高中数学选修二（人教A版2019）课后习题答案解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页4.1数列的概念第四章数列4．1数列的概念例1根据下列数列an（1）an（2）an解：（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an图象如图4.1-2（1）所示．（1）（2）图4.1-2（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an图象如图4.1-2（2）所示．例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，−12，13（2）2，0，2，0，…．解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an练习1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；(3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数fx(4)数列的通项公式为a【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解(4)见详解【分析】（1）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（2）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（3）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；（4）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；(1)根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下：.(2)根据题意，可知数列的前10项为：1，12，13，14，15，16，17，.(3)根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下：.(4)根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下：.2．根据数列ann12…5………na……153…273…3(3+4n)【答案】答案见解析【分析】根据an【详解】当n=1时，an当n=2时，an当n=5时，an当an=153时，3(3+4n)=当an=273时，3(3+4n)=273所以列表如下：n12…5…12…22…nan2133…69…153…273…3(3+4n)3．除数函数(divisorfunction)y=dn(n∈N∗)的函数值等于n的正因数的个数，例如d1=1，d4=3.写出数列【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.【分析】根据定义直接写出即可.【详解】由题意可得d1因为2=1×2，所以d2因为3=1×3，所以d3因为4=1×4=2×2，所以d4因为5=1×5，所以d5因为6=1×6=2×3，所以d6因为7=1×7，所以d7因为8=1×8=2×4，所以d8因为9=1×9=3×3，所以d9因为10=1×10=2×5，所以d10所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：（1）1，13，15，17（2）1，22，12，24【答案】（1）an=1【分析】（1）找到规律后写出通项公式即可；（2）找到规律后写出通项公式即可.【详解】（1）12×1−1=1，12×2−1=13，所以an（2）由题意，2所以an例3如果数列an的通项公式为a分析：要判断120是不是数列an中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n解：令n2解这个关于n的方程，得n=−12（舍去），或n=10．所以，120是数列an例4图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．（1）（2）（3）（4）图4.1-3在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．因此，这个数列的一个通项公式是an例5已知数列an的首项为a1=1解：由题意可知a1a2a3a4a5练习5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数．(1)(2)(3)【答案】(1)第5项图形见解析，通项公式为an=5n−4，第5(2)第5项图形见解析，通项公式为bn=3n−2，第5(3)第5项图形见解析，通项公式为cn=nn+2，第【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（2）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（3）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.（1）解：设第n项的点数为an∵a1=1，a2=1+5，a3=1+2×5数列an的一个通项公式为an=1+5（2）解：设第n项的点数为bn∵b1=1，b2=1+3，b3=1+2×3数列bn的一个通项公式为bn=1+3（3）解：设第n项的点数为cn∵c1=1×3，c2=2×4，c3=3×5数列cn的一个通项公式为cn=n6．根据下列条件，写出数列an（1）a1=1，（2）a1=3，【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3.【分析】根据递推公式直接写出即可.【详解】（1）因为a1=1，所以a2a3a4a5故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.（2）因为a1=3所以a2a3a4a5故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.7．已知数列an满足a1=2【答案】a1=2，a2=32，a3【分析】将n=2、3、4、5代入an【详解】a1=2，a2=2−1a1猜想an8．已知数列an的前n项和公式为Sn=−2【答案】a【分析】本题可根据an【详解】当n≥2时，an当n=1时，a1=S故an的通项公式为a习题4．19．写出下列数列的前10项，并绘出它们的图像：（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；（2）欧拉函数φn【答案】（1）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，图见解析；（2）1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，图见解析.【分析】（1）本题可依次列出素数，然后绘图即可；（2）本题可依次列出欧拉函数φn【详解】（1）素数从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，绘出图像如图所示：（2）φ1=1，φ2=1，φ3φ6=2，φ7=6，φ8依次为1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，绘出图像如图所示：10．根据下列条件，写出数列an（1）an（2）an（3）a1=1（4）a1=−1【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析【分析】（1）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．（2）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．（3）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．（4）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．【详解】（1）由an=1n2可得a1＝1a4=116，a5（2）由an＝（﹣1）n+1（n2+1）可得：a1＝2，a2＝﹣5，a3＝10，a4＝﹣17，a5＝26．（3）a1=12，an＝4an﹣1+1n＝2时，a2n＝3时，a3n＝4时，a4n＝5时，a5（4）a1=−14，an＝1−1an＝2时，a2＝1−1an＝3时，a3＝1−1n＝4时，a4＝1−1n＝5时，a5＝1−1a11．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：（1）（

），4，9，（

），25，（

），49；（2）1，132，（

），172，19（3）1，2，（

），2，5，（

），7；（4）12，16，（

），120，1【答案】详见解析【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果.【详解】（1）中依次填写1、16、36，通项公式为an（2）中依次填写152、111（3）中依次填写3、6，通项公式为an（4）中依次填写112、142，通项公式为12．已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由a（1）写出这个数列的前5项；（2）利用数列an，通过公式bn=an+1【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b1=2，b2=32，b3=53，b4=8【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项．（2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn=an+1an求解出数列{bn【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，得a3＝a2+a1＝2+1＝3，a4＝a3+a2＝2+3＝5，a5＝a4+a3＝3+5＝8；（2）依题意有：b1=a2b2=ab3=ab4=ab5=a13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21.正方形数：第五个数25，第六个数36.五边形数：第五个数35，第六个数51.【分析】找到规律后代入计算即可.【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.正方形数：第一个数12=1，第二个数22=4，第三个数32=五边形数：第一个数1(3×1−1)2=1，第二个数2(3×2−1)2=5，第三个数3(3×3−1)2=12，第四个数14．假设某银行的活期存款年利率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用an表示第n年到期时的存款余额，求a1、a2、a【答案】a1=10.035，a2≈10.070，【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果.【详解】a1=101+0.35%a3=101+0.35%15．已知函数f(x)=2x−12x（1）求证an（2）an【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得；（2）证得an+1【详解】（1）由题意得an=2n−12n（2）an证明：因为an=2所以an+1−a4.2等差数列第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念例1（1）已知等差数列an的通项公式为an=5−2n（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an解：（1）当n⩾2时，由an的通项公式aan−1于是d=a把n=1代入通项公式ana1所以，an的公差为−2（2）由已知条件，得d=5−8=−3.把a1=8，d=−3代入an把n=20代入上式，得a20所以，这个数列的第20项是−49.例2−401是不是等差数列−5，−9，−13，……的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看−401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=−5，an令−4n−1=−401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，−401是这个数列的项，是第100项.练习1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，【答案】（1）是等差数列，公差为−13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为−1【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82−95=69−82=56−69=43−56=30−43=−13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−13；（2）通过观察可知，1.1−1=0.1，1.11−1.1=0.01，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，−2−1=−3，3−−2=5，（4）由1112−1=56−2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895；

（2）−1213和【答案】（1）771；（2）9215【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647+8952=771（2）设−1213和2435的等差中项为b，则b=−12133．已知在等差数列an中，a4+a8【答案】a【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列ana4+∴d=∴4．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列．【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．【详解】解：∵在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，∴a1=7a∴aa3a4∴插入的这3个数为10.5，14，17.5．例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用a解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列aan由于d是与n无关的常数，所以数列an是一个公差为−d的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以aan根据题意，得a即220−10d⩾11,解这个不等式组，得19<d⩽20.9.所以，d的取值范围为19<d⩽20.9.例4已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在a（1）求数列bn（2）b29是不是数列an的项？若是，它是分析：（1）an是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出bn的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第c解：（1）设数列bn的公差为d由题意可知，b1=ab5因为b5−b1=4所以bn所以，数列bn的通项公式是b（2）数列an的各项依次是数列bn的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn令4n−3=29，解得n=8.所以，b29是数列a例5已知数列an是等差数列，p，q，s，t∈N∗，且p+q=s+t分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as证明：设数列anapaqasat所以ap+a因为p+q=s+t，所以ap练习5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用an表示第n【答案】an=2n+13【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，则ana10综上可知，an=2n+13，第10排的座位数6．画出数列an【答案】图象见解析，−3【分析】由递推关系an=18,n=1【详解】根据递推关系an=18,n=1作出数列an通过图象上所有点的直线的斜率a67．在等差数列an中，an=m，am=n【答案】2n【分析】利用等差数列的通项公式，解出a1、d，代入【详解】设等差数列an的公差为则a所以a8．已知数列an，bn都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列（1）数列cn（2）若an，bn的公差都等于2，a1【答案】（1）数列cn是等差数列，证明见解析；（2）c【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列cn证明：因为数列an，bn都是等差数列，公差分别为d1所以an又因为cn故cn+1−c而c1=a1+2b1（2）由（1）知：数列cn是以a1+2而c1=a所以cn9．已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为a1+md，公差为d；（2）是等差数列，首项为首项为a1，公差为2d；（3）是等差数列，首项为a【分析】（1）由题意可知，新的数列为：am+1（2）由题意可知，新的数列为：a1（3）由题意可知，新的数列为：a7【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列an的前mam+1, am+2（2）由题意可知，取出无穷等差数列ana1, a3（3）由题意可知，取出无穷等差数列ana7, a14猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6已知数列an（1）若a1=7，a50（2）若a1=2，a2（3）若a1=12，分析：对于（1），可以直接利用公式Sn=na1+an2求和；在（2）中，可以先利用a1和解：（1）因为a1=7，a50S50（2）因为a1=2，a2=5S10（3）把a1=12，d=−1−5=1整理，得n2解得n=12，或n=−5（舍去）.所以n=12.例7已知一个等差数列an分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a解：由题意，知S10=310，把它们代入公式Sn得10解方程组，得a所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.练习10．根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项和S（1）a1=5，an=95（2）a1=100，d=−2，（3）a1=−4，a8=−18（4）a1=14.5，d=0.7，【答案】（1）S10=500；（2）S50=2550【分析】（1）利用等差数列求和公式Sn（2）利用等差数列求和公式Sn（3）先求出等差数列的公差d，再利用求和公式即可得解；（4）利用an=32求出项数【详解】（1）由题意a1=5，an所以S（2）由题意a1=100，d=−2，所以S50（3）由题意a1=−4，a8=−18，n=10所以S（4）由题意a1=14.5，d=0.7，由an=a1+(n−1)d所以S2611．等差数列−1，−3，−5，…的前多少项的和是−100？【答案】10【分析】根据题意，找到首项和公差，利用前n项和公式即可解得.【详解】等差数列−1，−3，−5，…的首项为a1=−1,公差设前n项的和为-100，则有Sn解得：n=10.即等差数列−1，−3，−5，…的前10项的和是−100.12．在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=6，【答案】72【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，则S4=4a则S1613．在等差数列an中，若S15=5【答案】16【分析】结合等差数列的前n项和公式得到15a1+【详解】因为S15=5a即15a8=5所以3a1+7d所以15=k−1，所以k=1614．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．【答案】此数列中间一项是29，项数为19.【分析】设等差数列的项数为2n−1，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与n的关系，求出n，即可求出项数及中间一项.【详解】设等差数列的项数为2n−1，设所有的奇数项和为S，则S=n(设所有的偶数项和为T，则T=(n−1)(TS=n−1项数2n−1=19，中间项为a10由S=10a所以此数列中间一项是29，项数为19.例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列an.设数列an的前n项和为Sn解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn.根据题意，数列an由S20=20a因此，第1排应安排21个座位.例9已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=−2，则分析：由a1>0和d<0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an<0，S另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1−d2n，所以当d≠0图4.2-4解法1：由以an+1−an=−2<0又由an当n<6时，an当n=6时，an当n>6时，an所以S1也就是说，当n=5或6时，Sn因为S5=5解法2：因为Sn=d2n所以，当n取与112最接近的整数即5或6时，S练习15．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？【答案】第二种方式获奖者收益更多．【分析】从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.【详解】从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，即a1=100，d=10所以共获奖金13×100+13×12由于2080>2000，故第二种方式获奖者收益更多．16．已知数列an的前n项和S【答案】a【分析】利用公式a【详解】当n=1时，a1当n≥2时，an当n=1时，a1所以an17．已知等差数列−4.2，−3.7，−3.2，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时【答案】Sn存在最小值，【分析】由已知可求得数列的通项公式an=0.5n−4.7，令an>0，可知n>9且【详解】由已知可知等差数列的首项a1=−4.2则数列的通项公式为a令an>0，即0.5n−4.7>0，又n∈N∗即数列的前9项都是负数，第10项为正数，故当n=9时，Sn18．求集合M={mm=2n−1,n∈N∗，且【答案】集合M中有30个元素，这些元素的和为900.【分析】由集合M的元素特点可知，集合M=1,3,5,7,⋯59【详解】集合M={mm=2n−1,n∈N∗，且m<60共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列利用等差数列求和公式得S故集合M中有30个元素，这些元素的和为900.19．已知数列an的通项公式为an=n−22n−15，前n项和为S【答案】n=7【分析】首先求出数列的正负项，再判断Sn取得最小值时n【详解】当an≤0⇔n−2解得：n=2,3,4,5,6,7，当n=1和n≥8时，an所以Sn取得最小值时，n=7习题4.220．根据下列等差数列an（1）a1=20，an=54，Sn=999（2）d=13，n=37，Sn=629，求（3）a1=56，d=−16，S（4）d=2，n=15，an=−10，求a1【答案】（1）d=1713,n=27；（2）a1=11,【分析】（1）由已知结合Sn=n(a1（2）由已知结合Sn=na1+（3）由已知结合Sn=na1+（4）由已知结合通项公式，求出a1，再由前n项和公式求出S【详解】（1）因为等差数列an中，a1=20，a所以Snan（2）因为等差数列an中，d=13，n=37所以Sn解得a1（3）因为等差数列an中，a1=56所以Sn整理得n2−11n−60，解得n=15，或an（4）因为等差数列an中，d=2，n=15，aanSn21．已知an为等差数列，a1+a3【答案】1【分析】设an的公差为d，根据通项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出a【详解】设an的公差为d，首项为aa∴a∴a22．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？【答案】（1）nn+1；（2）n【分析】根据等差数列的前n项和公式求和即可.【详解】（1）通项公式为an=2n，所以（2）通项公式为an=2n−1，所以（3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995，所以n=995−100故和为100+995×180（4）被7整除余2的数为7n+2n∈N∗所以9×13+13×12×723．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．【答案】2061年【分析】查历史记载列出时间表，根据即可回归周期求出它在本世纪回归的年份.【详解】根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：次数123457年份160716821759183519101986预测它在本世纪回归的年份为2061年.24．已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为44cm，公差为【答案】4【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数.【详解】由题意可知：an=44，S则Sn=n(a解得：n=4或n=79故这个多边形的边数为4.25．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=5，【答案】6000【分析】通过{an}，{bn}都是等差数列，则【详解】解：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以an则数列an+b26．已知Sn是等差数列an的前（1）证明Sn（2）设Tn为数列Snn的前n项和，若S4=12【答案】（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）写出Sn，求出Snn（2）求出S44，S88，求出公差d，进一步求出【详解】（1）∵Sn=n∴Snn∴S∴Sn（2）S44公差d=又∵S∴S∴Snn∴Tn27．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．【答案】1472【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项.共有182−212它们的和为2+1822这个新数列的各项之和为147228．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10min（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车行驶的速度都是60km/h【答案】（1）53小时；（2）2550(km)【分析】（1）根据条件求出时间的间隔，即可求得18时，最后一辆车行驶的时间；（2）每辆车行驶的时间构成数列an【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔事件为10min，即为1则第15辆车在16×16=所以第15辆车行驶的时间为18−49（2）设每辆车行驶的时间构成数列an由题意可得an构成首项为a1=4则15辆车行驶的时间的和为S15所以行驶的总里程为S=8529．已知等差数列an的公差为d，求证a【答案】证明和解释见解析.【分析】由通项公式可以证得结果.【详解】因为等差数列an的公差为d，所以a在斜率为d的直线l：f(x)=dx+(a1−d)上任取两点(m,am)，(n,an) (m≠n)30．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列an（1）写出数列an（2）根据（1）中的递推公式，写出数列an【答案】（1）an=an−1+n【分析】（1）利用每一层的小球的数量找到递推关系得解；（2）根据递推关系结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】（1）由题意可知，a1a2a3=aan所以数列{an}（2）由题意，an故an所以数列{an}4.3等比数列1第四章数列4．3等比数列4．3．1等比数列的概念例1若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求a分析：等比数列an由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于解法1：由a4=48，a②的两边分别除以①的两边，得q2解得q=12或把q=1a1此时a5把q=−1a1此时a5因此，an的第5项是24或−24解法2：因为a5是a4与a5所以a5因此，an的第5项是24或−24例2已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am解：由题意，得aman②的两边分别除以①的两边，得an所以an例3数列an分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2，80q，80，80+d80解方程组，得q=2,d=16,或所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，−48．练习1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．（1）3，9，15，21，27，33；

（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3）13，16，19，112，1（4）4，−8，16，−32，64，−128．【答案】（1）不是；（2）是等比数列，q=1.1；（3）不是；（4）是等比数列，公比q=−2【分析】根据等比数列的定义一一判断即可；【详解】解：（1）3，9，15，21，27，33；因为93（2）a1=1，a2=1.1，a所以a2a（3）a1=13，a2=16，a显然a2（4）因为a1=4，a2=−8，a3=16，a所以a2a2．已知an是一个公比为qaaaaq2820.2【答案】第一行：4，16，±2【分析】根据表格中的数据解出a1【详解】第一行：a1=2,a第二行：a3．在等比数列an中，a1a3=36，a【答案】a1=−2【分析】设等比数列的首项为a1，公比为q，根据等比数列的性质求出a2=6，即可求出q，再代入a【详解】解：设等比数列的首项为a1，公比为q，因为a1a3=36，a∴a2>0∴1+q2=10当q=3时，由a2=a当q=−3时，由a2=所以a1=−24．对数列an，若点n,an(n∈N∗)都在函数y=cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，【答案】是（证明见解析）【分析】根据题意写出通项公式，再由等比数列的定义即可判断.【详解】由题意知:an因为c≠0，q≠0，q≠1，an且a所以数列an为以cq为首项，q5．已知数列an（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，（2）当n>1时，an−1，an，an+1是否成等比数列？为什么？当n>k>0时，an−k，【答案】（1）a3，a5，a7成等比数列，a1，a5，a9成等比数列；（2）an−1，an，【分析】（1）分别说明a52=（2）分别说明an2=【详解】（1）设等比数列的公比为q，则a52=∴a52=a3⋅又a1a9=a1⋅a1（2）∵an2∴an2=an−1⋅又an−k⋅a所以an−k，an，例4用10000元购买某个理财产品一年．（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10−5分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列an，则an是等比数列，首项a1a12所以，12个月后的利息为10490.7−10（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列bn，则bn也是一个等比数列，首项b1b4因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为104解不等式104r⩾1.206%．所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．例5已知数列an的首项a（1）若an为等差数列，公差d=2，证明数列3（2）若an为等比数列，公比q=19分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．证明：（1）由a1=3，d=2，得an设bnbn+1又b1所以，3a（2）由a1=3，an两边取以3为底的对数，得log3所以log3又log3所以，log3an例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，bn，则各月不合格品的数量构成数列anbn．由题意可知，数列a解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，b由题意，知anbn=1−[90%+0.4%(n−1)]=0.104−0.004n，其中a=1.05由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）．表4.3-1观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n⩾6时，a由an+1得n>5．所以，当n⩾6时，an又a13所以，当13⩽n⩽24时，an所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．练习6．求满足下列条件的数：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；（2）在160与−5中间插入4个数，使这6个数成等比数列．【答案】（1）27、81；（2）−80、40、−20、10.【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，设等比数列的公比为q，则243=9q3，解得所以在9与243中间插入2个数为27、81.（2）在160与−5中间插入4个数，使这6个数成等比数列，设等比数列的公比为q，则−5=160q5，解得所以在160与−5中间插入4个数为−80、40、−20、10.7．设数列an，b（1）数列cn，其中cn（2）数列dn，其中d【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）利用等比数列的定义判断即可.（2）利用等比数列的定义判断即可.【详解】数列an，bn都是等比数列，设公比分别为q1、q2（q1（1）由cn=a所以数列cn（2）由dn=a所以数列dn8．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？【答案】128145辆【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果【详解】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为an，则a1=5000，公比q=150%=1.5，所以a故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.9．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据7≈2.646【答案】0.51【分析】设平均增长率p，依题意可得，105(1+p)【详解】解：设平均增长率p，依题意可得，105(1+p)则1+p=16所以p=4故平均增长率约为0.51．10．已知数列an的通项公式为an=n3【答案】3【分析】根据已知条件列出前2项比较大小，然后根据an【详解】设n=k时，an因为a1=1所以k>1所以a即k3≥3(k−1)33k即2.26≤k≤3.26(k∈Z)所以k=3故当an取最大值时，4．3．2等比数列的前n项和公式例7已知数列an（1）若a1=12，（2）若a1=27，a9=1（3）若a1=8，q=1解：（1）因为a1=1S8（2）由a1=27，27×q即q8又由q<0，得q=−1所以S8（3）把a1=8，q=12，8×1−整理，得12解得n=5．例8已知等比数列的首项为−1，前n项和为Sn．若S解：若q=1，则S10所以q≠1．当q≠1时，由S10(−1)1−整理，得1+q即q5所以q=−1例9已知等比数列an的公比q≠−1，前n项和为Sn．证明Sn，S证明：当q=1时，SnS2nS3n所以Sn，S2n−当q≠1时，SnS2nS3n所以S2n因为qn为常数，所以Sn，S2n−S练习11．已知数列an（1）若a1=3，q=2，n=6，求（2）若a1=−2.7，q=−13，（3）若a1=−1，a4=64，求（4）若a3=32，S3【答案】（1）189；（2）−9145；（3）q=−4，S4=51；（4）【分析】（1）根据等比数的求和公式，即可求解；（2）由题设条件和等比数列的通项公式求得n的值，结合等比数列的求和公式，即可求解；（3）根据等比数列的通项公式，列出方程求得公比q=−4，结合求和公式，即可求解.（4）设等比数列an的公比为q【详解】（1）因为a1=3，q=2，n=6，可得（2）因为a1=−2.7，q=−1所以Sn（3）设等比数列an的公比为q，因为a1=−1，a即q3=−64，解得q=−4，所以（4）设等比数列an的公比为q，因为a3=当q=1时，可得an=a当q≠1时，可得a3=a12．已知a≠b，且ab≠0．对于n∈N∗，证明：an【答案】证明过程看解析.【分析】利用错位相减法直接求和.【详解】证明：记Sn因为a≠b，且ab≠0，所以两边同乘以abab所以1−a所以Sn所以an13．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,【答案】当a1=3,q=2时，an=3×【详解】设an的公比为q，由题设得解得{a1=3当a1=3,q=2时，当a1=2,q=314．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．【答案】答案见解析【分析】由已知条件，结合等比数列的性质，即可直接求解.【详解】设这三个数分别为x,y,z，则满足y2由题意可得x+y+z=14,xyz=64，联立方程组，可得x=2,y=4,z=8或x=8,y=4,z=2，当这三个数为x=2,y=4,z=8，可得这个等比数列的首项为2，公比为2；当这三个数为x=8,y=4,z=2，可得这个等比数列的首项为8，公比为1215．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？【答案】4【分析】依题意设数列的首项为a1，公比为qq≠1，根据等比数列前n【详解】解：依题意设数列的首项为a1，公比为qq≠1，则S5=a11−q51−q=10，S10例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL图4.3-2（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3a1由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1因此，an是以25为首项，1设an的前n项和为S（1）S10所以，前10个正方形的面积之和为25575512（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和aSn随着n的无限增大，12n将趋近于0，所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列bn，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为anbnS====420×1.05当n=5时，S5所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，（1）写出一个递推公式，表示cn+1与c（2）将（1）中的递推公式表示成品cn+1（3）求S10分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与c解：（1）由题意，得c1cn+1（2）将cn+1cn+1比较①②的系数，可得r=1.08,解这个方程组，得r=1.08,所以，（1）中的递推公式可以化为cn+1（3）由（2）可知，数列cn−1250是以c1−1250+所以S10练习16．某教育网站本月的用户为500人网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？【答案】32【分析】由题可得每月的用户数形成一个等比数列，由an【详解】根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列an则首项a1=500，公比则由an=500×1.1则n=log17．一个乒乓球从1m(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm【答案】(1)386cm(2)8【分析】（1）利用等比数列的求和公式可得；（2）利用求和公式列出不等式即可求出.(1)由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列，则当它第6次着地时，经过的总路程为1+20.61+所以当它第6次着地时，经过的总路程是386cm；(2)由题意得1+20.61+整理得0.61n≤0.025，所以则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到400cm18．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？【答案】424万元【分析】设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：1000×(32)5【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则：第一年剩余资金为：1000(1+50%)−x=1000×3第二年剩余资金为：(1000×3……以此类推，第五年剩余资金为：1000×(由题意知，1000×(即[(32故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金．19．已知数列an的前n项和为Sn，若Sn【答案】1−【分析】利用公式an=S【详解】当n=1时：S1当n≥2时：SS①−②:a所以数列an为以−1所以Sn习题4．320．已知数列an（1）若a1=−1，a4=64，求（2）若a5−a1=15【答案】（1）q=−4，S4=51；（2）4或【分析】（1）根据题设条件列出方程组，求得q=−4，结合等比数列的求和公式，即可求解；（2）由题设条件，列出方程组a1(q4−1)=15a1【详解】（1）由数列an是等比数列，设等比数列的公比为q因为a1=−1，a4=64，可得a4所以S4（2）设等比数列的公比为q，因为a5−a可得a1(q4−1)=15a1当q=2时，可得a1=1，则当q=12时，可得a121．已知an是一个无穷等比数列，公比为q（1）将数列an中的前k（2）取出数列an（3）在数列an【答案】答案见解析.【分析】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a1（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a1（3）这个新数列是等比数列.它的公比是q11，我们由此可以得到一个结论：在数列an中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为【详解】（1）将数列an中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a（2）取出数列an中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a（3）在数列an中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是q11，我们由此可以得到一个结论：在数列an中，每隔k22．求和：（1）（2−3×5（2）1+2x+3x【答案】（1）n(n+1)−34【分析】（1）将式子分组，再分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可.（2）讨论x的取值，当x=1时，直接利用等差数列的前n项和公式；当x≠1时，利用错位相减即可求出答案.【详解】（1）(2−3×=(2=(2+2n)n（2）当x=1时：1+2x+3当x≠1时：记S①×x:x①−②：(1−x)化简得：S综上所述：1+2x+323．放射性元素在t=0时的原子核总数为N0，经过一年原子核总数衰变为N0q（1）碳14的年衰变率为多少（精确到10−6（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？【答案】（1）0.999879；（2）4221.【分析】（1）根据题意，生物体死亡n年后，体内每克组织中的碳14的残留量为an，则可判断出an是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出（2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n.【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q，n年后的残留量为an，则aan=a即碳14的年衰变率为0.999879；(2)设动物约在距今n年前死亡，由anan解得n≈4221，所以动物约在距今4221年前死亡．24．已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列.求证：a【答案】见解析【分析】根据an为等比数列且S3，S9，S6成等差数列，即可解出q3=−1【详解】因为S3，S9，所以2（1）当q=1时：S9=9a1,（2）当q≠1时：S9=a1(1−q9所以a5=a所以2a所以a2，a8，25．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：1，11，111，1111，11111，…．【答案】an=1【分析】利用1=19×9=19【详解】设该数列为{an}，其前n因为a1所以该数列的一个通项公式为anS26．在数列an的首项为a1=1（1）求证：an（2）求数列an的前n项和S【答案】（1）证明见解析；（2）Sn【分析】（1）由an+1=−a（2）由（1）求得an=(−1)n+【详解】（1）由题意，数列an满足an+1+则an+1又由a1=1，可得所以数列an−2n表示首项为（2）由（1）知an−2所以Sn当n为偶数时，可得Sn当n为奇数时，可得Sn综上可得，Sn27．若数列an的首项a1=1，且满足a【答案】an【分析】由题可得an+1是首项为【详解】∵an+1=2a∴an+1∴an+1=2×∴S28．已知数列an为等比数列，a1=102，公比q=12．若Tn是数列【答案】T【分析】先求出an的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时n【详解】因为数列an为等比数列，a1=102所以an所以T当an≥1a即102×12n−1此时T29．已知数列an的首项a1=（1）求证：数列1a（2）若1a1+【答案】（1）证明见解析；（2）99.【分析】（1）由an+1=3（2）由（1）求得1an=23【详解】（1）由题意，数列an满足an+1=可得1an+1−1=又由a1=3所以数列1an−1表示首项为2（2）由（1）可得1an设数列1an的前n项和为则Sn=2×1若Sn<100，即因为函数y=x+1−1所以满足Sn<100的最大整数n的值为30．已知数列an为等差数列，a1=1，a3=22+1，前n求证：（1）数列bn（2）数列an【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）依题意首先求出an的通项公式，即可得到Sn，从而得到（2）假设存在an【详解】解：（1）因为等差数列an满足a1=1，a3=22所以bn=Snn=2（2）设数列an中任意三项an=1+2则an≠am即2因为m,n,k∈所以n+k−2m=0m−12=n−1k−1，所以k−n2=04.4数学归纳法第四章数列4．4数学归纳法例题1．用数学归纳法证明：如果an是一个公差为d的等差数列，那么an=【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.【详解】（1）当n=1时，左边=a1，右边（2）假设当n=kk∈N∗根据等差数列的定义，有ak+1于是ak+1=ak+d=即当n=k+1时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何n∈N练习2．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当n∈N∗时，n=n+1．证明：假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即k=k+1．则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边．所以当n=k+1时，等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式n=n+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn证明，①当n=1时，左边=S1=a②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面两式相加并除以2，可得Sk+1即当n=k+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是S【答案】（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当n=1时，结论成立，②假设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，应用归纳假设，证明n=k+1时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明n=1时等式成立；（2）有错误，错误在于证明n=k+1时，没有应用n=k时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.3．用数学归纳法证明，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是an=a1【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明.【详解】由题意，等比数列an的首项为a1，公比为①当n=1时，a1=a②假设n=k时，ak则当n=k+1时，ak+1由①②可知，对于任意n∈N+，都有证明：前n项和公式Sn③当n=1时，S1④假设n=k时，Sk则当n=k+1时，Sk+1由③④可知，对于任意n∈N+，都有例题4．用数学归纳法证明12【答案】见解析【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【详解】证明：①当n=1时，左边=12=1②假设当n=kk∈即12那么，1=kk+1=即当n=k+1时等式也成立.由①②知，等式对任何n∈N【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.5．已知数列an满足a1=0，2【答案】an【分析】利用递推关系式得出数列的前5项，猜想an【详解】由2an+1−由a1=0，可得同理可得a3=12−1归纳上述结果，猜想a下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当n=1时，③式左边=a1=0（2）假设当n=kk∈N∗那么ak+1=1由（1）（2）可知，猜想对任何n∈N6．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n−1，…的前n项和为Sn，试比较S【答案】x∈R∗，n∈N∗且【分析】计算n=2和n=3时的情况猜想：n>1时，Sn【详解】由已知可得Sn当n=2时，S2=1+(1+x)=2+x，由x>0，可得当n=3时，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+由此，我们猜想，当x∈R∗，n∈N∗且下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立．（2）假设当n=k（k∈N∗，且k≥2）时，不等式成立，即由x>0，可得1+x>1，所以(1+x)k于是Sk+1所以，当n=k+1时，不等式也成立．由（1）（2）可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数练习7．用数学归纳法证明：−1+3−5+⋯+【答案】证明见解析【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可.【详解】（1）当n=1时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当n=kn∈即−1+3−5+⋯+−1则当n=k+1时，左边=−1+3−5+⋯+==−1所以，当n=k+1时，等式成立；由（1）（2）可知，对∀n∈N【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．若数列11×2，12×3，13×4，…，1nn+1，…的前n项和为Sn，计算S1【答案】S1=12，S2【分析】逐个计算S1,S2,【详解】解：S1=12，由S1=12，S2检验初始值n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立.①n=1时，S1②假设n=k时，有Sk=kSk+1==k2=k+1所以Sk+1=∴n=k+1时，猜想也成立，故由①，②可知，猜想对n∈N9．观察下列两个数列an，b数列an数列bn猜想从第几项起an小于b【答案】从第5项起an【分析】先写出an,bn的通项公式，再根据题中数据猜想从第5项起an【详解】解：根据题意可得：数列an的通项公式为a数列bn的通项公式为b由a1猜想从第5项起an即证当n≥5时，n2⑴当n=5时，a5=25，b5⑵假设当n=k,k≥5,k∈N∗当n=k+1时，k+12即k+12即当n=k+1时，猜想成立，由⑴⑵可知，当n≥5,n∈N∗时，都有n210．猜想满足a1=a，2a【答案】an【分析】由2an+1−anan+1=1可得an+1=12−a【详解】由2an+1−得a2a3a4推测an下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a右边=1−1−(1−2)a②假设n=k(n∈N∗)时等式成立，有ak则当n=k+1时，a故当n=k+1时，结论也成立．由①②可知，对任何n∈N∗都有an习题4．4一．选择题11．用数学归纳法证明下列等式：−1+3−5+7+…+(−1)n(2n−1)+A．−1 B．−1+3 C．−1+3−5 D．−1+3−5+7【答案】C【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果.【详解】由题意，当n=1时，左边=−1+3+⋯+=−1+3−5故选：C二．解答题12．用数学归纳法证明：（1）1+3+5+…+2n−1（2）1+2+2（3）13【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】先证n=1时等式成立；再假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式也成立即可.【详解】(1)当n=1时，等式左边=1，右边=1，所以等式成立；假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+2k−1则当n=k+1时，1+3+5+…+2k−1故n=k+1时等式成立，综上可知，等式1+3+5+…+2n−1(2)当n=1时，等式左边=1，右边=1，所以等式成立；假设n=k时等式成立，即1+2+2则当n=k+1时，1+2+2故n=k+1时等式成立，综上可知，等式1+2+2(3)当n=1时，等式左边=1，右边=1，所以等式成立；假设n=k时等式成立，即13则当n=k+1时，13+2故n=k+1时等式成立，综上可知，等式1313．已知数列an满足a1=1，4an+1−ana【答案】an【分析】由a1=1，且4an+1−anan+1+2an=9即可求得a2，a3，a【详解】由4an+1−∵a1=1同理可求，a3=135证明：①当n=1时，猜想成立．②设当n=k(k∈N∗)则当n=k+1时，有ak+1所以当n=k+1时猜想也成立．综合①②，猜想对任何n∈N14．已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n−2)(3n+1)，…的前n项和为Sn．计算S1，S2【答案】S1=1【分析】根据题意计算S1,S【详解】由题意，数列11×4，14×7，17×10可得S1可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1，所以可猜想Sn数学归纳法证明如下：①当n=1时，左边=14，右边②假设n=k(k∈N+)当n=k+1时，S=1所以当n=k+1时，猜想也成立，由①②可知，对任意n∈N+都有所以Sn15．用数学归纳法证明：12【答案】见解析【分析】利用数学归纳法，先证明当n=1时，等式成立，假设当n=k时成立，证明当n=k+1时等式成立即可.【详解】解：（1）当n=1时，左边=121×3=（2）假设当n=k时，等式成立，即121×3+22当n=k+1时，121×3+2====k+1即当n=k+1时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何n∈N故1216．已知数列an，bn的通项公式分别为an=2n，bn【答案】n=1或者n≥17且n∈N【分析】由an>b【详解】解：∵an>即2n两边同时取对数得：ln2即nln即ln2令fx则f′∴当x∈0,e时，f′x当x∈e,+∞时，f′x又∵f1f2f16故当n=1时，ln2当x≥16,时，fx即lnx即n=1或者n≥17且n∈N∗时，有lnn17．已知数列xn满足x1=1，xn=xn+1【答案】证明见解析，x【分析】先验证当n=1时处理，然后假设当n=k时成立，那么n=k+1时，若xk+1<0【详解】证明：xn当n=1时，x1假设当n=k时成立，则xk那么n=k+1时，若xk+1<0，则故xn+1因此xn>0∴x因此0<x18．证明：n3【答案】见解析【分析】利用数学归纳法即可证明.【详解】解：⑴当n=1时，n3⑵假设当n=k时，命题成立，即n3当n=k+1时，n3由假设知：k3而kk+1为偶数，故3k故k+13即当n=k+1时，命题成立，由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即n319．一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式1×2其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．【答案】1×2【分析】设f(n)=1⋅22+2⋅32+⋅⋅⋅+n(n+1)2即可求得f（1），f（2），f（3）；假设存在常数a，b，c使得f(n)=n(n+1)12(an2+bn+c)对一切自然数n都成立，由f（1），【详解】设f(n)=1⋅2∴f（1）=1⋅2f（2）=1⋅2f（3）1⋅2假设存在常数a，b，c使得f(n)=n(n+1)12(a则f（1）=1×2∴a+b+c=24①，同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，由f（3）=70得9a+3b+c=70③联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．∴f(n)=n(n+1)证明：1°当n=1时，显然成立；2°假设n=k时，f(k)=k(k+1)则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+(k+1)====(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]即n=k+1时，结论也成立．综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f(n)=n(n+1)12(320．已知命题：设a1，a2为非负实数，b1，b2为正实数，若【答案】命题推广形式为：设a1,a2,…,an为非负实数，b【分析】先证n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，根据假设证当n=k+1时，不等式成立即可.【详解】用数学归纳法证明如下：①当n=1时，b1=1，有②假设n=k时不等式成立，即设a1,a2,…,若b1+b则当n=k+1时，需证：设a1,a2,…,若b1+b因为b1+b2+…+bk+1所以a因为b1+b所以由归纳假设可得a1b1从而a1又由1−b所以a1=a1b由①②知，对一切正整数n，所推广的命题成立.复习参考题4复习参考题4一．解答题1．根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象.（1）an（2）bn（3）cn（4）dn【答案】答案见解析【分析】根据数列的通项公式求出它的前几项，从而作出它们的图象.【详解】（1）an=−n（2）bn=2（3）cn=2n+1（4）dn=(−1)2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.（1）12，34，58（2）1+122，1−34（3）0，2，0，2．【答案】（1）an=2n−12n，n∈N∗；（2）an=1+【分析】（1）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；（2）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；（3）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可．【详解】（1）∵12，34，58观察每一项的分子是连续的奇数，分母是2n∴an=（2）∵1+122，1−34观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，∴an=1+（3）∵0，2，0，2，∴该数列可化为(1−1)⋅22，(1+1)⋅22，∴an=[1+二．选择题3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn=P01+knk>−1，其中Pn为预测期人口数，P0A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变【答案】B【分析】根据题意，可知k为预测期内年增长率，当k∈(−1,0)，可知年增长率为负，由此即可求出结果.【详解】由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有k∈(−1,0)，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选:B.4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（

A．53 B．103 C．56【答案】A【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d，可得a3+a4+【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{an}依题意可得，S5∴a∴60+3d=7(40−3d)，解得d=55∴a故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，CA．1289 B．649 C．6427【答案】B【分析】观察图形可得出Cn为首项为C1=3【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的13，即C所以Cn为首项为C1=3∴C故选：B.三．填空题6．已知a=5+26，c=5−26，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则【答案】

5

±1【分析】由等差中项与等比中项计算即可.【详解】若a，b，c三个数成等差数列.所以b=a+c若a，b，c三个数成等比数列.所以b故答案为：5，±1.7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________【答案】3【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1−2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.四．解答题8．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期