，若，求证：；(3)如图3，若，求的面积．7．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示的长度(2)当点在边上运动时，①当点落在边上时，求出的值；②若是以为腰的等腰三角形，求出的值；(3)作直线，当直线将平行四边形分成面积比为2：3的两部分时，直接写出的值．8．如图1，四边形的对角线，相交于点O，．(1)在图1中，过点A作交于点E，求证：；(2)如图2，将沿AB翻折得到．①求证：；②若，，求的长．9．宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？10．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒（）．(1)边的长度为______；(2)当点在边上运动时．①若与相似，求出的值；②若是以为腰的等腰三角形，求出t的值；(3)作直线，当直线将平行四边形分成面积比为的两部分时，直接写出的值．11．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．12．在中，，，D，E分别是，上的动点，与交于点，连接．(1)如图1，若，求证：；(2)已知．（i）如图2；求证：；（ii）如图3，若，，求的值．13．如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点．(1)求证：；(2)如果，求证：①；②．14．如图，E是矩形中边上一点，将沿折叠得到，点落在边上．(1)求证：．(2)若，求的值．15．如图三角形中，点在线段上，点在线段上，连接，交于点．(1)如图1，，，平分．若．求的长．(2)如图2，，，，点，在线段上，且，连接，分别交线段于点，，若点为线段的中点，求证：；(3)如图3，，，且，，．点，是平面内的两个动点且，，当最大时，请直接写出三角形面积的最小值．参考答案1．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，角平分线的定义，先证明，得，，再运用，得出，，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答．正确掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：如图，延长交于点F，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，在中，，∴设，则，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，则，∴.2．(1)①，；②，，理由见解析(2)【分析】（1）①作交于H，证明出，得到，然后得到，进而求解即可；②作交于H，证明出，得到，然后结合即可求解；（2）首先得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①结论：，，理由：如图1中，作交于H，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴；②结论：．理由：如图2中，作交于H，延长，交于点G，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵∴∴；（2）结论：，理由：如图3中，∵，∴是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，在中，∵，，，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．3．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）平行得到，等边对等角，得到，进而得到，即可得证；（2）过作于，勾股定理求出的长，进而求出的长，角平分线的性质，得到，证明，求出的长，进而得到的长，证明，推出的长，再根据正切的定义，进行求解即可；（3）易证矩形是正方形，设，进而得到，证明，推出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵矩形，∴，，，平分．（2）过作于．在矩形中，，，，，，，由（1）得平分，，，，又，，，∵，，∴，，，；（3），矩形是正方形，设，则，由（2）知：，，，∴，，平分，∴，，，，．【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．4．(1)见解析(2)【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）利用矩形的性质和已知条件即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴∵∴．（2）在中，∵，∴∴，∵∴∴．∴，∴，∴．5．(1)(2)存在，当时，(3)存在，当时，点在的平分线上【分析】（1）过点作于点，交于点，当点在的垂直平分线上时，，用等面积法求出，再用含的式子表示、，再利用可求出；（2）连接，过点作于点，先用含的式子表示，再利用，将用含的式子表示，通过面积关系可求出；（3）点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，得到，用等面积法求出，再利用求出，即可求解．【详解】（1）解：如图，当点在的垂直平分线上时，过点作于点，交于点，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，，，，菱形的面积为，即，，，由题意得：，，四边形是平行四边形，，，点在的垂直平分线上，，，，，即，解得：；（2）存在，如图，连接，过点作于点，，，，，，，即，，，，，，即，，，，，，，整理得：，解得：，当时，；（3）存在，如图，点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，，，，，，，，，即，，当时，点在的平分线上．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．6．(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）三角形的外角的性质结合直角三角形的两锐角互余，即可得证；（2）在上截取，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系即可得出结论；（3）过点作于点，证明，得到，证明为等腰直角三角形，推出，在中，勾股定理定理，求出的长，进而求出的长，分割法求出三角形的面积即可．【详解】（1）证明：∵，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）在上截取，由（1）知：，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，∴，过点作于点，则：，由（1）知：，∴，∴，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．7．(1)(2)①；②或(3)或【分析】（1）根据点在、上的运动速度和时间t，以及、的长度，分两种情况表示的长度．（2）①，当点落在边上时，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定证明，进而可得．进而证明，列出比例式即可求出t的值．②分和两种情况，根据等腰三角形的性质和相关线段关系求出的值．（3）根据直线将分成面积比为的两部分，分两种情况：点在上时，设与交于点，得出，点在上时，设与交于点，延长，交于，结合平行四边形的性质和相似三角形的性质求出t的值．【详解】（1）解：在中，根据勾股定理．点在边上的速度为每秒3个单位长度，当时，，则；当时，点在上，此时．综上所述，；（2）解：①当点在边上运动时，当点落在边上时，如图：四边形是平行四边形，．则，．又因为，．，，，即，解得，那么．，即，，；②当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，当时：如图所示：，，，；当时：如图所示：过作于，则．，，，，可得，即，．（3）解：当点在上时，如图所示：设与交于点，直线将分成面积比为的两部分，，设，则，，，，，，，，，，，；当点在上时，如图：设与交于点，延长，交于，直线将分成面积比为的两部分，，同上可得，，，，点在上时，，，，，，，即，解得，综上所述，直线将分成面积比为的两部分时，的值为或．【点睛】本题主要涉及直角三角形的勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等数学概念和定理．熟知相关性质定理，正确画出图形，结合图形分类讨论是正确解答此题的关键．8．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；（2）①过点A作交于E，交于F，由题意易得，，则有，然后问题可求证；②由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而可得，，最后根据方程进行求解即可．【详解】（1）证明：如图1，，，，，，，；（2）①证明：过点A作交于E，交于F，如图2，由（1）知，．，是翻折得到的，，，，，；②解：，，∴四边形是平行四边形，，，，又，，，即，，，即，，，，，，，解得（负值舍去）．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质是解题的关键．9．【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．【详解】解：设上升的高度为，连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，，，，，于点，，，，，，，．，即，，，．，，．答：点在竖直方向上上升了．10．(1)8(2)①或；②或(3)或【分析】（1）在中，由勾股定理即可求解；（2）①第一种情况，如图所示，若时，则，得，；第二种情况，如图所示，，则点在线段上，证，设，则，再证，得到，则，所以，由此即可求解；②第一种情况，如图所示，，第二种情况，如图所示，，过点作于点，运用相似三角形的判定和性质求解即可；（3）第一种情况，当点在上时，由题意得到，则，证，得；第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点，同理得到，，，即，则，证，得到，代入求解即可．【详解】（1）解：在中，，，，∴，故答案为：；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，①第一种情况，如图所示，若时，则，∴，∴，解得，；第二种情况，如图所示，，则点在线段上，∵，∴，且，∴，∴，∴，∴设，则，∵，∴，即，解得，，∴，∴，解得，；综上所述，或；②第一种情况，如图所示，，同理，设，则，∴，解得，，∴，∴，解得，；第二种情况，如图所示，，过点作于点，∴，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，解得，；综上所述，或；（3）解：第一种情况，当点在上时，在中，，，如图所示，设与交于点，∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分，∴，∴，∴，则，∵，∴，∴，解得，；第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点，∴，则，∴，，∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分，∴同理可得，，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∴；综上所述，或．【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．11．(1)见解析(2)(3)，见解析【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；（2）根据，求得的长度，从而得出长度；（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．【详解】（1）证明：如图，四边形是矩形，，，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，，，，；（2）解：四边形是矩形，，，，为中点，，设，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如图，延长，交于一点，连接，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，，直线，，，，，是等腰三角形，，为中点，设，，为中点，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．12．(1)见详解(2)（i）见详解；（ii）【分析】（1）由，可得，则，进而可证，则，证明是等腰直角三角形，进而可证．（2）（i）如图，过点作交的延长线于点，则，证明，则，证明，则，进而可得，即可证明；（ii）证明，则，由，可得，则是等腰直角三角形，设，则，证明，则，由（i）可知，则，即，整理得，可求满足要求的解为，则，根据，求解作答即可．【详解】（1）证明：，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（2）（i）证明：如图，过点作交的延长线于点，则，，，，，，，又，，，，即；（ii）解：∵，，，，，∴是等腰直角三角形．设，则，，，，，由（i）可知，∴，则，整理得，解得：或（舍去），，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切是解题的关键．13．(1)详见解析(2)①详见解析；②详见解析【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．（1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案；（2）①由，可证，进而可证，然后根据可证；②由，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案．【详解】（1）证明：，，，，，，；（2）证明：①，，，，，，，，，，；②∵，，，