初中数学自主招生难度讲义-8年级专题05和差化积

专题05和差化积

——因式分解的应用

阅读与思考：

因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的

基础，其应用主要体现在以下几个方面：

1．复杂的数值计算；

2．代数式的化简与求值；

3．简单的不定方程（组）；

4．代数等式的证明等.

有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：

1.x44(x22x2)(x22x2);

2.4x41(2x22x1)(2x22x1);

3.abab1(a1)(b1)；

4.abab1(a1)(b1)；

5.a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcac)．

例题与求解

2ab

【例1】已知ab0，a2ab2b20，那么的值为___________.

2ab

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．

【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且a2abacbc7，则ac等于().

A.－1B．－1或－7C．1D.1或7

（江苏省竞赛试题）

解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，

在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是

研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．

求代数式的值的基本方法有；

(1)代入字母的值求值；

(2)代入字母间的关系求值；

(3)整体代入求值．

199732199721995

【例3】计算：(1)（“希望杯”邀请赛试题）

19973199721998

11111

(24)(44)(64)(84)(104)

（2）44444（江苏省竞赛试题）

11111

(14)(34)(54)(74)(94)

44444

解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来

1

探求解题思路；对于(2)，可以先研究(x4)的规律．

4

【例4】求下列方程的整数解．

(1)6xy4x9y70;（上海市竞赛试题）

(2)2x25xy2y22007.（四川省竞赛试题）

解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，

利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．

解不定方程的常用方法有：

(1)穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法．

用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知ab3，ab2，求下列各式的值：

11

(1)a2bab2；(2)a2b2；(3)．

a2b2

解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如27＝33，27

就是一个完全立方数．若a＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a是一个完全立方

数．（北京市竞赛试题）

解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可．

能力训练

A级

1.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，

边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．

（烟台市初中考试题）

2．已知xy3,x2y2xy4，则x4y4x3yxy3的值为__________．（江苏省竞赛试题）

3．方程x2xy5x5y10的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）

4.如果x2(m1)x1是完全平方式，那么m的值为__________．（海南省竞赛试题）

xy

5.已知2x23xyy20(xy0)，则的值是()．

yx

111

A．2，2B．2C．2D．2,2

222

6．当xy1，x4xy3x3y3x2y3xy2y4的值为()．

A.－1B．0C．2D．1

7．已知a＞b＞c，Ma2bb2cc2a，Nab2bc2ca2，则M与N的大小关

系是()．

A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

8．n为某一自然数，代入代数式n3n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的

结果只能是()．

A.388944B.388945C.388954D.388948

（五城市联赛试题）

9．计算：

19993100039993

(1)（北京市竞赛试题）

19991000999

222233111123

(2)(安徽省竞赛试题)

222233111113

10.一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就

是一个完全平方数，若a＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a是一个完全平方数．

（北京市竞赛试题）

11.已知四个实数a，b，c，d，且ab，cd，若四个关系式a2ac4,b2bc4，

c2ac8，d2ad8，同时成立.

(1)求ac的值；

(2)分别求a，b，c，d的值．

（湖州市竞赛试题）

B级

1．已知n是正整数，且n416n2100是质数，那么n____________.

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2n2p2＝________.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知正数a，b，c满足ababbcbcacca3，则

(a1)(b1)(c1)＝_________.（北京市竞赛试题）

4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原

理是：如对于多项式x4y4，因式分解的结果是(xy)(xy)(x2y2)，若取x＝9，y＝9时，则各

个因式的值是：(xy)0,(xy)18,(x2y2)162，于是就可以把“018162”作为一个六位数

的密码，对于多项式4x3xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出

一个即可）．

（浙江省中考试题）

5．已知a，b，c是一个三角形的三边，则a4b4c42a2b22b2c22c2a2的值()．

A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负

(太原市竞赛试题)

6．若x是自然数，设yx42x32x22x1，则()．

A.y一定是完全平方数B．存在有限个x，使y是完全平方数

C.y一定不是完全平方数D．存在无限多个x，使y是完全平方数

7．方程2x23xy2x298的正整数解有()组．

A.3B．2C．1D．0

（“五羊杯”竞赛试题）

8．方程xy2xy4的整数解有()组．

A.2B．4C．6D.8

（”希望杯”邀请赛试题）

9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？

（美国中学生数学竞赛试题）

373133371350

10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算

373243372461

a3b3ab

法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如

c3d3cd

此，我们还可以写出任意多个这种算式：

33133153235273337310373107

，，，，…

33233253335373437410333103

你能发现以上等式的规律吗？

11.按下面规则扩充新数：

已有a，b两数，可按规则cabab扩充一个新数，而以a，b，c三个数中任取两数，

按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4，求：

(1)按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．

（重庆市竞赛试题）

12.设k，a，b为正整数．k被a2,b2整除所得的商分别为m，m16.

(1)若a，b互质，证明a2b2与a2,b2互质；

(2)当a，b互质时．求k的值；

(3)若a，b的最大公约数为5，求k的值．

（江苏省竞赛试题）

专题05和差化积

——因式分解的应用

15

例1或

33

例2D提示：（a－b）（a－c）＝7．a－b>0，a－c>0．

1995a32a2a2

例3（1）提示：设1997＝a，则原式＝

1998a3a2a1

412121

（2）221提示：xxxxx

422

例4（1）x＝1，y＝－1提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；

x445,x445,x221,x445,

（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9

y221;y221.y445.y221.

＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．

例5（1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．

（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．

2

11a2b2ab2ab32225

（3）．

a2b2a2b2a2b2224

3

例6提示：设m＝19951993，则a＝2m1．

A组

1．a＋3b

2．36

3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）

4．1或－3

5．A

6．D

7．B

8．A

33

．（）（）1提示：设＝，＝，则原式＝ab．10.设，则

91321a22223b111123x1998

33334a3ab

1999x1.

ax2x2(x1)2(x1)2x42x33x22x1(x2x1)2(19981999)2

11.(1)由(a2ac)(c2ac)4812,得(ac)212,故ac23.

(2)由(a2ac)(b2bc)440,(c2ac)(d2ad)880,得(ab)(abc)0

(cd)(acd)0,而ab,cd,

∴abc0,acd0,从而bd(ac),又(a2ac)(c2ac)484.

232343

当ac23时,ac,解得a,c,bd23；

333

232343

当ac23时,ac,解得a,c,bd23；

333

B级

1.3提示：原式=（n26n10)(n26n10)，n6n101

2.78

3.8提示：(a1)(b1)4,(b1)(c1)4,(a1)(c1)4,

4.101030或103010或301010

22222

5.Ｂ提示：原式=（abc)(2ab)(abc)(abc)(abc)(abc)

6.Ｃ提示：y(x1)2(x21)7.Ｃ8.Ｃ

52555

9.提示：原式=（691）70257，共有51（51（51）216个因数.

a3b3(ab)(a2abb2)ab

332222

10.a(ab)=(ab)(aabb)=a(ab)(aabb)=a(ab)

aaba2aabab2

11.(1)499就是扩充三次的最大数

(2)cabab(a1)(b1)1，c1(a1)(b1)取a,c可得新数

2

d(a1)(c1)1(a1)(b1)(a1)1∴d1(a1)(b1)取b,c可得新数

2

e(b1)(c1)1(b1)(a1)(b1)1∴e1(b1)(a1),设扩充后的新数为x，则总可

mn

mn

以表示为x1(a1)(b1)，式中m,n为整数.当a1,b4时,x125,又

1999120002453,故1999可以通过上述规则扩充得到.

a2b2a2