人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形全章导学案

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第一课时平行四边形的边、角性质

@教学目标

1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.

3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.

电预习导学

阅读教材P41~43,完成下列预习内容.

I.两组对边分别、F"的四边形叫侬平行四边形.平行四边形用符号表示,如图所示，平行四边形A8C力记作A8CD

如图所示.

,:四边形ABCD是平行四边形,，."〃■工力〃区.

反过来.二八^〃CD.AD//BC.

•••四边形ABCD是乎彳j四边膨.

2.丫-行四边形的对边」/且相等.对角相等,邻角角补.

•.•四边形ABC。是平行四边形.

.'.Afi//(Dj\I)〃/it.A6=(7)/D=fiC.

/A=/C/8=//).

Z4+Zg=18(r.Z4+Z0=180；

3.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的垣逋，叫做这两条平行线之间的距离.

如图所示，已知。〃庆则a与b的理离是图中的线段£2的长度.

自学反馈

I.如图所示，在△八吐中，力£〃6C,"〃人C,£F〃八8.根据平行四边形的定义，你能判断出图中共有多少个平行四边形吗?并分别

指出它们的名称.

解:①由OE〃8F.O8〃EF可以得到四边形。身有是平行四边形.

②山/把〃“•和”〃比可以得到四边形/»'C£是平行四边形.

③由EF//ABfllO”〃AC可以得到四边形AO”£•是平行四边形.

一共有3个平行四边形.

【点拨】根据平行四边形的定义,只要两组对边分别平行的四边形就是平行四边形，这是判断一个四边形是平行四边形最基

本的方法，也是最常JIJ的方法.

2.如图所示,小斌用--根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m,则它的邻边长为（I））

A.34mB.I8inC.16mD.9m

【点拨】平行四边形的邻边之和等于周长的一半.

3.在。八8C7）中,/8=70。,则其他三个角的度数分别是多少?

解:V四边形ABCD是平行四边形，

:.ZB=ZD=700.ZA=ZC=I80°-70°=110°.

【点拨】平行四边形的对角相等，邻角互补.

©典例剖析

【例题】（教材P42例1）如图所示,在。ABCO中.OE_LAB.8F_LCD垂足分别为E.E求证AE=C尸.

（解答）证明:•••四边形ABCD是平行四边形.

，ZA=ZCAD=CB.

又•.•NAED=NCF8=90°,

/.△4DE^ACBF（AAS）,.，ME=CF.

【点拨】在平行四边形中证明线段与角的问题通常要用到全等.

【跟踪训练】（《全科王》18.1第一课时第7题）如图所示,四边形AB。是平行四边形石尸分别是BCAD上的点,/l=N2.

求证AF=CE.

证明:•四边形ABCD是平行四边形.

NB=NDJ\B=DCAD=BC.

仔1=N2,

由ABE和△CDF^PAAB=DC

3=di

»

：.zM班运△CDF(ASA),，BE=DF.

又,：AD=BC,：.AF=CE.

国巩固训练

1.己知在。ABC。中,NA+NO240。.则的度数是（B）

A.IOO°B.60°C.80°D.I6O0

2.如图所示，在"ABC。中工8=3./?C=5"A8C的平分线交A。于点£则DE的长为（D）

R

A.5B.4C.3D.2

3.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2,则其中较大的内角是（D）

A.450B.60°C.90°D.1200

4.在。AHCD中，若AH=3cm,八。=4cm,则。AHCD的周长为J4cm.

5.如图所示，如果直线八〃/2,那么&ABC的面枳和4。忒'的面积是相等的.你能说出理由吗?你还能在这两条平行线/皿之间画出其

他与△ABC面积相等的三角形吗?

解:•••八〃/2,，八,/2之间的距离是固定的，

:.03c的3c边上的高相等.

.•.△八8。和408c的面枳相等.

如图所示，当点E在直线八上时,SAESC=SAABG

6.如图所示尸ABC。中方为8c边的中点,连接4E并延长.交DC的延长线于点八求证DC=CF.

证明:•；四边形AHCD是平行四边形，

：.AB//CDAB=CD.

:.NBAE=NCFE.

为BC的中点，

b：B=EC.

(Z.BAE=Z.CFE

ABE与AFCE^ILAEB=乙CEF'

lEB=EC

9

/.ZSABE/△尸CE(AAS).

：.AB=CF.：.DC=CF.

®课堂小结

1.平行四边形的定义.

对边平行，

对边相等，

2.平行四边形的性质

对角相等，

.邻角互补.

第二课时平行四边形的对角线性质

教学目•标

1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运川平行四边形的性质般决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.

©预习号学

阅读教材P43~44.完成下列预习内容.

L平行四边形的对角线“相平分.

如图所示，

V四边形ABCD是平行四边形，对角线AC.BD相交丁点0.

：.AO=OC=^AC.BO=DO=^BD.

2.(1)平行四边形的面积=底乂口.

如图所示.在。ABCD^AELBC于EAFA.CD于E则5-w=BC3aM

⑵如图所示尸ABCD的对角线ACBD相交于点。则q&OB三SA肛三弘co^DO.^-ABCD.

【点拨】两条对角线把平行四边形分成面积相等的四个二角形.

自学反馈

l.oABCD中,对角线ACBQ相交丁点。，如图所示，大胆猜想OA与OC.OB与。。的数故关系.

牯根CA-CCO8-。/）.

解:由四边形ABCD是平行四边形得AB=CD.AB//CD.

:.ZAHO=ZCDO,NBAO=NDCG,

:.△ABO♦ACDO,

：.AO=CO,BO=DO.

结论:平行四边形的对角线"I「•分.

【点拨】利用平行四边形对边平行且相等得到线段相等.角相等,通过全等证明平行四边形对角线互相平分.

2.已知cA8CQ的周长为60cm.对角线AC.BD交于点O.AAOB的周长比48。。的周长长8cm.求平行四边形各边的长.

解:由题意得AB+BC=30cm.A8-8C=8cm.

：.AB=CD=\9cmAD=BC=\Icm.

®典例剖析

（例题】（教材P44例2）如图所示,在二ABCD中K5=1（MD=8工C_LBC.求BC.CDAC.OA的长.以及。ABCD的面积.

（解答）解:「四边形ABCD是平行四边形.

：.BC=AD=S.CD=AB=\0.

V/1C1BG

...△A8C是直角二角形.

根据勾以定拜，得AC=y/AB2.BC2-ynO^=（＞-

y.\'OA=OC,

。八3八C=3,S,mcD=8CAC=8x6=48.

【点拨】平行四边形的性质与勾股定理综合应用求得cABC。的面积=8CAC

【跟踪训练】如图所示，在。ABCD'|\«C=IO,/1C=8,/JD=I4,A八。。的周长是多少？△ABC与4/用C的周长哪个长?长多少？

解：；四边形ABCD为平行四边形，

：.AO=OC=^'\C.BO=OI^fiD,BC=AD.

ACAO+OO+A，咛A8c=4+7+10=21.

V四边形ABCD为平行四边形，

：.AB=CD.

"CAAtt^AB+BC+AC=AB+BC+S,C&DB^BC+CD^BE>=BC+AB+14.

:.CADB<yC&ABC-（t.

:.Cai）nc>C^Affc.K6.

【点拨】解题的关键是熟知平行四边形的对角线互相平分的性旗，周长是三边之和,两三角形有两边相等，差即在不相等的一

组边上.

®巩固训练

1.如图所示尸ABCD的对角线AC.B。相交于点。则下列说法一定正确的是（C）

A.AO=ODB.AOLOD

CAO=OCD.AOJ.AB

2.如图所示尸ABC。的对角线AC和8D相交于点O.图中与408c面积相等的三角形（不包括自身）的个数是（B）

A.4B.3C.2D.I

3.如图所示,在J8CD中./。〃=90。工C=IOcm.5D=6cm,则A。的长为（A）

D£

R

A.4cmB.5cm

C.6cmD.8cm

4.已知在。AHCI）中交于点。/AOH的面枳为2,那么。AHCD的面积为K.

⑧课堂少等

’对边平行且相等，

平行四边形的性质（对角相等，

.对角线互相平分.

18.1.2平行四边形的判定

第一课时由边、角、对角线关系判定平行四边形

@教学目•标

L掌握由边、角、对角线判定平行四边形的判定定理.

2.能根据不同条件灵活选择适当的判定方法.

@预习导笑

阅读教材P45~46.完成下列预习内容.

1.两组对边分别川多的四边形是平行四边形.

如图所示，

在四边形ABCD中边乩.••四边形ABCD是平行四边形.

2.两组对角分别小等的四边形是平行四边形.

如图所示，在四边形八8C7）中，

四边形ABCD是平行四边形.

3.对角线山1LT分的四边形是平行四边形.

如图所示，在四边形ABCD'IMC3D相交丁点O.

•••四边形ABCO是平行四边形.

自学反馈

1.若四边形人88的对角线AC/D相交于点O,OA=OCQB=OD,则达个四达形是干行四边形.理山是对。线式相干分的四边形

是平行四边死.

2.在四边形ABCD中,/A=NC=80。，当/8=1凶_,/。=1也：时,四边形ABCD是♦行在.边形.

3.如图所示工B=DC=EE4/>8C.DE=CE图中有哪些互相平行的线段？

解:AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF.

:.四边形八BCDOCFE是平行四边形.

：.AB//CD//EF.AD//BC.DE//CF.

Q典例剖析

【例I】如图所示,在四边形A3CD中38〃CZX/A=/C,求证四边形A3C。是平行四边形.

D

（解答）证明:•.•/:〃C/）,

...Z4+ZZ>180°.Z5+ZC=180°,

,:NA=NC.；.NB=/D,

...四边形八BCD是平行四边形.

【点拨】已知•组对角相等，可以证另一组对角相等来证明平行四边形.

【跟踪训练1】四边形A8C7）中耍使四边形八是平行四边形，还需满足条件（D）

A.Z4+ZC=180°B,N5+/£>=18（r

C.ZA+Z«=180°D.Z4+ZD=I8O0

［例2］（《全科王》18.1第二课时第13题）如图所示，在△八劫CAACD.AABEq8CF均为直找8c同便的等边三

角形，求证四边形八/»■力为平行四边形.

（解答）证明:•.•△八8E48C厂为等边三角形.

:.AB=BE=AE,BC=CF=FB,NABE=ZC"=60".

:./FBE=/CBA.

(BF=BC

在△FHE和ACH.\4FBE=1CBA

{EB=AB'

:.△Ffi£^ACftA(SAS),，EF=AC.

又,••△A。。为等边二角形，

，CD=AD=AC,：.EF=AD.

同理可得AE=DF.

工四边形八。庄是平行四边形.

【跟踪训练2】下面给出的是四边形48。中工8.8CCD/M的长度之比,其中能满足四边形A8CD是平行四边形的是

(C)

A.I：2：3：4B.2：2：3：3

C.2：3：2：3D.2：3：3：2

【例3】（教材P46例3）如图所示尸43。的对角线AC3力相交于点OEF是AC上的两点.并且AE=CE求证四边形BFDE

是平行四边形.

（解答）证明:「四边形ABCD是平行四边形.

：.BO=DO.AO=CO.

'：AE=CF..'.AO-AE=CO-CF,V.VEO=FO.

又BO=DO,

.••四边形历是平行四边形.

【点拨】已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分来证明平行四边形.

口巩固训练

I.如图所示,4O〃3C,要使四边形A友刀成为平行四边形还需要条件（D）

A.AB=DCB.ZI=Z2

CAB=ADD.AD=BC

2.1面给出的是四边形A8CD中NA,NB/CZ。的度数比淇中能判断出四边形是平行四边形的是（B）

A.4：3：2：1B.3：2：3：2

C.3：3：2：2D.3：2：2：I

3.如图所示，四边形人8CQ的对角线相交于点。八。=C。请添加一个条件8（7=/）。（答案不唯），使四边形八8c相是平行四边形.

4.如图所示，在四边形ABCD中工B=CZI8C=AO,若N£>=120°.求ZC的度数.

解:•.•A3=CD8C=AD

••・四边形A8CD是平行四边形.

：.AD//RC,：-ZC+ZD=180°.

:/D=I2O°,，NC=60°.

5.如图所示，在四边形ABC。中,A3〃CD百是3c的中点，宜线AE交OC的延长线于点E试判断四边形的形状，并证明你的结

论.

AR

解:四边形A8FC是平行四边形.证明如下：

'：AB//CD,：.2BAE=4CFE.

:E是BC的中点,，BE=CE.

(LBAE=Z.CFE

打△八8£根FCb>\1/.AEB=LFEC'

(8E=CE

9

:.△ABEg△FCE(AAS).：.AE=EF.

又「B£=CE....四边形ABFC是平行四边形.

@课堂少缜

I.平行四边形判定方法：

(I)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)两组时角分别相等的四边形是平行四边形；

(4)对角线互相平分的四边形是平厅四边形.

2.平行四边形性质和判定的运用.

第二课时由一组对边关系判定平行四边形

⑧教学目标

1.探索并掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2.灵活运用平行四边形的性质和制定解决实际问题.

@预习导笑

阅读教材P46~47,完成下列预习内容.

一组对边平行且皿的四边形是平行四边形.

如图所示,在四边形A5CD中.

'：AB//CDAB=CD,

四边形ABCD是平行四边形.

自学反馈

1.如图所示，取两根等长的木条AS.CD.将它们平行放置.再用两根木条ADBC加固，得到四边形人BCD你认为四边形A8CD公

是平行四边形吗？

已知:AB=SAB〃CD.

求证:四边形八8C。是平行四边形.

证明:连接人交于点O,

则Z4BOZCDO叱BAO=/DCG.

又•：AB=CD,

:.AABSQACDO,

：.AO=CO,BO=DO,

，四边形ABCD是平行四边形.

2.如图所示，在四边形ABCD中，对用线AC与BD交于点。，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是

A.OA=OC,OB=OD

H.Afi//CDAD//CR

C.AB=CD,AD=CB

D.AB//CDAD=CB

【点拨】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.若一组对边平行，另一组对边相等.不能判定平行四边形.

典例剖析

【例1】（教材P47例4）如图所示，在。ABCD中£/•.分别是AB,CD的中点，求证四边形EHH）是平行四边形.

（解答）证明:•.•四边形八8C”是平行四边形,

乂EB=~.\B.FD=^CD.：.EB=FD.

，四边形EBFD是平行四边形.

【点拨】判定平行四边形的基本思路：(1)若己知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行;(2)若已知一组对

边相等，可以证这一组对边平行或另一殂对边相等;(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等;(4)若已知条件与对角线有关，可

以证明对角线互相平分.

【跟踪训练I】已知在四边形ABCD中,AD=8CND=/£>CE求证四边形A8CD是平行四边形.

AD

BCE

证明:,:/。=/DCE,:.AD//BC.

V.'：AD=BC.

...四边形八BC。是平行四边形.

【例2】如图所示，在二ABCD中，点E.F分别在40.灰?上,且相交于点。求证OE=OF.

4ED

k

RFC.

(解答)证明:连接

•••四边形ABCD是平行四边形.

：.AD//BCAD=BC.

又.；AE=CF,：.1)E=BE

又VDE//B卜::.四边形HEDF是平行四边形.

：.OE=OF.

【跟踪训练2】(《全科王》18.1第四课时第4题)如图所示.5.EC.尸在•条直线上，已知A8〃。处4C〃OF.8E=CE连接AD

求证四边形，是平行四边形.

证明:'.YB〃O£AC〃。尸.

:./8=/DEF,/A止/F.

,:BE=CF.：.BE+CE=CF+CE.

IIPBC=EF.

NB=LDEF

在△ABC和△。七户中.BC=EF'

£ACB

=NF，

△A3"△OERASA）,，48=DE.

又•••A8〃OE...四边形43E。是平行四边形.

电巩固训练

I.在下列给出的条件中,能判定四边形A8CO为平行四边形的是（C）

A.AB//CDAD=BCB.Z4=Z2?.ZC=ZD

CAB=CDAD=BCD.AB=AD.CB=CD

2.如图所示，在。ABS的•组对边ADBC上截取EF=MN,连接EM/N,则图中共有2个平行四边形.

3.如图所示,在四边形A8CD中,£尸是对角线AC上的两点,8E_LACO/」ACJ13七=。凡44CE求证四边形ABCD是平行四边形.

证明:•.•3£LLAC,D/:\LAC,

:.ZBEC=ZDFA=90°.

(BE=DF

BCEM^DAF\'.UBEC=£DFA

(CE=AF

9

:.ABC陛ADANSAS),

:.BC=AD"BCE=ZDAF,

/.8C〃A。,...四边形A8C£）是平行四边形.

4.如图所示，点区E分别在AC.上工尸分别交BDCE于点、A/.N.ZA=ZF,Zl=Z2.

(1)求证四边形BCE。是平行四边形:

⑵已知OE=2,连接8N,若8N平分NO8C,求CN的长.

证明:⑴；ZA=ZF,：.DE//BC.

•.•NI=N2.N1=NOA".

:.NDMF=42,；.DB"EC,

:.四边形BCED为平行四边形.

解:(2)：8N平分/DBC,:.ZDBN=ZCBN.

:EC//DB.：.ZCNB=ZDBN,

：.4CNB=4CBN.：.CN=BC=DE=2.

©课堂小弟

1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2.平行四边形的判定与性质的综合应用.

第三课时三角形的中位线

金教学目标

1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.

2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.

电预习导学

阅读教材P47-49,完成卜,列预习内容.

1.三角形的中位线的定义:连接三角形两边上点的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形的中位线定理:三角形的中位线:十r-三角形的第三边,并且等于笫三边的T.

如图所示，

•••。£是△A8C的中位线,

：.DE//BC.I1DE=^BC.

3.一个三角形有：条中位线.

4.如图所示，在△八中/B=8,8C=12/C=IO,点。,£分别是HC,CA的中点，则ADEC的周长为（A）

A.15B.I8C.20D.22

【点拨】三角形的中位线定理包含两个方面：（1）平行（位置关系）;（2）一半（数量关系）.

Q典例剖析

【例1】（教材P48探究）如图所示，。而分别为△ABC的边ABAC的中点，求证DE〃BC,且DE^BC.

（解答）证明:延长DE到点E使七尸=。£连接FC.DCAF.

'：AE=EC.DE=EF.

•••四边形AZXT是平行四边形....CF平行且等于ZM

平行且等于BD.

，四边形。伙下是平行四边形,平行且等于BC.

又VDE=iDF,:.DE//8C,且DE部C.

【点拨】本题既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中•条线段的长等于另•条线段长的一半.将OE延长一倍后.

可以将证明加弓“转化为证明延长后的线段与3c相等.又由于E是AC的中点,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构

造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明.

【跟踪训练】（《全科王》18.1第五课时第6题）如图所示，在△八BC中,/）£/•・分别是边AB,HC,CA的中点，四边形出了7）的周

长为14,则A3+8C的长为口

【例2］（教材P49练习TI）如图所示布△A8C中.D£F分别是A8.8CCA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个

平行四边形?为什么？

（解答）陋:能画出三个平行四边形，根据•组对边平行H相等的四边形乃平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF.

四边形八。"为平行四边形.

巩固训练

I.如图所示,在等边三角形A8C中.点D石分别为边AR4c的中点,则/OEC的度数为（B）

A.1500B.I200C.60°D.30°

2.如图所示,△ABC中.DERG分别是A3工CdOdE的中点，若BC=I2,则。E+FG等于（C）

A.6B.8C.9D.12

3.已知△A5c的各边长度分别为3cm.4cm.5cm.则连接各边中点的三角形周氏为（D）

A.2cmB.7cmC.5cmD.6cm

4.如图所示，在。ABCD中,对角线AC.BD相交于点。点£是AB的中点,O£=5cm,则AD的长为H）cm.

5.如图所示,在△A8C中.D.E分别是AB和AC的中点,F是3c延长线上•点.C尸=IQF交CE于点G.且EG=CG,则BC=2.

R

6.如图所示，在△入8c中,CF平分//tCB,C/t=SA£=£B,求证EF^BD.

证明:•••CA=CD,CF平分ZACH,

:.CF为AD边上的中线,二F为A。的中点.

又AE=EB..,.E为A3的中点.

EF为△48。的中位线,，EF=hiD.

⑧课堂小弟

1.三角形的中位线定理.

2.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的位置关系,而且给出了它们的数量关系,在三角形中给出一边的中点时，要

转化为中位线.

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

第一课时矩形的性质

⑧教学目标

1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

3.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论.

©预习导学

阅读教材P52~53,完成下列侦习内容.

】•矩形的定义:有一个角是直角的土任四边心叫做矩形.

如图所示,

V四边形ABCD是平行四边形./.4=雪.

，四边形ABCO是矩形.

2.矩形的性质:矩形的对边」,彳JU相等:矩形的四个角都是也用:矩形的对角线互相上分且出年

如图所示，

•••四边形ABCD是矩形.

•MB平行且等于⑪工力平行且等于除

ZBAD=ZABC=ZBCD=ZAD€=\!(r,

AO=O(=1.A(,B()=l)()=^ii)j\C=Hi).

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的二L.

如图所示，在RIAA8C中,N4C8=90。,。为八8的中点则CD=^\Ii.

自学反馈

直角三角形的两直角边长分别为5和12.则斜边上的中线为4.

Q典例剖析

【例1】(教材P53例I)如图所示，矩形八灰7)的对角线ACM)相交于点。，/AO8=60M8=4,求矩形对角线的长.

(解答)解:•；四边形ABCD是期形,

:.人C与8。相等且互相平分.

：.OA=OB.

又NAO8=60。.，是等边三角形.

：.OA=AB=4.

：.AC=BD=2OA=2x4=S.

【点拨】应用矩形性质计算的一般思路:①根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形用勾股定

理求线段的长度是常用的思路;②根据更形对角线相等且互相平分.可借助对角线的关系得到全等三角形.矩形的两条对角线把矩形

分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计第和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段长度或角度的等房关系.

【跟踪训练I】（《全科王》1&2第一课时第3题）如图所示，矩形A8CO的对角线交于点。，若/A。8=30。,48=2,则OC的长

为（A）

A.2B.3C.2y[3D.4

【跟踪训练2】如图所示，已知四边形ABCO是矩形（AO>A3）.点E在BC匕且4E=AOQ凡LA£垂足为点E求证DF=AB.

证明：•:四边形AHCD是矩形,/）F_A£,

:.^EBA=^DFA=90：｝^D//BC.

:.ZDAF=ZAEB.

zD4F=Z4EB

在A4/7)411AEBA中,Z.AFD=£EBA'

AD=AE

:.AAFD^A£/?A(AAS),：J)F=Aii.

【例2】如图所示,/）£/•・分别是△ABC各边的中点,八〃是爵，如果EIA5cm,求〃尸的长.

（解答）解:山邀克.，得/g是△A6C的中位线,

,:HF是R1AA〃C的斜边AC上的中线,

：.HF=^AC,：.HF=DE=5cm.

【点拨】由中位线定理可知OE=|AC即可求出AC的K度.又因为HF是RSA，C斜边上的中线.即可求山〃尸的k度.

【跟踪训练3】如图所示，在△A3C中,D为AB的中点,8工LAC,垂足为E若DE=4/E=6,则此的长度是（D）

A.10B.2V5C.8D.2V7

巩固训练

1.在下面性质中,矩形不一定具有的是（D）

A.对角线相等民四个角都相等

C.是轴对称图形D.对角线互相垂直

2.直角三角形中,斜边长为12.则斜边上的中线长是（A）

A.6B.4C.8D.12

3.如图所示,在矩形A8CD中.对角线AC.8D相交于点O,点£尸分别是AOAD的中点，若A8=6cm.8C=8cmMLAE尸的周长为

（C）

A.7cmB.8cmC.9cinD.I2cm

4.如图所示，已知矩形ABC。中,对角线AC8Q相交于点O.AE_L8。于E.若N£ME：N8AE=3：I.则NAB。的度数为（D）

A.60°B.62.50C.650D.67.50

5.矩形的两条对角线的夹角为60。.较知的边长为12cm.则对角线的长为更cm.

6.如图所示，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点。点£户在8力上。£=OE求证AE=CF.

证明:四边形ABCD是矩形..•.04=0C.

(0A=0C

6：△40/；fIIACOf-Az.AOE='/.COF

(0E=OF

^AOE^△COF(S/\S),：.AE=CF.

®课堂少结

1.矩形的定义及性质.

2.矩形是特殊的平行四边形.矩形的四个角都是直角,对角线互相平分且相等.

第二课时矩形的判定

金教学目标

I.能应用矩形的定义、判定定珥，辞决简单的证明题和计算题,进一步培并分析能力.

2.培养综合应用知识分析、解决问题的能力.

电预习导学

阅读教材P54~55,完成下列预习内容.

1.如图所示，

•.•四边形ABCD是平行四边形,NA包,

...四边形八8C。是矩形.

2.如图所示，

,/四边形ABCD是平行四边形/C=柜2,

，四边形AHC7）是矩形.

3.如图所示,

D

•••在四边形ABCD中,NA=N8=NC=2Q2.

•••四边形ABC。是矩形.

G典例剖析

【例1】（教材P54例2）如图所示，在。八氏7）中用角线人CM）相交于点0,且OA=OD,ZOAD=50a.^,ZOAH的度数.

（解答）解::四边形ABCD是平行四边形,

，OA=OC=^AC.OB=OD=^BD.

^：OA=OD,：.AC=BD.

：.四边形ABCD是矩形,二NDAB=90。.

乂Z040=50。,Z045=40°.

【点拨】判定矩形的基本思路:①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角;②若对角线相

等,则可以证该四边形是平行四边形;③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等.

【跟踪训练I】如图所示,在△A3C中Q是3c边上一点方是A。的中点，过点A作3c的平行线交CE的延长线于点”,且

4尸=3D,连接BF.

⑴求证D是8c的中点;

⑵若A8=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

证明:（I）：A尸〃3c

...ZAFOZFCfi.

又丁NAEF=NDECAE=DE,

：.£\AEF^△DECXAAS).：.AF=DC.

又VAF=BD.:.BD=DC.即。是8C的中点.

解：(2)四边形,“加)是矩形.证明如下：

'：AF//BCAF=BD.

，四边形是平行四边形.

是BC的中点.

：.AD±8C即NADB=90°.

四边形八尸8。是矩形.

【例2】如图所示,四边形AHCD中,对角线相交于点O/O=CO,H9=。。,且/八8C+/AOC=180。.

(I)求证四边形A8CD是矩形.

^^^/,八仁若/人力尸：NFDC=3:2,则NB。尸的度数是多少？

(解答JAO=CO,HO=DO,

•••四边形八38是平行四边形，

，ZABC=ZADC.

VNA8C+ZADC=\80°./.ZABC=NAOG90。.

；.四边形ABC。是矩形.

解:(2)YNAOC=90°,//”》•：ZFDC=3:2,

ZFDC=36°.

VDF1AC./.ZDCO=900-36o=54\

■:四边形ABCD是矩形CO=OZ).

:.ZODC=ZDCO=54°,

:.ZBDF=/ODC-ZFDC=18".

【点拨】很多邀目是判定与性质的综合应用，灵活应用判定定理和性质定理是关键.

【跟踪训练2】(《全科王》18.2第二课时第8题)如图所示，在"ABC。中K3=6.8C=8工C=IO.

⑴求证四边形A8CQ是矩形;

⑵求即的长.

证明:(1)AB=6.BC=SAC=l().

：.ABZ+BC2=AC2,：.Z4WC=90°.

V四边形ABCD是平行四边形,

.”A5CD是矩形.

解：(2)二•四边形A58是矩形.

，80=4010.

®巩固训练

I.在一仅7）中，增加一个条件使四边形八6C。成为矩形，这个条件是（B）

\.AB=CDB.NA+NC=180°

C.BD=2ABD.ACLBD

2.如图所示，四边形八BCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的美件是（D）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

3.如图所示，在四边形ABCD中，对角线ACL8DEEG.”分别是各边的中点.若AC=8.8D=6.则四边形EFGH的面积是12.

4.如图所示.AB=AC4£>ME.OE=8CIL/的。=NCAE.求证四边形BCDE是矩形.

证明:•.•/8/W=/C4£

:.ZBAD-ZBAC=ZCAE-ZBAC.

：.ZBAE=ZCAD.

(AE=AD

布△BAE^\hCAD\'\z.BAE=zC/lD

AC

MB=»

:.△84E"CAD(SAS"NBEA=NCDA,BE=CD.

'：DE=CB,：.四边形BCDE是平行四边形，

：.BE//CD.

"AE=AD.：.ZAED=ZADE.

•；ZBEA=NCDA.：.ZBED=ZCDE.

'：BE//CD.:.NCDE+ZBED=180。，

:.NBED=NCDE=90。,；.四边形BCDE是矩形.

5.如图所示，已知。是A八AC的边AB上一点,CN〃AB,DN交AC于点M,MA=MC

⑴求证心CN;

⑵若求证四边形AQCW是矩形.

证明：(1)CN//八B.:.NDAM-NNCM.

(£DAM=Z.NCM

在AAA〃)和^OWN中=MC

{/.AMD=ZCMN

f

：.^AMD^△GWJV(AS/X).AAD=CN.

(2Y：AD//CNM)=CN,

四边形ADCN是平行四边形.

又,：MA=MD,：.AC=DN,：.四边形ADCN是矩形.

©课里少结

L定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

18.2.2菱形

第一课时菱形的性质

⑧教学目标

1.理解并举提菱形的定义及性质定理;会用这些定理进行有关的论证和计算.

2.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系.通过画图向学生渗透集合思想.

©预习导学

阅读教材P55~56.完成卜.列预习内容.

1.菱形的定义:有一组网相等的平行四边形叫菱形.

如图所示，

,/四边形ABCD是平行四边形.且48=AD

:.四边形ABCD是爰物

2.菱形的性质:菱形的四条边条相笠:菱形的两条对角线互相打相平分.且每戋对角线卜分组对角;菱形是轴对称图形.它的对

角线所4的也线就是它的对称轴.

如图所示,

•/四边形ABCD是菱形,8c=CD=OA,

AC1.Bl)j\o=()('=J.\C.BO=I)O=^HI).

AC平分//M/和/RCD.RD平分/八"和/ADC

3.菱形的面积等于底乘以肩:菱形f勺面积等于两对角线乘枳的E

SARC^HC^ET^ACBD.

自学反馈

1.在菱形八BC。中,N/M/X120。,已知人C的长是5,则菱形八BCO的周长是(B)

A.25B.20C.I5D.IO

2.已知菱形的边长为5cm,一条对角线的长为8cm.另一条对角线的长为(C)

A.3cmB.4cmC.6cm1）.8cm

3.菱形两条对角线的长分别是4和6,则这个菱形的面枳为12.

【点拨】（1）菱形的一条对角线珞菱形分成两个全等的等腰三角形;（2）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小宜角三角

形.

©典例剖析

【例题】（教材P56例3）如图所示，菱形花坛/WC。的边长为20m,/"C=60。,沿着菱形的对角线修建厂两条小路AC和BD,

求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面枳（结果保留小数点后一位）.

【思路点拨】本时要求两条小路的长和花坛的面枳,可以在RIA中，应用直角一角形的性质和勾股定理求出。儿（用的

长.

（解答）解:：花坛ABCD的形状是菱形.

工AClBD"A/八«C=1x60:=300.

在RtAOA3中/*A3[x20=10im）.

8（97田/。2-，2（）2]（）2-l0V3<ni）.

，花坛的两条小路长AC=2AO=2Q（m）.

B/）=28O=2（XQ=34.64（m）.

花坛的而枳Sk4xS&88=|9心。=200>/5=346,4（0?）.

【方法归纳】应用菱形性质计算的一般思路:①菱形对边平行、对角相等、四边相等,所以在做题时，可利用等量代换来转换

边角之间的关系;②菱形的对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长.

【跟踪训练】菱形的周长为4,两个相邻内角度数的比为I：2.则该菱形的面积为（A）

A.苧B.V3C.2D.2>/3

®巩固训练

I.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（D）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图所示,在菱形AHCD中，£下分别是4瓜AC.的中点，若以'=3,则菱形八伙7)的周长是

A.12B.I6C.20D.24

3.已知菱形八8C7)的面枳为24cnR若对角线4C=6cm,则这个菱形的边长为fem.