数学丨湖北省八市2025届高三下学期3月联考数学试卷及答案

2025年湖北省八市高三(3月)联考命题单位:天门市教科院审题单位:潜江市教研室黄冈市教科院2025.3★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2.在复平面内,复数z1对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则z1等于A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知△ABC的面积为1,取△ABC各边的中点A1,B1,C1作△A1B1C1,然后再取△A1B1C1各边的中点A2,B2,C2作△A2B2C2,…依此方法一直继续下去.记△AnBnCn(n∈N∗)的面积为an,数列{an}的前n项和为Sn,则A.数列{2nan}为常数列B.数列{2nan}为递增数列C.数列为递减数列D.数列为递增数列数学试卷第1页(共4页)6.下列四个命题②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件;④空间中,一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.其中正确的命题是A.①②B.①②③C.①③④D.②③④EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(Y),E)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(=),e)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(+a),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(+),D)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up2147483645(2),1)由一元线性回归模型得到经验回归模型=2x+2,对应的残经验回归模型=1x+1,对应的残差如图(1)所示.根据变量Y2由一元线性回归模型得到经验回归模型=2x+2,对应的残差如图(2)所示,则A.模型①的误差满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,不满足D(e1)=σEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)的假设B.模型①的误差不满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,满足D(e1)=σEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)的假设C.模型②的误差满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,不满足D(e2)=σEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2)的假设D.模型②的误差不满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,满足D(e2)=σEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2)的假设8.已知函数若存在实数x0,使得f(x0)≤g(x0),则实数a的取值范围为二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。A.f(x)的解析式可以为B.将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移个单位,得到g(x)的图象,则C.f(x)的对称中心为1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)=3数学试卷第2页(共4页)10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上下焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为B,A,O为坐标原点,M为线段AO上一点,直线F1M垂直平分线段AF2且交椭圆C于P、Q两点,则下列说法中正确的有A.椭圆C的离心率为B.△APQ的周长为4aC.以点M为圆心,|MB|为半径的圆与椭圆C恰有三个公共点D.若直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,则k1=2k211.在一次数学兴趣小组的实践活动中,李怡同学将一张边长为10cm的菱形纸片ABCD沿对角线BD折叠,形成一个二面角模型A′-BD-C,BD=12cm,如图所示.下列叙述中正确的有A.四面体A′-BCD体积的最大值为384cm3;B.在折叠的过程中,存在某个时刻使DA′⊥BC;1C.当A′C=8cm时,动点M在平面A′BD内且CM≤7cm,则动点M所形成区域的面积为πcm2;1D.在C的条件下,若直线CM与直线BD所成的角为α,则cosα的最大值为7)(1+x)5的展开式中x4的系数为.14.一袋中装有3个红球,5个黑球,从中任意取出一球,然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球,再从袋中任意取出一球,然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球,一直重复相同的操作.(1)第二次取出的球是黑球的概率为;(2)在第一次取出的球是红球的条件下,第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,向量m=(a,b+c),n=(3sinC+cosC,1),m·n=2(b+c).(1)求A;→→(2)若c=23,BM=2MC,AM=2.求△ABC→→数学试卷第3页(共4页)已知函数f(x)=lnx-mx2在x=1处的切线方程为x+my=0.(1)求实数m的值;已知a>0,函数若g求证 →→→→如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1D1=λA1C1,AD=μAC(λ,μ∈(0,1))且平面AB1 →→→→(2)若A1C⊥平面AB1D1,AB=2AA1,A1C∩AD1=E.(i)求证:BD⊥AC;(ii)求二面角E-BC1-D的余弦值.已知两点F1(-2,0),F2(2,0),平面内的动点M到定点F2的距离与到直线l:x=1的距离之比为2,点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;→→(2)点P在曲线C上,且在第一象限,连接PF2并延长与曲线C交于点Q,PF2=λF2Q(λ>0),以P为圆心,|PF2|为半径的圆与线段PF1交于点N,记△PF2N,△PF1Q的面积分别为S1→→(i)若点P的坐标为(x1,y1),求证求的最小值.有穷等差数列{an}共有m项(m>2),公差为1,前n项和为Sn,a1=a2,am=b2(a,b为正整数).T为集合A={ak|ak为完全平方数,k=1,2,…,m}中所有元素之和.(2)从数列{an}中任取一项ai,若ai∈A的概率为,试求出所有的数对(a,b);(3)设X为正整数,将X2从正中间分割为两个数(若X2的位数是奇数,在数的前面补上0再分割),若这两个数的和恰好等于X,则称X2为“漂亮数”.例如:92=81,8+1=9,所以81是一个“漂亮数”,2972=88209,88+209=297,所以88209是一个“漂亮数”.当a=32,b=99时,从集合A中任取一个元素,求该元素为“漂亮数”的概率.数学试卷第4页(共4页)12345678DDBCCAAD9ADABDBCDEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)差满足E(e2)=0的假设，方差σEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)不随x的变化而变化，满足D(e2)=σEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)的假设.故选A8.当a<0时，x<0，f(a)=a2ea<a2<a2-a=g(a)，合题意.关注湖北升学通获取最新动态当a>0时，x>0，f(x)≤g(x)即axex+≤x2-x⇔axex+x+≤x2⇔axex+x++lnx2≤x2+lnx2⇔ex+ln(ax)+x+ln(ax)≤x2+lnx2∵y=x+lnx为增函数，∴ex+ln(ax)≤x2，即axex≤x2⇔a≤BBF∵e=∴=，易知M,0(，|MV|2=(x-2+(y-0)2=-(x+b)2+(x∈[-b,b])·1·∵直线AP的方程为：y=k1(x-b)，直线AQ的方程为：y=k3(x-b)∴点P，Q的坐标满足方程：[y-k1(x-b)][y-k3(x-b)]=0即y2+k1k3(x-b)2-(k1+k3)(x-b)y=0代入上式可得：-(x2-b2)+k1k3(x-b)2-(k1+k3)(x-b)y=0∵x≠b，∴-(x+b)+k1k3(x-b)-(k1+k3)y=0即为直线PQ的方程，当A'O⊥平面BCD时，四面体A'-BCD的体积最大，平面A'AC∩平面ABCD=AC，过A'作A'N⊥AC于N，则A'N⊥平面ABCD，故B正确；关注湖北升学通获取最新动态CM2=CH2+HM2≤49⇒HM≤1，所以CM与BD所成角α最小时，cosα=(CM的射影与BD平行时)(1)P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—),1))P(A2|AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—),1))=×+×=P(A2A4|AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(—),1))=P(A2A3A4|AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(—),1))+P(A2AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(—),3)A4|AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(—),1))=××+××=·2·P(A2A5|A1)=P(A2A3A4A5|A1)+P(A2A3A4A5|A1)+P(A2A3A4A5|A1)+P(A2A3A4A5|A1)n)=；EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(→),m)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(→),n)→3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC→3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC→3sinAsinC=sinC(cosA+1)“C∈(0,π),sinC≠0:3sinA-cosA=1即2sin(A-=1………4分又A∈(0,π),A-∈(-,，故A-=，即A=…………5分(2)BEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),M)=2MEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),C)→AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),M)-AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),B)=2(AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),C)-AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),M))EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up32(→),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(1),3)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up33(—),A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up23(A),A)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(1),9)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(—→),B)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(4),9)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(—→),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(4),9)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(—→),B)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(—→),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),M):4=(23(2+b2+b.23cos:b2+3b-6=0:b=3或b=-23(舍)故SΔABC=bcsinA=……………13分16．解：(1)“f(x)=lnx-mx2，:f,(x)=-2mx当m=0时，f(x)=lnx,显然x=0不是f(x)的切线，不合题意；……………6分·3·…………………8分所以分g(x)≤0，当且仅当max≤0，即⇒b≤-alna，所以ab≤-a2lna…………12分设=-x2lnx，x>0，则h,(x)>0⇒0<x<e-，h,(x)<0⇒x>e-，关注湖北升学通获取最新动态所以所以.…………15分因为平面AB1D11，平面AB1D1∩平面BA1C1=D1F，平面BDC1∩平面BA1C1=C1B,，所以D1F⎳……………………3分因为平面AB1D11，平面AB1D1∩平面ACC1A1=AD1，平面BDC1∩平面.ACC1A1=C1D，所以AD11所以所以故………………6分(2)(i)∵A1C⊥平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥B1D1又AA1⊥平面A1B1C1，B1D1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥B1D1又AA1∩A1C=A1，AA1⊂平面AC1，A1C⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1关注湖北升学通获取最新动态又AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AC (ii)因为A1C⊥平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AD1，所以ΔAA1D1∾ΔCAA1，·4·由(i)BD丄AC且D为AC中点，:AB=BC，:AB=BC=AC……12分设AB=2a，则AA1=2a，关注湖则A1(a,0,2a),B(0,3a,0),C(-a,0,0),E,0,C1(-a,0,2a)，分EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(→),n)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(→),n)又向量AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),1C)为平面BC1D的法向量，且AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),1C)=(-2a,0,-2a)………14分设二面角E-BC1-D的平面角为……………15分方法二：关注湖北升学通获取最新动态连接C1E并延长交A1A于点H，则H为A1A的中点，二面角E-BC1-D即二面角H-BC1-D.因为A1C丄平面AB1D1，平面AB1D1Ⅱ平面BDC1，:A1C丄平面BDC1，则DS丄BC1连接HS，则∠DSH即为二面角H-BC1-D的平面角.又所以DH=DS所以故即二面角E-BC1-D的余弦值为.·5·18.解：(1)设M(x,y)，由题意分⇒(x-2)2+y2=2(x-1)2⇒x2-y2=2所以曲线C的方程为：x2-y2=2………4分(2)(i)由(1)知|PF2|=(x1-2)2+yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)=2(x1-1)……6分|-|PF|=22+2(x1-1)=2(x1+|-||||| PFPF2∴=-|||| PFPF2∴(ii)设点Q(x2,y2)，∵PEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),F)2=λFEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),2Q)即(2-x1,-y1)=λ(x2-2,y2)∴{即{…………(1)∵xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)-yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)=2,xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)-yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)=2，∴xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)-yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)-λ2(xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)-yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2))=2-2λ2∴(xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)-λ2xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2))-(yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)-λ2yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2))=2-2λ2∴(x1-λx2)(x1+λx2)-(y1-λy2)(y1+λy2)=2-2λ2将(1)代入上式得x1-λx2=1-λ,又x1+λx2=2λ+2联立解得x1=………………………13分由题意|PN|=|PF2|，∴===……15分∴=+λ=+λ=+λ+1≥25+1(等号成立仅当λ=5)所以的最小值为25+1.……………………17分当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ联立{⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0关注湖北升学通获取最新动态A={4,9,16,25,36}∴T=4+9+16+25+36=90…………………3分故==……………………4分·6·又A中元素的个数为b-a+1，由题意………………6分整理得b2-a2+1=100(b-a)+100⇒b2-a2-100(b-a)=99∴(b-a)(b+a-100)