初中数学自主招生难度讲义-7年级专题29 归纳与猜想

专题29归纳与猜想

阅读与思考

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简

单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种

研究问题的方法叫归纳猜想法.

归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解

题中的观察活动主要有三条途径：

1．数与式的特征观察．

2．几何图形的结构观察．

3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.

需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败

的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．

【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数

字是___________.

（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

(A)(B)(C)

解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。

【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各

边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是

____．

（湖北省武汉市竞赛试题）

解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n＝1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想．

【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆

时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射线____上．

(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律．

(3)“2007”在哪条射线上？

（贵州省贵阳市中考试题）

解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同．

【例4】观察按下列规则排成的一列数：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…(※)

1213214321543216

2

(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝时，求m的值和这m个数的积．

2001

(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c

和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．

（湖北省竞赛试题）

解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的

关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，

2＋32＋57

【例5】在2,3两个数之间，第一次写上＝5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上＝和

122

5＋3

＝4，如图所示：

2

1

第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的．

k

(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和．

(2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k＋1次操作后所有数的和记为

Sk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式．

(3)求S6的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可．

(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的

n－2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk＋1

(3)根据(1)，(2)可算出S6的值．

能力训练

1．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，则第100组的三个数之和为．

（广东省广州市竞赛试题）

2．如图有一长条型链子，其外形由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个

白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有________个白色六边形．

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

3．按一定规律排列的一串数：

112312345123

．－，，－，，－，，－，，－，，－，…中，第98个数是__________.

133355555777

（山东省竞赛试题）

4．给出下列丽列数

2，4，6，8，10,…，1994

6，13,20,27,34,…，1994

则这两列数中，相同的数的个数是()．

A．142B．143C．284

（浙江省竞赛试题）

5．如图，∠AOB＝45°，对OA上到点Ｏ的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线

且与OB相交，得到并标出一组黑色梯

形，面积分别为S1，S2，S3，…，则S10＝.

6．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为

ｎ部分，则n等于()

A．16B．18Ｃ．24D．31

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

7．观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律．那么2013这个数标在()．

A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角

C．第504个正方形的左下角D．第504个正方形的右下角

（2013年浙江省衢江市竞赛试题）

8．自然数按下表的规律排列：

(1)求上起第10行，左起第13列的数．

(2)数127应在上起第几行，左起第几列．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两

个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要

画多少条直线？请说明理由．

（“五羊杯”竞赛试题）

11.下面是按一定规律排列的一列数：

1－1

第1个数：－(1＋)；

22

111213

第2个数：111；

3234

1112131415

第3个数：11111；

423456

…

11121312n1

第n个数：1111．

n12342n

那么