初中数学自主招生难度讲义-7年级专题28纵观全局（解析版）

专题28纵观全局——整体思想

阅读与思考

解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部

处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体

结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内

容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：

1.整体观察

2.整体设元

3.整体代入

4.整体求和

5.整体求积

注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而

有效的方法．

例题与求解

【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个

数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计

算机的那个错误数据是．

（北京市竞赛题）

解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．

注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知

与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．

【例2】设a、b、c是不全相等的任意数，若xa2bc,yb2ac,zc2ab，则x、y、z

（）

（全国初中数学联赛试题）

A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零

解题思路：由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握的x、y、z正负性，应该考虑

整体求出xyz的值．

2a53a43a39a25a1

【例3】如果a满足等式2a23a10，试求的值．

3a1

(天津市竞赛题)

解题思路：不能直接求出a的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代

入求值．

注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加

叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．

11

【例4】已知x2,y4，代数式ax3by51997，求当x4,y时，代数式

22

3ax24by34986的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：a、b的值无法求出，将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的

联系，整体代入求值．

【例5】已知实数a、b、c、d、e、f满足方程组．

2abcdef20①

a2bcdef40②

ab2cdef80③

abc2def160④

abcd2ef320⑤

abcde2f640⑥

求fedcba的值．

（上海市竞赛题）

解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到fe,dc,ba．

【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆

圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼

解题思路：解答此题的关键是根据题意得出≤，这是本题的突破口．

S(a1a2a10)10M

注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式

子结构的特点，化繁为简的目的．

能力训练

1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子

是

2．若a，b，c的值满足(3a2bc4)2(a2b3c6)2≤0，则9a2b7c

(“城市杯”竞赛试题)

1

3．角，，中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（）的值时，全班得

15

到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是

4．如果x22x3，那么x47x38x213x15=

（“希望杯”邀请赛试题）

．已知都是正数，设，

5a1,a2,,a1991M(a1a2a1990)(a2a3a1991)

，那么与的大小关系是

N(a1a2a1991)(a2a3a1990)MN

MN．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

ax2bx10

6．若方程组bx2xa0有解，则ab

2

xaxb0

（湖北省武汉市选拔赛试题）

11

zxy2z

6

35

7．若正数x，y，z满足不等式xyzx，则x，y，z的大小关系是（）

23

511

yxzy

24

A．xyzB．yzxC．zxyD．不能确定

8．若3x12ax5bx4cx3dx2exf，则abcdef的值是（）

A．32B．32C．1024D．1024

9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大

年龄与最小年龄的差是（）

A．28B．27C．2D．2

πππ

10．设a，b，c，满足等式xa22b,yb22c,zc22a，则x，y，z中至少有

362

一个值（）

A．大于0B．等于0C．不大于0D．小于0

（全国初中数学联赛试题）

111111

11．（1）abc0,化简a()b()c()3.

bccaab

ab1bc1ca1abc

(2)已知,,，则的值为多少？

ab15bc17ca16abbcca

12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，

然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个

四位数．

（江苏省竞赛试题）

13．代数式rvzrwysuzswxtuytvx中，r，s，t，u，v，x，y，z可以分别取+1或-1．

（1）证明代数式的值都是偶数．

（2）求这个代数式所能取到的最大值．

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）

大于9？（2）大于10？

若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．

（江苏省竞赛试题）

专题28纵观全局

——整体思想

例1380000提示：设a1，a2，a3，…，a999，al000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设

a1a2a999380001000A

他们的平均值是A，误输入计算机的数据为a'，由题意得

a1a2a999a1000(A342)

1

例2D提示：x＋y＋z＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．

2

5(2a23a1)(a32a1)5a25

例3－原式＝

22a22

1

例4将x＝2，y＝－4代入ax3＋by＋5＝1997中，得

2

8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．

11

当x＝－4，y＝－时，3ax－24by3＋4986＝3a·(－4)－24b·(－)3＋4986

22

＝－12a＋3b＋4986＝－3(4a－b)＋4986＝－3×996＋4986＝1998．

例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．

故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．

例6设满足已知条件填好的数依次为a1，a2，…，a10，则

a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，

a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，

…

a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．

所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，

51011

即≤10M，解得M≥27．5．

2

而M为整数，故M的最小值为28．将1，2，…，10分成如下的两组10，7，6，3，2，9，8，

5，4，1．依次填入图中，

【能力训练】

1．3·571428＝4·428571

3a2bc40

2．－10提示：由题意有，

a2b3c60

3a2bc4

即．则9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3

a2b3c6

(a＋2b－3c)＝2×4＋3×（－6）＝－10．

3．23.5°

4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝

3x2＋15x－6－9x＋15＝3(x2＋2x)＋9＝3×3＋9＝18．

5．＞提示：设x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．

6．－1提示：将3个方程组相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0，

13

而x2＋x＋1＝(x)2＞0，故a＋b＋1＝0．

24

7．B8．B9．A10．A

aabbccbcacababc

11．(1)原式＝3＝3＝3

bccaababcabc

(由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0

ab1ab111111

(2)由得15，即15．同理17，16．

ab15ababbcca

111111abc11

三式相加得2()＝48，故＝24．则＝