北京邮电大学版线性代数课后题答案

...wd......wd......wd...习题六〔A类〕1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k·；(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】〔1〕是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的18条性质，因此只需考虑反对称〔上三角〕矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)′=A′+B′=AB=(A+B),(kA)′=kA′=k(A)=(kA),所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.〔2〕否.因为(k+l)·,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.〔3〕否.因为零矩阵不可逆〔又因为加法和数量乘法都不封闭〕.〔4〕否.因为加法不封闭.例如，向量〔1，0，0〕，〔0，1，0〕都不平行于〔1，1，0〕，但是它们之和〔1，0，0〕+〔0，1，0〕=〔1，1，0〕不属于这个集合.2.设U是线性空间V的一个子空间，试证：假设U与V的维数相等，则U＝Ｖ.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1),＝(1,1,0,0),＝(0,1,－1,－1)下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则即为解之得()=(1,0,1,0).4.在R３中，取两个基＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R３中一个基〔通常称之为标准基〕=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).于是有所以由基到基的过渡矩阵为坐标变换公式为其中()与〔〕为同一向量分别在基与下的坐标.5.设α1,α2,α3与β1,β2,β3为R3的两个基，且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为，(1)求由基β1，β2，β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵B；(2)假设向量α在基β1,β2,β3下的坐标为(2，3，1)′，求α在基α1,α2,α3下的坐标.解〔1〕，由于A又逆，所以得，可见A-1为从到的过渡矩阵B利用求逆矩阵方法〔2〕由定理3知，6.在R4中取两个基(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2)求向量()在后一个基下的坐标；(3)求在两个基下有一样坐标的向量.【解】(1)这里A就是由基到基的过渡矩阵.(2)设,由于()=()A1,所以因此向量在基下的坐标为(3)设向量在这两个基下有一样的坐标,那么即也就是解得,其中为任一非零实数.7.说明平面上变换的几何意义，其中(1)；(2)；(3)；(4).【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.8.设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换T(A)＝P′AP，A∈Ｖ称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,B∈V,k∈R,有T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B),T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.9.在R3中取两个基：α1=(-1,0,-2),α2=(0,1,2),α3=(1,2,5);β1=(-1,1,0),β2=(1,0,1),β3=(0,1,2).定义线性变换T：T(α1)=(2,0,-1),T(α2)=(0,0,1),T(α3)=(0,1,2),求线性变换T在基β1,β2,β3下的矩阵.解：设则所以故又，所以T在基下的矩阵为10.函数集合V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a1,a0∈R｝对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基1＝x2ex,2＝2xex,3＝3ex，求微分运算D在这个基下的矩阵.【解】即因此D在基下的矩阵为.11.2阶对称矩阵的全体对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基(1)在V3中定义合同变换求在基下的矩阵及T的秩与零度.(2)在V3中定义线性变换求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核.【解】(1)由此知，T在基下的矩阵为显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0.(2)即T()=()M,其中就是T在基下的矩阵.显然有所以T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).最后求出T1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T1(0),那么T(A)=0，即也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得根基解系(2,1,0),(1,0,1).故T1(0)=L(2A1A2,A1A3).〔B类〕1.A2.A3.设α1,α2是线性无关的n维向量，那么V={λα1+μα2｜λ,μ∈R}的维数为.解：由于V中任何元素都可由线性表示,且线性无关,所以的维数为2.4.在R3中线性变换T(x1,x2,x3)=(2x1-x2，x2+x3，x1)，那么T关于基ε1=(1,0,0)′,ε2=(0,1,0)′,ε3=(0,0,1)′的矩阵为.解：由于，故,,所以故T在下的矩阵为5.在R3中，向量α在基α1=(1,1,0),α2=(1,1,1),α3=(1,0,1)下的坐标为(2，1，0)′，向量β在基β1=(1,0,0),β2=(0,1,-1),β3=(0,1,1)下的坐标为(0,-1,1)′，求：(1)由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵；(2)向量α+β在基α1,α2,α3下的坐标.解：〔1〕由所以，故过渡矩阵为〔2〕，所以，故在下坐标为6.设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)′,α2=(-1,1,4,-1)′,α3=(5,-1,-8,9)′是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.解：由B的秩为2知，Bx=0的解空间的维数为2.由线性无关令单位化得