初中数学自主招生难度讲义-8年级专题01整式的乘除

专题01整式的乘除

阅读与思考

指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，

1

amanamn(a0)，a01(a0)，ap(a0)．

ap

学习指数运算律应注意：

1．运算律成立的条件；

2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；

3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．

例题与求解

【例1】（1）若n为不等式n2006300的解，则n的最小正整数的值为．

（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）

（2）已知x2x1，那么x42x3x22x2005．（“华杯赛”试题）

（）把26展开后得12112，则

3(xx1)a12xa11xa2xa1xa0

．

a12a10a8a6a4a2a0（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（4）若x53x47x36x22x9(xa)(xb)(xc)(xd)(xe)则

abacadaebcbdbecdcede．（创新杯训练试题）

解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x值，可考虑高次多项式用低次

多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值

法；对于（4），可考虑比较系数法．

11

【例2】已知25x2000，80y2000，则等于（）

xy

13

A．2B．1C．D．（“希望杯”邀请赛试题）

22

11xy

解题思路：x,y为指数，我们无法求出x,y的值，而，所以只需求出xy,xy的值或

xyxy

它们的关系，于是自然想到指数运算律．

【例3】设a,b,c,d都是正整数，并且a5b4,c3d2,ca19，求db的值．（江苏省竞赛试题）

解题思路：设a5b4m20,c3d2n6，这样a,b可用m的式子表示，c,d可用n的式子表示，通

过减少字母个数降低问题的难度．

m31

【例4】已知多项式2x23xy2y2x8y6(x2ym)(2xyn)，求的值．

n21

解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．

【例5】是否存在常数p,q使得x4px2q能被x22x5整除？如果存在，求出p,q的值，否则请说

明理由．

解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待

定系数法求出p,q的值，所谓p,q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．

a

【例6】已知多项式2x43x3ax27xb能被x2x2整除，求的值．（北京市竞赛试题）

b

解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当x2

和x1时，原多项式的值均为0，从而求出a,b的值．当然本题也有其他解法．

能力训练

A级

1．（1）424(0.25)231．（福州市中考试题）

（2）若a2n3，则2a6n1．（广东省竞赛试题）

2．若2x5y30，则4x32y．

3．满足(x1)2003300的x的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）

4．a,b,c,d都是正数，且a22,b33,c44,d55，则a,b,c,d中，最大的一个是．

（“英才杯”竞赛试题）

5．探索规律：313，个位数是3；329，个位数是9；3327，个位数是7；3481，个位数是1；

35243，个位数是3；36729，个位数是9；…那么37的个位数字是，330的个位数字

是．（长沙市中考试题）

6．已知a8131,b2741,c961，则a,b,c的大小关系是（）

A．abcB．acbC．abcD．bca

7．已知a255,b344,c533,d622，那么a,b,c,d从小到大的顺序是（）

A．abcdB．abdcC．bacdD．adbc

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

8．若x2n12n,y2n12n2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）

A．x4yB．y4xC．x12yD．y12x

（江苏省竞赛试题）

9．已知2a3,2b6,2c12,则a,b,c的关系是（）

A．2bacB．2bacC．2bacD．abc

（河北省竞赛试题）

2n42(2n)

10．化简得（）

2(2n3)

177

A．2n1B．2n1C．D．

884

11．已知axby7,ax2by249,ax3by3133,ax4by4406，

17

试求1995(xy)6xy(ab)的值．

2

12．已知6x27xy3y214xya(2x3yb)(3xyc)．试确定a,b,c的值．

13．已知x3kx23除以x3，其余数较被x1除所得的余数少2，求k的值．

（香港中学竞赛试题）

B级

1．已知2a3,4b5,8c7,则8ac2b=．

1998

732000152000

2．（1）计算：=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）

372000352000

45454545656565656565

（2）如果2n，那么n．

3535352525

（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）

3．（1）1516与3313的大小关系是15163313（填“＞”“＜”“＝”）．

320001320011320001320011

（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．

320011320021320011320021

4．如果x2x10,则x32x23=．（“希望杯”邀请赛试题）

5．已知(x2)5ax5bx4cx3dx2exf，则16b4df．

（“五羊杯”竞赛试题）

6．已知a,b,c均为不等于1的正数，且a2b3c6,则abc的值为（）

1

A．3B．2C．1D．

2

（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）

7．若x3x2x10，则x27x26x11xx2x26x27的值是（）

A．1B．0C．—1D．2

8．如果x3ax2bx8有两个因式x1和x2，则ab（）

A．7B．8C．15D．21

（奥赛培训试题）

．已知均为正数，又，

9a1,a2,a3,a1996,a1997M(a1a2a1996)(a2a3a1997)

，则与的大小关系是（）

N(a1a2a1997)(a2a3a1996)MN

A．MNB．MNC．MND．关系不确定

10．满足(n2n1)n21的整数n有（）个

A．1B．2C．3D．4

11．设a,b,x,y满足axby3,ax2by27,ax3by316,ax4by442,求ax5by5的值．

5

12．若x,y,z,w为整数，且xyzw，2x2y2z2w20，求(xyzw1)2010的值．

8

（美国犹他州竞赛试题）

13．已知a,b,c为有理数，且多项式x3ax2bxc能够被x23x4整除．

（1）求4ac的值；

（2）求2a2bc的值；

（3）若a,b,c为整数，且c≥a1．试比较a,b,c的大小．

（四川省竞赛试题）

专题01整式的乘除

例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值为15．

(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004

(3)令x＝1时，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①

令x＝－1时，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②

由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．

∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．

(4)所有式子的值为x3项的系数，故其值为7．

例2B提示：25xy＝2000y，①

80xy＝2000x，②

①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．

例3设a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是

n＋m2＝19

质数，n＋m2，n－m2是自然数，且n＋m2＞n－m2，得，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103

n－m2＝1

－35＝757

7

例4－提示：由题意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．

8

2m＋n＝－1

m＝－2m3＋1

∴2n－m＝8，解得，∴＝－7

n＝32

mn＝－6n－18

22

倒5提示：假设存在满足题设条件的p，q值，设(x4＋px＋q)＝(x＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即

m＋2＝0m＝－2

5＋n＋2m＝pn＝5

x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得，解得，

2n＋5m＝0p＝6

5n＝qq＝25

故存在常数p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．

例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，

∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，设商是A．

则2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，

则x＝－2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．

当x＝－2时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①

当x＝1时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②

①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，

∴b＝－6－a＝6．

a－12

∴＝＝－2

b6

解法2列竖式演算，根据整除的意义解

2x25x(a9)

x2x22x43x3ax27xb

2x42x34x2

5x3(a4)x27xb

5x35x210x

(a9)x23xb

(a9)x2(a9)x2(a9)

(12a)xb2(a9)

∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，

－12－a＝0a＝－12a

∴，即，∴＝－2

b＋2(a＋9)＝0b＝6b

A级

1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，

c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a＝4．b＝4，c＝1

322322

13．提示：令x＋kx＋3＝(x＋3)(x＋ax＋6)＋r1，x＋kx＋3＝(x＋1)(x＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1

＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．

B级

189

1．

125

20002000

9719983(1＋5)71998320009

2．(1)提示：原式＝()×＝()×()＝(2)12

20002000

4937(1＋5)3749

3．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．

(2)＞提示：设32000＝x．

4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由条件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C

8．D

2

9．C提示：设a2＋a3＋…a1996＝x，则M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x＋a1a1997＋a1997x．

N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．

10．D

11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，

即ax3－ax2y＋bxy2＋by3