中考数学复习几何旋转解答题专题练习(含解析)

中考数学复习几何旋转解答题专题练习

1.如图，在△ABC中，N4〃C=90。，NACB=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转60。能与

△DEC重合，点尸是边AC中点.

(1)求证：△CFDmLABC；

(2)连接8E,求证：四边形8ED尸是平行四边形.

2.如图，在RlA/WC中，ZC=90°,将△ABC绕着点8逆时针旋转得到△户BE,点C,A

的对应点分别为E,F.点七落在8A上，连接AF.

(1)若/BAC=40。，求N84尸的度数：

(2)若AC=8,BC=6,求A尸的长.

3.如图①，ZkAAC和△EC。都是等边三角形.

(1)若B、C、£在同一条直线上，4c与8。相交于点MAE与C。相交于点BD

与4E相交于点。，试判断AE与8。的数量关系为；NAOB度数为；

(2)将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则(1)中的

结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

AA

4.如图，在RsABC中,4ABe=90。,NACB=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的

角度a得到△DEC，点A,B的对应点分别是点。，E.

(1)如图①，当点E恰好在AC边上时，连接A。，求NAQE的度数；

(2)如图②，当a=60。时，若点F为AC边匕的动点,当NF8C为何值时，四边形8FQE

为平行四边形？请说出你的结论并加以证明.

N8=45。，将^ABC绕点A按顺时针旋转一定

角度得到aADE.当点B的对应点。恰好落在BC边上时，求C。的长.

6.如图，矩形ABCO中，BC=4,将矩形ABC。绕点C顺时针旋转得到矩形AbCO.当

点F恰好落在边AO上时，旋转角为a,连接89.若NAB'B=75。,求旋转角a及的

长.

7.如图，在RtZk/lAC中，ZC=90°,ZCBA=32°,如果A/WC绕点8顺时针旋转至△£4。,

使点。落在AB边上，连接4E,求NE4B的度数.

8.如图，在正方形48CO中，射线AE与动。。交于点E,将射线4E绕点A顺时针旋转,

与CB的延长线交于点F,BF=DE,连接产£

(1)求证：AF=AE；

(2)若NZ)AE=30。，OE=2,直接写出aAEF的面积.

9.如图，在△4BC中，NC48=70。，在同一平面内，将△4BC绕点A旋转到△A8C的位

置，使得CC〃A8,求/CCA的度数.

10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30。得到△ASC：旦夕，。两点分别与&C两点对

应，延长8c与夕。边交于点E,求NCEC的度数.

八

II.如图，RSABC中，/B4C=90。，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△4E/Z且点。在

边BC上.

(1)若ND4c=50。，则/A8E=度；

(2)求证：BELBCx

(3)若点。是BC的中点,AC=2,求8E的值.

12.如图，正方形ABCD的边长为4,连接对角线4C,点E为BC边上一点，将线段AE

绕点4逆时针旋转45。得到线段AF,点E的对应点厂恰好落在边C。上,过尸作FMLAC

于点M.

(1)求证：8E=FM；

(2)求3£的长度.

13.如图，正方形A8CD中，尸是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP,

将5P绕点8顺时针旋转90。到8。,连接。P,CQ,求证:AP=CQ.

DC

14.正方形ABC。中，点F为正方形A3C。内的点，△6PC绕着点8按逆时针方向旋转90。

后与△BE4重合.

（1）如图①，若正方形ABCO的边长为2,/汨=1,FC=V3»求证：AE//BF.

（2）如图②，若点尸为正方形ABCD对角线AC上的点（点”不与点A、C重合），试

探究4E、AF.8/之间的数量关系并加以证明.

15.如图，将△A8C绕点4顺时针旋转60。得△O4E,点C的对应点E恰好落在/W的延长

线上，连接AO,AC,QE相交于点P.

（1）求证：AAQ8是等边三角形；

（2）直接写出N4P。的度数.

16.已知：如图1,/4OB=30。，NBOC=3/AOC.

4

（1）求/AOC的度数；

（2）如图2,若射线OP从OA开始绕点。以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线

OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6。的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改

变运动方向，以相同速度绕。点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线OP,OQ同

时停止运动，设旋转的时间为，秒，当NPOQ=10。时，试求/的值：

(3)如图3,若射线OP从0A开始绕O点逆时针旋转一周，作0M平分NAOP,ON

平分NC。尸，试求在运动过程中,NMOV的度数是多少？(请直接写出结果)

图I图2图3备用图

17.将两块全等的三角板按如图I所示摆放，其中N4CBi=NAC8=90。，ZAi=ZA=30°.

(1)将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45。得图2,4c与A3交于点为，AiBi与8c

交于点Q,求证：CPi=CQ；

(2)在图2中,若月Pi=2,求CQ的长.

图1

18.如图，将RtAAOB绕直角顶点0顺时针旋转得到RtACOD,使点A的对应点。落在

交A。的延长线于点E,求证：ZBCO=ZE.

19.如图①，在矩形A8CD中，AB=6,BC=8,四边形EFGH是正方形，EH与BD重.合,

将图①中的正方形EFGH绕着点。逆时针旋转.

(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L.已知旋转开始

时，即图①位置NCQG=37。，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的

度数.

(2)旋转至如图③位置.，DE交BC于点、L.延长8C交于点M,延长。。交E尸于

点N.试判断/)L、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明.

图③

20.将正方形A3CD的边A6绕点A逆时针旋转至月以，记旋转角为a,连接过点。

作。£垂直于直线3加，垂足为点£,连接。幼，CE.

BBi

(I)如图1,当a=60。时，△DEB\的形状为，连接BD,可求出一L的值

CE

为;

(2)当0。<(1<360。且a,90。时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就

图2的情形进行证明；如果小成立，请说明理由.

图1图2

21.如图，在矩形48co中，AO=8,A8=6,将△AOC绕点A按顺时针旋转到△AEF(A,

B,£在同一直线上)，连接CR求C*的大小.

22.如图，点E是正方形A5CO内的点，连接AE、BE、CE,将AAbE绕点5顺时针旋

转90。到△CBF的位置，连接ER若A£=l,BE=a.

(I)求石尸的长;

(2)当七。=而时，求/AEB的度数.

23.如图，在4c中，BA=BC,NA6c=40。，将△A3c绕点6按逆时针方向旋转100。,

得到△O8E,连接A。，CE交于点、F.

(I)求证：△ABgACBE；

(2)求/AR7的度数.

24.如图①，在等边三角形ABC中，点。、石分别在边48、AC上，AD=AE,连接BE、

C。，点M、N、P分另！是BE、CD、BC的中点，连接。E、PM、PN、MN.

(1)观察猜想：图①中△PMN是三角形(填“等腰”或“等边”)；

(2)探究证明：如图②，4ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，MAPMN

的形状是否发生改变？并说明理由.

25.如图，将矩形人8CQ绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形/TCG,点8与点上对应,

点E恰好落在人。边上，BHLCE交于点H,求证：CG=BH.

E

26.如图，等边三角形ABC的外部有一点P,且N8%=30。，将4P绕点8逆时针旋转60。

得到CQ，连接80.

(1)求证：AAB尸且△C8Q；

(2)若AP=4,BP=3,求P,C两点之间的距离.

27.如图，将△A8C绕点A逆时针旋转得到△AQE,点C和点七是对应点，若NC4E=90。,

28.如图，在边长为6的王方形ABC。内作/£4尸=45。，AE交8C于点E,AF交8于点、

F,连接)，将△AD尸绕点4顺时针旋转90。得到AA8G.

(1)求证：GE=FE；

29.如图，△/WC是等腰三角形，其中4^=8。,将&ABC浇顶点B逆时针旋转50。到△A\BC\

的位置，A8与4。相交于点。，4。与4Ci,BCi分别相交于点E,F.

(1)求证：△BCFqABA\D；

（2）当NC=50。时，判断四边形的形状并说明理由.

30.在△A8C中，AB=AC,N84C=a,点P为线段CA延长线上一动点，连接P8,将线

段24绕点「逆时斜旋转，旋转角为a,得到线段2O,连接。6,DC.

（1）如图1,当a=60。时，猜想以和。。的数量关系并说明理由：

（2）如图2,当a=120。时，猜想必和0c的数量关系并说明理由.

31.如图1,直角三角形与直角三角形4RC的斜边在同一直线上，ZEDF=36°,NABC

=40。,（7。平分/八。8,将4。£尸绕点。按逆时针方向旋转，记乙4。广为a（0VaV180。），

在旋转过程中：

（1）如图2,当Na=时，DE//BC,当Na=时，DEVBCx

（2）如图3,当顶点C在△£）£：尸内部时，边。尸、OE分别交8C、4c的延长线于点〃、

N.

①此时/a的度数范围是；

②N1与N2度数的和是否变化？若不变，求出N1与N2度数和；若变化，请说明理由.

③若使得N2N2N1,求Na的度数范围.

副

32.如图I,将三角板AEC与三角板AQE摆放在一起；如图2,其中NACB=30。，ZDAE

=45°,ZfiAC=ZD=90°.固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,

记旋转角NCAE=a(0°<a<180°).

操作发现:

(1)在旋转过程中，当a为度时，AD//BC,当a为度时，ADVBCx

(2)当△4QK的一边与△A4C的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角a的所有

可能的度数：

拓展应用：

当0。<0(<45。时，连接BD,利用图3探究N8DE+NC4E+NDBC值的大小变化情况，

并说明理由.

33.在RtZkABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,将△A8C绕点8逆时针旋转一个角度a

后得到△D6E,点A,。的对应点分别为点。，E.

(1)如图1,若点。恰好落在边4c的延长线上，连接C£,求NQEC的度数.

(2)如图2,若a=60。，F为8。的中点，连接CO,CF,EF,请判断四边形C/)£〃是

什么特殊的四边形，并说明理由.

B

图1图2

34.如图，点0是等边三角形ABC内的一点，ZBOC=150°,将△80。绕点。按顺时针方

向旋转•定的角度，得到△AQC,连接OQ，0A.

(1)求NOOC的度数:

(2)试判断八。与的位置关系，并说明理由;

(3)若08=2,0C=3,求人0的长(直接写出结果).

BC

参考答案

1.如图，在△ABC中，NA8C=90。，N4C8=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转60。能与

△DEC重合，点产是边4C中点.

(1)求证：△CFDgLABC；

(2)连接求证：四边形是平行四边形.

【解答】证明：(1)丁点尸是边AC中点，

:.CF=1AC,

2

VZBCA=30°,

：.BA=^AC,NA=60。，

2

：,AB=CF,

•・•将△ABC绕点、C顺时针旋转60。得到△DEC,

：,AC=CD,ZACD=60°,

/.ZACB=ZDCE,

在4€77)和△ABC中，

'AB二CF

<NA=NFCD，

AC=CD

：./\CFD^^ABC(SAS)；

(2)延长B尸交CE于点G,

由(1)得，FC=BF,

/.ZBCF=ZFBC=30\

VZBCE=60°,

/.ZBCE+ZCBG=NBGE=90。,

VZDEC=ZABC=90°

NBGE=/DEC,

：.BF//ED,

•：BF=^C=AB,AB=DE,

2

：.BF=DE,

・•・四边形BED/是平行四边形.

2.如图，在RSABC中，ZC=90°,将△A8C绕着点8逆时针旋转得到△/BE,点C,A

的对应点分别为£,F.点E落在84上，连接AE

(1)若NA4c=40。，求/助厂的度数；

(2)若AC=8,BC=6,求4尸的长.

【解答】解：(1)在RS48C中,ZC=90°,N84C=40。,

,NA8C=50。，

•・•将△A8C绕着点8逆时针旋转得到4FBE,

：,^EBF=ZABC=50\AB=BF,

.'.Z^AF=Z^M=A(180°-50")=65u；

2

(2)VZC=90°,AC=8,8c=6,

：.AB=\0,

•・•将△ABC绕着点B逆时针旋转得到^/；BE,

:・BE=BC=6,EF=AC=S,

：.AE=AB-BE=W-()=4,

•'A尸=7AE2+EF2=V16+64=4^5.

3.如图①,△ABC和△ECD都是等边三角形.

(1)若8、C、E在同一条直线上，AC与8Z)相交于点N,AE与C。相交于点M.BD

与4E相交于点0,试判断AE与8。的数量关系为AE=BD度数为60。；

(2)将△ECO绕点C顺时针旋转，B、C、£不在一条直线上时，如图②，则(1)中的

结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【解答】解：(1)•••△43C是等边三角形，

：.AC=BC,ZBAC=ZACT=60°,

•••△EC。是等边三角形，

：.CE=CD,NOCE=60。，

JNACB=NOCE=60。，

/.ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE,

即NAC£=N4C。，

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

<NACE=NBCD，

CE=CD

:.△ACE9XBCD(SAS),

・・・AE=8。，/CAE=/CBD,

在△A3。中，ZAOB=\SO°-(NZMO+NA8O)

=180°-(ZBAO+ZCBO+ZABC)

=180°-(ZBAC+ZABC)

=180°-<60°+60°)=60°,

/.NAO8=60°,

故答案为：AE=BD,60°；

(2)成立.

证明：•••△46C和△EC。都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,

NACB=NDCE=60。,

/.NACB+NACO=ZDCE+ZACD,

即NACE=/8CO,

在AACE和△BCO中，

fAC=BC

ZACE=ZBCD-

|CE=CD

，△ACE经△BCD(SAS),

：.AE=BD,/CAE=NCBD,

又丁/ANO=/BNC,

Al80O-ACAE-N4NO=180。-ZCBD-/BNC,

/.ZAOB=ZACB=W.

4.如图，在RgAAC中，N4AC=90。，ZACB=30°,将△4AC绕点C顺时针旋转一定的

角度Ct得到△。石。，点A,8的对应点分别是点。，E.

(1)如图①，当点E恰好在AC边上时，连接4D,求NAOE的度数；

(2)如图②，当a=60。时，若点尸为AC边上的动点，当NF8C为何值时，四边形BFDE

为平行四边形？请说出你的结论并加以证明.

D

E

【解答】解：（1）.••将△/IBC绕点C顺时针旋转一定的角度a得到△。七C,E点、在AC

上,

：.CA=CD,NECD=/BCA=30。,

・・・NC3NS4=](18O。-30°尸5。，

又：4DEC=NABC=90。，

・•・ZAD£=90°-75°=15°；

(2)/尸8。=30。时，四边形8FQE为平行四边形,

・•・ZABF=ZA=60A,

：,BF=CF=AF,

是等边三角形，

；.BF=AB,

•・•将△ABC绕点CJ唳时针旋转60。得到△DEC,

：,DE=AB,ABCE是等边三角形,ZDEC=ZABC=90°,

:・/EBF=/EBC-ZFBC=30°,

•••NOE8+NEB/=180°,

：・DE=BF,DE//BF,

・•・四边形BFDE为平行四边形.

5.如图,在AABC中，AB=近,BC=3,ZB=45°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定

角度得到△/1/)£当点4的对应点力恰好落在4c边上时，求CQ的长.

【解答】解：•・•由旋转的性质可知AO=43=&,

；・NB=NBDA=45。.

，ND48=90。.

，DB=V(V2)2+(V2)2=2.

：.CD=BC-DB=3-2=

故。C的氏为1.

6.如图，矩形ABC。中，8c=4,将矩形ABC。绕点。顺时针旋转得到矩形AbCD.当

点9恰好落在边AO上时，旋转角为明连接8夕.若NAB5=75。，求旋转角a及从8的

【解答】解：•・•四边形A8CO是矩形,

：.AD//BC,

：・NCBB'=NAB'B=75。,

由旋转的性质得：CB=CB,

；・NCB，B=/CBB，=75。,

JNBC"180。-75°-75°=30°,

即旋转角a为30。；

作于£,如图所示：

则AB=B'E=^-CB'=2.

2

7.如图，在RSABC中,ZC=90°,NCSA=32。,如果AA5C绕点8顺时针旋转至△ESQ,

便点。落在A8i力匕连接求NE48的度数.

【解答】解：由旋转可知：ZEBA=ZCBA=32°,AB=EB,

：.ZEAB^ZAEB=^-(180°-32°)=74A.

2

8.如图，在正方形ABC。中，射线AE与边。交于点E,将射线A£绕点4顺时针旋转,

与。4的延长线交于点F,BF=DE,连接尸£

(1)求证：AF=AE；

(2)若ND4E=30。，DE=2,直接写出△AE尸的面积.

【解答】(1)证明：•••四边形是正方形,

：,AB=AD,ZABC=ZD=ZBAD=90°,

JNAB尸=90°,

在△与△AO£中，

'AB=AD

<ZABF=ZD=90°，

BF=DE

:.XAB2XNDE(SAS),

：,AF=AE；

(2)解：由(1)知，

：.ZBAF=ZDAE,

：.NBAF+NBAE=ZDAE+ZBAE=90a,

AZME=90°,

:./\AEF是等腰百角三角形，

在R1△人OE中，ZD=90°,ZDAE=30°,DE=2,

：,AE=2DE=4,

AAAEF的面积=i<4x4=8.

2

9.如图，在△ABC中，NC4B=70。，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△4BC的位

置,使得CC〃A8,求NCCA的度数.

【解答】解：・・・cc〃/18,

/.NACC=NA4C=70。，

:△ABC绕点A旋转到△A8C的位置，

：,AC=AC,

AZCCA=ZACC=70°,

10.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转30。得到△AB77：旦夕，。两点分别与&C两点对

应，延长8C与夕。边交于点E,求NCEC的度数.

八

•・•将△ABC绕点、A逆时针旋转30。得到△4万C,

N8AB'=30°,

•••/AFB=NB'FE,

BEB'=NBAB'=30°,

:.ZCEC=1800-NBEB'=150°.

11.如图，RS48C中，/BAC=9()。，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEO,且点。在

边BC上.

(1)若ND4C=50。，则N4BE=65度;

(2)求证：BE工BC；

(3)若点。是8C的中点，AC=2,求BE的值.

【解答】解：(1)•・•将△A3C绕点A顺时针旋转得到AAED,

：.AB=AE,NOAE=NCAB,

/.ZAEB=ZA8E,ZEAB=ZCAD=50°,

:.ZABE=18Q°~5Q：，=65°,

2

故答案为：65：

(2)证明：•・•将△A8c绕点A顺时斜旋转得到△AE。，

.\AD=AC,

：.NAOC=NC=x,

，ND4C=180。-2x,

由旋转的性质得NE4B=ND4C=180。-2x,

AE=AB,

・・.NE朋=180°-(180°-2x)

2X

VZBAC=90°,

:.ZABC=90a-x,

AZEBC=ZEBA+ZABC=x+(900-x)=90。，

即BEL3C；

(3)由旋转的性质得.4O=AC=2,

•・・/B4C=90。，点。是BC的中点，

：,BD=DC=AD=2,

：,BC=4,

VDF=BC=4,

^=VDE2-BD2=2V3.

12.如图，正方形A6c。的边K为4,连接对角线AC,点£为6。边上点，将线段AE

绕点A逆时针旋转45。得到线段点E的对应点厂恰好落在边。。上，过“作FMA.AC

于点M.

(1)求证：BE=FM；

(2)求BE的长度.

DF

【解答】(l)证明：•・•将线段绕点A逆时针旋转45。得到线段AP,

：.AE=AF,NE45=NC4B=45。，

：.ZFAC=ZEABf

在△ABE和△AM/中，

rZB=ZAMF=90°

<ZEAB=ZFAM,

AE=AF

•••△■■△AM尸(AAS),

:・BE=FM；

(2)•・•四边形48CQ是正方形，

：,AC=42AB=442,NACO=45。，

•・•将线段AE绕点A逆时针旋转45。得到线段AF,

：,AM=AB=4t

：.CM=4^2-4,

VFM1AC,ZACD=45°,

；・NACD=/CFM,

：.FM=CM=442-4,

:,BE=4近-4.

13.如图，正方形ABC。中，。是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP,

将切绕点8顺时针旋转90。到8Q,连接QP,CQ,求证：AP=CQ.

【解答】证明：:四边形48CQ是正方形,

:.AB=BC,NA8C=90°,

•・•将BP绕点B顺时针旋转90。到BQ,

:.BP=BQ,NPBQ=90。,

.\ZPBQ=ZABC,

/.ZABP=ZCBQ,

在△人4。和4C4Q中，

rAB=BC

'ZABP=ZCBQ-

BP=BQ

：.XABPWXCBQCSAS）,

：,AP=CQ.

14.正方形ABC。中，点尸为正方形A8CO内的点，△8FC绕着点8按逆时针方向旋转90。

后与△3E4重合.

（1）如图①.若正方形AAU。的边长为2.BF=1,FC=A/3.求证：AE//RF.

（2）如图②，若点尸为正方形ABCO对角线AC上的点（点F不与点4、C重合），试

探究A£、AF.B/之间的数量关系并加以证明.

【解答】(1)证明：•••△8R?绕着点8按逆时针方向旋转90。后与△8E4重合,

:•△BFCQ4BEA,

:・BE=BF=T,N£4F=NA8C=9()。，NAEB=NBFC,

VBF2+FC2=12+(V3)2=^*BC2=22=4,

:・B户+Fd=B&

；・NBFC=90o=NAEB,

・•・NAEB+NEB/=I8O。，

:.AE//BF、

(2)解：AE^+AF2=2BF2,理由如下:

VAC是正方形ABCD的角平分线，

AZBCA=ZBAC=45\

・・・/次产=45。+45°=90。，

：.AE1+AF1=EF2,

•••△3FC绕着点B按逆时针方向旋转90。后与△B£A重合,

；・BE=BF,N£5"=9D°,

：.2BF1=EF2,

：.AE1+AF2=2BF2.

15.如图，将△ABC绕点8顺时针旋转60。得ADBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长

线上，连接A。，AC,OE相交于点P.

(1)求证：AAOB是等边三角形：

(2)直接写出N4PO的度数60°.

【解答】解：(1)•••将△ABC绕点4顺时针旋转60。得△

；・AB=DB,N4BO=60°,

•••△4DB是等边三角形；

(2)如图：

•・•点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,

JZABD=ZBDE+ZE,

由(1)知△AQ8是等边三角形，

・•・NBDE+NE=NA4Z)=6()0,

•••将△ABC绕点B顺时针旋转60。得4DBE,

/./BDE=ZBAP,

・・・N84P+NE=60。，

/.ZAPD=N8AP+/£=60。；

故答案为：60°.

16.已知：如图1,NAO3=3（）°,ZBOC=^-ZAOC.

4

（1）求/AOC的度数：

（2）如图2,若射线0P从OA开始绕点。以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线

OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6。的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改

变运动方向，以相同速度绕。点顺时针旋转，当射线OQ到达。。时,，射线OP,0Q同

时停止运动，设旋转的时间为，秒，当NPOQ=10。时，试求/的值；

（3）如图3,若射线0P从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分NAOP,ON

平分NCOP,试求在运动过程中，NMON的度数是多少？（请直接写出结果）

图1图2图3备用图

【解答】解：(1)ZBOC=^-ZAOC,ZBOC+ZAO!3=ZAOC,

4

/.ZAOB=^ZAOC,

4

•・•ZAOB=300,

，ZAOC=120°；

(2)由(I)知，ZAOC=12()0,N8OC=90°,

①OP逆时针运动时，即0<r<I2时，

OP,OQ相遇前，如图2(1),NAOQ=NA()P+NPOQ=NAOB+NBOQ,即10。什10。

=30。+6。/,解得f=5,

OP,。。相遇后，如图2(2),NAOP=NAOB+NBOQ+NPOQ,即10。，=30。+6。什10。，

解得t=10；

OP,OQ相遇前，如图(3),NBOC=4C0PMB0Q+/P0Q,即90°=10°/-120°+6°/+10°,

解得f=12.5,

OP,OQ相遇后，如图(4),/BOC=/COP+/BOQ・/POQ,即90。=10°L120°+6。

-10°,解得=13.75,

综上,当」的值为5,10,12.5或13.75时，ZPOQ=\00.

(3)由(1)知NAOC=120。,

根据射线OP的运动，需要分四种情况，

①当射线OP与。A重合前，如图3(1),

•・，OM平分N4OP,ON平分4coP,

，NPOM=2NA。尸，/PON=L/COP,

22

・•・/M0N=NPOM+NPON=2NAOP+』/COP=」NAOC=60。；

222

②当射线。。与OA重合后，N40P=I80。前，如图3(2),

〈OM平分NAOP,ON平分4cOP,

：.ZPOM=^ZAOP,/PON=L/COP,

22

，NMON=/POM-NPON=2NAOP--1NCOP=2NAOC=60。；

③NCON=180。前，如图3(3),

YOM平分/4。尸，ON平令乙COP,

・・・NPOM=2NAOP,/PON=L/COP,

22

・・./MON=NPOM+NPON=-1N4OP+-1NCOP=-1(360°-ZAOC)=120°；

222

④OP与OQ重合前，如图3(4),

YOM平分NAOP,ON平分/COP,

：,ZPOM=1.ZAOP,/PON=L/COP,

22

4M6N=4PON-NPOM=2NCOP+2NAOP=L/AOC=6(T；

222

综上，NMON的度数为60。或120。.

17.将两块全等的三角板按如图I所示摆放，其中/4CBi=NAC8=90。，N4=NA=30。.

(1)将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45。得图2,4C与A3交于点为，Ai8i与8c

交于点Q，求证：CPi=CQ；

(2)在图2中，若APi=2,求CQ的长.

••・N8iCQ=NBCPi=45°；

乂B1C=BC,NBi=NB,

.,.△BICC^A5CPI(ASA),

：.CQ=CP\；

(2)解:如图：作PiD_LAC于。,

,?NA=30。，

・・.PiZ)=工尸i；

2

VZPiCD=45°,

PiD亚

:1—=sin450=".

CP12

:.CP\=HPID=®API；

2

又APi=2,CQ=CP\,

/.ce=V2.

18.如图，将RsAOB绕直角顶点O顺时针旋转得到RtACOD,使点人的对应点。落在

AB边上，过点D作DE〃4B,交4。的延长线于点E,求证：NBCO=/E.

AOE

【解答】证明：•・•将RtAAOB绕直角顶点。顺时针旋转得到RtACOD,

：.AO=CO,

/.ZA=ZACO,

■:AB"DE、

:.ZA+ZE=180°,

又ZACO+ZBCO=180°,

:.ZBCO=/E.

19.如图①，在矩形ABCD中，4B=6,BC=8,四边形EFG//是正方形，EH与BD重.合,

将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转.

(1)旋转至如图②位置，使点G落在8C的延长线匕DE交BC于点、L.已知旋转开始

时，即图①位置NCQG=37。，求正方形EFG”从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的

度数.

(2)旋转至如图③位置，DE交BC于一点、L.延长8c交于点延长。。交E尸于

点N.试判断。心EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明.

A________DW________

A______A

t\G

>尸

F

图①图②图③

【解答】解:(1)由图①知，NADB=NDBC=37。,

如图②，连接8。，

.一4,________眄)

F

图②

则BD=DG,

；・NDGB=NDBG=37°,

，NCOG=90。-ZDGC=90°-37°=53°,

工旋转角为:53°-37°=16°；

(2)DL=EN+GM,理由如下：

过点G作GK〃ZM/,交DE于K,

图③

•・•四边形EFG。是正方形，

ZDEF=ZGDE,DE=DG,

：.ZEDN=NDGK,

:.ADKG/4END(ASA),

:・EN=DK,

,:GK〃ML,KL//GM,

，四边形KLWG是平行四边形，

:.GM=KL,

:,DL=EN+GM.

20.将正方形A3c。的边A3绕点A逆时针旋转至记旋转角为a,连接3加，过点。

作。E垂直于直线4加，垂足为点£,连接。小，CE.

BBi

(1)如图1,当a=60。时，△DEB\的形状为等腰直角三角形，连接4。，可求出一L

~~CE

的值为

(2)当0。<(1<36()。且(#90。时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就

图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.

DE

,：AB绕点A逆时针旋转至AB1,

：.AB=AB',N84B'=a=60。,

•••△A88是等边三角形，

.•・NB3'A=60。，

；・NOAB'=ZBAD-NR48'=90。-60°=30°,

,：AB,=AB=AD.

・•・ZAB'D=ZADB',

:.NA8£>=180°CO。=75。,

2

:.ZD5'E=180°-60°-75°=45°,

'：DEA.BE,

.•・N8DE=900・45°=45。,

•••△OEZT是等腰直角三角形；

连接BD,

•・•四边形ABC。是正方形，

；・ZBDC=45°,

,噂诋

同理至

DE

.BD_B'D

**DC=DE

*/NBDB'+NB'DC=45。,ZEDC+ZB'DC=45Q,

/./BDB'=/EDC,

:•△BDB's^CDE,

.吗=患=&,

CECD

故答案为：等腰直角三角形，V2；

(3)(1)中的两个结论仍然成立.

理由如卜.：连接8£),

,：AB=AB\NBA8=a,

JNA88=90°-巴，

2

VZB'AD=a-90°,AD=AB',

JZAB'D=\35°-

2

/.ZEB,D=ZAB'D-135°---(90°--)=45°,

22

：.ZEDB,=ZEB'D=45°,

是等腰直角三角形；

•・•四边形A8CD是正方形,

.・.坨二亚，ZBDC=45°,

CDv

.BD_B'D

**DC=DE

,/NEDB'=ZBDC,

/EDB+4EDB=/BDC+/EDB,

即N8O8=NEOC,

:•△B'DBSMEDC,

.吗=辿=&,

CECD

21.如图，在矩形48C。中，AQ=8,AB=6,将△4DC绕点A按顺时针旋转到△AE尸(A,

B,E在同一•直线上)，连接。凡求C尸的大小.

【解答】解：VAD=8,A8=6,ZD=90°,

=22=

ACVAD-+€DV36+64=10,

•一△4QC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,

：.ZEAF=ZDAC,AF=AC=10,

・•・ZEAF+ZEAC=ZDAC+ZEAC,

：.ZFAC=ZBAD,

又：四边形ABC。是矩形，

，NB4D=/AOC=90。，

/.ZMC=90°,

・•・△凡C是等腰直角三角形，

：.CF=42AC=\O42-

22.如图，点£是正方形ABC。内的一点，连接4£、BE、CE,将△ABE绕点6顺时针旋

转90。到△C8F的位置，连接E兄若AE=1,BE=血.

(1)求七产的长;

(2)当EC=J可时，求N4E8的度数.

【解答】解：(1)•・•△相£绕点3顺时针旋转90。得到△C",

/.AABE冬ACBF,

:,BE=BF=®AE=CF=\,NEB尸=90。，/AEB=/BFC,

•••△8£尸为等腰直角三角形，

:.EF=®BE=2；

(2)在△(?£/中，CE=蕊,CF=\,EF=2,

\*CF2+EF1=\2+22=5,C£2=5,

:.CF2+EF2=CE2,

•••△CE”为直角三角形，

・•・ZEFC=90°,

・•・ZBFC=ZBFE+ZCFE=\350,

ZAEI3=\35°.

23.加图，在△44。中，BA=BC,NA4C=40。，将△A8。绕点3按逆时针方向旋转100。,

得到ADBE,连接AO,CE交于点F.

(1)求证：2ABDmACBE；

(2)求/AFC的度数.

【解答】(1)证明：•「△4BC绕点8按逆时针方向旋转100。,

・•・NABC=NDBE=4(f,

・•・ZABD=ZCBE=100%

又•.•84=4C,

:・AB=BC=BD=BE,

在△/1月。与4CBE中，

fBA=BC

ZABD=ZCBE>

IBD=BE

・•・△△CBE(SAS).

（2）解：VZABD=^CBE=\OO°,BA=BC=BD=BE,

/.ZBAD=ZADB=ZBCE=ZBEC=40°.

*/ZABE=ZABD+ZDBE=140°,

AZAFE=3600-ZABE-/BAD-ZB£C=140%

:.NA产C=1800-Z4fE=40°.

24.如图①，在等边三角形A8C中，点。、E分别在边AB、AC上，AD=AE,连接BE、

CD,悬M、N、P分另!是BE、CD、BC的中点，连接。E、PM、PN、MN.

（1）观察猜想：图①中△PMN是等边三角形〔填“等腰”或“等边”）；

（2）探究证明：如图②，4AOE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN

的形状是否发生改变？并说明理由.

【解答】解：（1）结论：是等边三角形.

理由：如图1中，

图1

•・•△ABC是等边三角形，

：,AB=AC,ZABC=ZACB=60°,

*：AD=AEt

；・BD=EC,

•:PB=PC,CN=ND,BM=EM,

:,PN〃BD,PM//EC,PN=%D,PM=』EC,

22

:,PM=PN,ZNPC=Z4BC=60°,NACB=60。,

/.NMPN=60。，

・•・△尸MN是等边三角形，

故答案为等边.

<2)△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下:

由旋转可得NBAO=NC4E,

「△ABC是等边三角形，

：,AB=AC,NAC3=N4BC=600

又・・・4D=AE,

/\ABD^AACE(SAS),

:,RD=CE,ZABD=^ACE,

•・・M是8E的中点，P是8c的中点，

・“加是4BCE的中位线，

・・.PM=2CE,且PM"CE.

2

同理可证PN=』D且PN〃BD,

2

:・PM=PN,NMPB=NECB,ZNPC=ZDBC,

：・NMPB+NNPC=NEC