2025年中考数学总复习《圆的切线的证明》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《圆的切线的证明》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，且，求的半径与线段的长．2．如图，是的外接圆，是的直径，点为延长线上的一点，连接，若，(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的半径．3．如图，正方形内接于，连接，是的中点，过点作且与的延长线相交于点，与相交于点，连接．

(1)求证：是的切线．(2)求的值．4．如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．(1)求证：是的切线．(2)求证：为等腰三角形．(3)若，，求的长．5．如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．6．如图，内接于，是的直径，过O作交的延长线于点D，交于点E、F是线段的中点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．7．如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：．8．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点M．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的半径．9．如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于点F．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，求的长．10．如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的半径为4．从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为．(1)如图2，当恰好经过圆心O时，求证：是的切线；(2)如图3，若时，边与的另一交点为E，求的长．11．如图，为的直径，C为上一点，连接，，D为延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，的面积为，求的长；(3)在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长．12．如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，，且，垂足为点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求弧的长．13．如图，点在上，过点，分别与交于，过作于．(1)求证：是的切线；(2)若与相切于点，求的半径．14．如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)如果，，求的长．15．如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分．(1)求证：直线是的切线．(2)若的半径为5，，求的长．(3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长．参考答案1．(1)见解析(2)的半径为6，【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长．【详解】（1）证明：连接，如图，，．，．．∴,，．是的半径，是的切线；（2）解：在中，，，，．即的半径为6．，，．，，∴，∴，，，．【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．（1）连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据线段的和差可得的长，由此即可得．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，又∵是的半径，∴直线是的切线．（2）解：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的半径为．3．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用圆周角定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点P作，先由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，再求解即可．【详解】（1）证明：连接，

四边形是正方形，，是的中点，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：过点P作，

平分，，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，角平分线的性质及正方形性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．4．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】此题重点考查等膘三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，即可证明是的切线；（2）延长交于点，由是的直径，得，可证明，则，所以垂直平分，则，所以为等腰三角形；（3）作于点，可证明四边形和四边形都是矩形，则，所以，而，由勾股定理得，则，，求得，，所以．【详解】（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，，，，，，，，，是的半径，且，是的切线．（2）证明：延长交于点，是的直径，，，，，，，垂直平分，，为等腰三角形．（3）解：作于点，则，，四边形和四边形都是矩形，，，，，，，，，，，的长为．5．(1)见解析(2)12【分析】本题考查的是切线的判定、勾股定理、平行线的性质和判定等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．（1）根据题意可得，根据等腰三角形的性质和角平分线得出，证明，得出，即可证明．（2）在中根据勾股定理求出，即可求解．【详解】（1）证明：∵于点E，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，且，∴直线是的切线．（2）解：∵，且，，，∴，解得：，∴，∴的长为12．6．(1)见解析(2)【分析】（1）证明，则，由是的半径即可得到结论；（2）利用勾股定理求出，证明，求出，再证明，求出，由，代入即可得到答案．【详解】（1）证明：∵为的直径∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵点是的中点，，∴．【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线；（2）连接，首先得到，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可．【详解】（1）证明：四边形是菱形，．，．又为的直径，是的切线．（2）证明：如图1，连接，，是的直径，，，，即．又，．四边形是菱形，，则，，．【点睛】本题考查了圆与四边形综合题，切线的判定，圆周角定理，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴直线是的切线；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即的半径为．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．9．(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证；（2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，则，，，，．于点F，，，即．是的半径，是的切线．（2）解：如图，连接．是的直径，，即．，的半径为5，．在中，由勾股定理，得．，，．【点睛】本题考查了圆与等腰三角形．正确引出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，面积法求三角形的高是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了切的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，求弧长，对于（1），作，根据直角三角形的性质得，即可知，再直角三角形的性质得，然后根据是的半径可得答案；对于（2），先求出，再根据，可得，进而求出，最后根据弧长公式得出答案.【详解】（1）解：如图2，过点O作于点F，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图3，连接，，时，，又，，，的长为．11．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，由为的直径，可得，再证明，结合已知，可得，从而得出结论；（2）过C作于M，连接，利用的面积为求出的长，利用勾股定理求出的长，证明，得到，即可得出的长；（3）过C作于M，过E作于H，连接，根据垂直得到，从而得到，利用勾股定理求出的长，设，则，由可得：，求出的长，进而得出结果．【详解】（1）证明：连接，如图：为的直径，，，，又，，即，，是的切线；（2）过C作于M，连接，如图：的半径，，的面积为，，即，，在中，，，，即，；（3）过C作于M，过E作于H，连接，如图：，由（2）知，中，设，则，由可得：解得：，，．【点睛】本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形．12．(1)见解析(2)【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再关键平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证；（2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图，，，，，，，，，又∵为半径，∴是的切线；（2）解：连接，如图，，，，为等边三角形，，由（1）得，，，，∴弧的长．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．13．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；（2）连接连接，可证明四边形是正方形，则，设，则，由勾股定理得，求得半径r即可．【详解】（1）证明：连接，则．．，．．．，．．是的半径，且，是的切线．（2）解：连接，与相切于点，．．四边形是矩形，．四边形是正方形．．设，，．．．解得（不符合题意，舍去）．故的半径为3．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．14．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，可证明是的垂直平分线，从而得出，进而证明，可得到，进一步得出结果；（2）可证明，进而得出，在中求出，进而得出结果．【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵是的切线，∴．∵是的直径，∴．∵，∴．∵，∴，∴是线段的垂直平分线，∴．∵，∴，∴，∵点C在⊙O上，∴是的切线．（2）解：由（1）得：，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，，∴，，∴，∴∴．【点晴】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．15．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证；（）由垂直平分得到，