初中数学自主招生难度讲义-7年级专题01质数那些事（解析版）

专题01质数那些事

阅读与思考

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的

自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个

数将正整数分为三类：

单位1

正整数质数

合数

关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．

2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．

3．若质数p|ab，则必有p|a或p|b．

4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间

的顺序关系)：

a1a2ak，其中，为质数，为非负数，，，…，．

N=P1P2PkP1P2PkPiai(i=123k)

正整数的正约数的个数为＋＋…＋，所有正约数的和为＋＋…＋a1＋

N(1a1)(1a1)(1a1)(1P1P1)(1P2

＋…＋a2…＋＋…＋ak．

P2)(1PkPk)

例题与求解

【例1】已知三个质数a，b，c满足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值等于

_________________．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值．

【例2】若p为质数，p3＋5仍为质数，则p5＋7为()

A．质数B．可为质数，也可为合数

C．合数D．既不是质数，也不是合数

(湖北省黄冈市竞赛试题)

解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．

【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

(上海市竞赛试题)

解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是

否唯一，按剩余类加以深入讨论．

【例4】⑴将1，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．

⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．

⑶求360的所有正约数的倒数和．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：⑴将1到2004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎

样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即

可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．

112

【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且，求x＋y的值．

xyp

解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设xtp．由质数的定义得到2t－1=1或2t－

1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．

【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，

7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求

证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．

(青少年国际城市邀请赛试题)

解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含

有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．

能力训练

A级

1．若a，b，c，d为整数，a2b2c2d2=1997，则a2b2c2d2=________．

2．在1，2，3，…，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，

则(q－m)＋(p－k)=__________．

3．设a，b为自然数，满足1176a=b3，则a的最小值为__________．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知p是质数，并且p6＋3也是质数，则p11－48的值为____________．

(北京市竞赛试题)

5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是()

A．4B．8C．12D．0

6．在2005，2007，2009这三个数中，质数有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

(“希望杯”邀请赛试题)

7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数

有()

A．1个B．3个C．5个D．6个

(“希望杯”邀请赛试题)

8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p<q．求p．

9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．

(上海市竞赛试题)

10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，

如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，

应当选甲还是选乙？说明理由．

(五城市联赛试题)

11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块，若

选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，y)=1，

试问这块地有多少平方米？

(湖北省荆州市竞赛试题)

B级

1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________．

ppqq

2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则

mnnm

的值为__________．

3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大

值为__________，最小值为____________．

(“五羊杯”竞赛试题)

4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染

成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是

_______________．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

5．若a，b均为质数，且满足a11＋b=2089，则49b－a=_________．

A．0B．2007C．2008D．2010

(“五羊杯”竞赛试题)

6．设a为质数，并且7a2＋8和8a2＋7也都为质数，记x=77a＋8，y=88a＋7，则在以下情形

中，必定成立的是()

A．x，y都是质数B．x，y都是合数

C．x，y一个是质数，一个是合数D．对不同的a，以上皆可能出现

(江西省竞赛试题)

7．设a，b，c，d是自然数，并且a2b2c2d2，求证：a＋b＋c＋d一定是合数．

(北京市竞赛试题)

8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：

⑴6个数中任意两个都互质；

⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．

9．已知正整数p，q都是质数，并且7p＋q与pq＋11也都是质数，试求pqqp的值．

(湖北省荆州市竞赛试题)

10.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：

(l)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办

到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．

专题01质数那些事

例134

例2C

例33符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k

＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．

1

例4（1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004

2

个数的顺序，所得数都有3这个约数．

（2）因n是大于2的正整数，则2n－1≥7，2n－1、2n、2n＋1是不小于7的三个连续的正整数，

其中必有一个被3整除，但3不整除2n，故2n－1与2n＋1中至多有一个数是质数．

（）设正整数的所有正约数之和为，，，，…，为的正约数从小到大的排列，

3abd1d2d3dna

1111

于是，．由于中各分数分母的最小公倍数，故

d1=1dn=aSdn=a

d1d2d3dn

ddddddb

S=nn11=12n=，而a=360=23325，故b=（1＋2＋22＋23）×（1

dndndndna

b11701

＋3＋32）×（1＋5）=1170．==3．

a3604

xy22xy

例5由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故

xypp

tp

p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，

2t1

xy2

p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，

xyp

pxy

2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含

2

apyap

因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p

22a1

p1p1pp1pp1p1p12

是质数，则2a－1=p，a=，故x=p=，∴x＋y=＋=。

222222

例设是一个同时含有数字，，，的绝对质数．因为，，，，

6N1379k0=7931k`=1793k2=9137k3=7913

，，除以所得余数分别为，，，，，，．故如下个正整数：

k4=7193k5=1937k6=7139701234567

4，

N0C1C2Cn47931=LL10k0

4，

N1C1C2Cn41793=LL10k1

…

4，

N6C1C2Cn47139=LL10k6

其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．

A级

1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B

8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又

是偶数，则p=2．

9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，…，

11的倍数即可．

10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，

3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组

的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．

11．设这块地面积为S，则S=nx2=（n＋124）y2．

∴nx2y2=124y2∵x＞y（x，y）=1

∴（x2，y2）=1（x2y2，y2）=1得x2y2｜124

∵124=22×31，x2y2=（x＋y）（x－y）

xy31xy62

∴，或

xy1xy2

x16x32

∴，或（舍）

y15y30

124y2

此时n==900．

x2y2

∴S=nx2=900×162=230400cm2=23．04m2。

B级

1．19或25

31

2．提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q．

3

3．133234．2001

5．B提示：唯有a=2，b=2089－211=2089－2048=41是质数，符合题意．

6．A提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，a2被3处余1，设a2=3n＋1，则7a2＋8=21n＋15，

8a2＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3．

7．a2－a，b2－b，c2－c，d2－d都是偶数，即M=a2b2c2d2－（a＋b＋c＋d）是偶数．因

为a2b2=c2d2，所以a2b2c2d2=2（a2b2）是偶数，从而