数学-2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）（参考答案）

2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数学·参考答案一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）123456789DACCCCDDA二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）10、11、12、13、14、．15、．三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）16．（15分）【详解】（1）由及正弦定理，得，.......................2分因为，所以，且........................4分又，可得........................6分（2）因为，由余弦定理，得，......................8分即，解得(负值舍去)........................9分（3）由（1）及，，，得，.......................10分从而........................11分由（1）得........................13分，，所以........................15分（15分）【详解】（1）证明：如图，设与交于点，连接，∵四边形为矩形，∴为的中点，又因为为的中点，........................2分∴，而平面，平面，∴平面；........................4分（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，........................6分因为平面，所以，因为，........................7分所以，，两两垂直，所以如图，分别以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有，，，，所以，，，........................8分假设平面的一个法向量为，则有，设直线与平面所成角的平面角为，则有．........................10分（3）解：假设存在点，满足题意，且此时，即得，则有，，........................12分假设平面的一个法向量为，则有，又因为平面的一个法向量为，.......................13分根据题意，则有，解之可得，，.......................14分即得，即点为线段上靠近点的一个三等分点，坐标为．.......................15分（15分）【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为，则椭圆的右焦点为，.......................2分当直线的斜率等于时不符合题意；设直线斜率不为0时，直线方程为，，，由可得：，则，，，.......................4分所以，.......................6分所以四边形的面积为，设，则，所以，因为，当且仅当即，时，最小值为，.......................8分所以，因为，可得所以四边形（为坐标原点）的面积的最大值为；......................9分（2）因为，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：........................10分令可得：........................12分由（1）知：，，则所以，则直线过定点........................15分（15分）【详解】（1）解：由及可知，数列是以为公比的等比数列，所以，，故，........................2分设等差数列的公差为，由，可得，，所以，.........................4分（2）解：，设数列的前项和为，，记，，所以，，........................6分，①，②①②可得........................8分，所以，，因此，.........................9分（3）证明：先证明柯西不等式，构造函数，显然且，所以，，即，当且仅当时，等号成立，........................11分本题中，由（1）可得，所以，，且，........................12分所以，，，........................13分所以，，........................14分但不恒为常数，所以等号不成立，则.........................15分（15分）【详解】（1），则，........................1分当即时，，在上单调递减，........................2分当时即时，，令，得或；令，得；........................4分此时在和上单调递减，在上单调递增；........................5分（2）（ⅰ），据题意有，又，则且，........................7分所以，当且仅当，即，时取等号．........................8分（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，而时，，则必有，即，，处的切线方程是：，........................9分处的切线方程是：，即，........................10分据题意则，，........................1