2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之复数的概念

第14页（共14页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之复数的概念一．选择题（共5小题）1．（2025•安徽模拟）若关于x的方程（1﹣i）x2+（λ+i）x+（1+λi）＝0有两个虚根，则实数λ的取值范围为（）A．（0，2） B．(-∞，C．(22，+∞) D．（﹣∞，2）∪（22．（2025•鼓楼区校级开学）从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（）A．4个 B．9个 C．12个 D．16个3．（2025•四川模拟）已知复数z＝2﹣bi，若z2为纯虚数，则b＝（）A．0 B．±1 C．±2 D．±34．（2025•湖南开学）已知复数(a+iA．0 B．1 C．2 D．35．（2024秋•汉寿县校级期末）已知复数z=A．复数z的实部为3 B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为425D．复数z的共轭复数为3二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•十堰模拟）已知虚数z满足z2A．z的实部为-12 B．z的虚部为C．|z|＝1 D．z可能为纯虚数（多选）7．（2024秋•内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0（多选）8．（2024秋•河北期末）已知复数z，则下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则z＝±2 B．若z+2i∈R，则z的虚部为﹣2 C．若z2＞0，则z∈R D．若|z|＝1，则1≤|z﹣2|≤3三．填空题（共4小题）9．（2025•杭州一模）已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，则z1＝，z2＝．（写出满足条件的一组z10．（2024春•环县校级期中）已知复数z＝（m2﹣3m+2）+（m2+3m﹣10）i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为．11．（2024秋•滨海新区校级期中）若复数a+3i1+2i是纯虚数，则实数a的值是12．（2024春•天山区校级期中）已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，则y＝．四．解答题（共3小题）13．（2024春•色尼区校级期末）已知复数z=(1m-1)+(m2-2（1）复数z是实数；（2）复数z是虚数；（3）复数z是纯虚数．14．（2024春•固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；15．（2024春•闵行区校级期末）已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．（1）求z；（2）若1z1=1z+2

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之复数的概念参考答案与试题解析题号12345答案DBCBD一．选择题（共5小题）1．（2025•安徽模拟）若关于x的方程（1﹣i）x2+（λ+i）x+（1+λi）＝0有两个虚根，则实数λ的取值范围为（）A．（0，2） B．(-∞，C．(22，+∞) D．（﹣∞，2）∪（2【考点】复数的相等．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】可设方程有实根x0，代入到已知方程，结合复数相等条件即可求解．【解答】解：可设方程有实根x0，则得(x所以x02+λx0+1=0①，-x02+x所以λ＝﹣1或x0＝﹣1，结合式①得λ=-1，x02所以方程有两个虚根的充要条件是λ≠2．故选：D．【点评】本题主要考查了复数相等条件的应用，属于基础题．2．（2025•鼓楼区校级开学）从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（）A．4个 B．9个 C．12个 D．16个【考点】复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求得结果．【解答】解：设复数a+bi表示虚数，则b≠0；从{﹣1，1，2}中任取一个数作为b，共有3种选法；再从剩余的三个数任取一个作为a，共有3种选法，因此从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有3×3＝9种．故选：B．【点评】本题考查虚数的定义，考查排列组合的应用，是基础题．3．（2025•四川模拟）已知复数z＝2﹣bi，若z2为纯虚数，则b＝（）A．0 B．±1 C．±2 D．±3【考点】纯虚数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】由复数的乘法运算结合复数概念即可求解．【解答】解：由z＝2﹣bi，得z2＝（2﹣bi）2＝4﹣b2﹣4bi，因为z2为纯虚数，所以4-所以b＝±2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．（2025•湖南开学）已知复数(a+iA．0 B．1 C．2 D．3【考点】纯虚数．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值．【解答】解：因为(a+i所以a-解得a＝1．故选：B．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了纯虚数的定义，属于基础题．5．（2024秋•汉寿县校级期末）已知复数z=A．复数z的实部为3 B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为425D．复数z的共轭复数为3【考点】复数的实部与虚部；共轭复数；复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．【解答】解：z=对于A，复数z的实部为325，故A对于B，|z|=(325对于C，复数z的虚部为-425，故对于D，复数z的共轭复数为325+4故选：D．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•十堰模拟）已知虚数z满足z2A．z的实部为-12 B．z的虚部为C．|z|＝1 D．z可能为纯虚数【考点】复数的实部与虚部；复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的概念，建立方程方程，可得答案．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），由z2=z，可得a2﹣b2+2abi＝a所以a2﹣b2＝a，2ab＝﹣b，解得a=-1所以z的实部为-12，故选：AC．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．（多选）7．（2024秋•内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0【考点】复数的实部与虚部；复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】利用复数的运算逐项判断即可．【解答】解：由z＝1+2i，得|z|=1+22=51z=1z3＝（1+2i）（1+2i）2＝（1+2i）（﹣3+4i）＝﹣11﹣2i，则z3的虚部为﹣2，故C正确；z2﹣2z+5＝（1+2i）2﹣2（1+2i）+5＝0，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．（多选）8．（2024秋•河北期末）已知复数z，则下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则z＝±2 B．若z+2i∈R，则z的虚部为﹣2 C．若z2＞0，则z∈R D．若|z|＝1，则1≤|z﹣2|≤3【考点】复数的实部与虚部；复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】对于A，由已知可得a2+b2＝4，则复数z＝a+bi不确定，即可判断；对于B，设由于z+2i∈R，可得b＝﹣2，即可判断；对于C，由于z2＞0，可得ab＝0，即可判断；对于D，由|z|＝1，可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由|z﹣2|表示单位圆上的点与点（2，0）的距离，即可求得|z﹣2|的范围，即可判断．【解答】解：对于A、设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝2，得a2+b2＝4，复数z＝a+bi不确定，故A错误；对于B、设z＝a+bi（a，b∈R），由z+2i∈R，得b+2＝0，则b＝﹣2，故B正确；对于C、设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＞0，得a2﹣b2+2abi＞0，则ab＝0，故a≠0，b＝0，故C正确；对于D、设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝1，得a2+b2＝1，则在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，又|z﹣2|表示单位圆上的点与点（2，0）的距离，所以|z﹣2|的最小值为2﹣1＝1，最大值为2+1＝3，所以1≤|z﹣2|≤3，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的模，是基础题．三．填空题（共4小题）9．（2025•杭州一模）已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，则z1＝2+2i，z2＝2【考点】复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】z1=2【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出a，b，c，d的关系即可．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），则z1z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，由|z1z所以c2可取a=所以z1故答案为：z1=2+2i；z2=22+22i．（答案不唯一，只要满足a2+b【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的概念，属于中档题．10．（2024春•环县校级期中）已知复数z＝（m2﹣3m+2）+（m2+3m﹣10）i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为1．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1．【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案．【解答】解：由已知可得，m2-3m+2=0故答案为：1．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．11．（2024秋•滨海新区校级期中）若复数a+3i1+2i是纯虚数，则实数a的值是【考点】纯虚数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣6．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：a+3则a+65=03-2a故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．12．（2024春•天山区校级期中）已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，则y＝1．【考点】复数的相等．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1．【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．【解答】解：由（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，得x+y-故答案为：1．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•色尼区校级期末）已知复数z=(1m-1)+(m2-2（1）复数z是实数；（2）复数z是虚数；（3）复数z是纯虚数．【考点】纯虚数；复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝3或m＝﹣1；（2）m≠3且m≠﹣1且m≠0；（3）m＝1．【分析】（1）由题知，解方程即可得答案；（2）由题知，再解不等式即可得答案；（3）由题知，进而求解即可；【解答】（1）解：当z为实数时，有m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1．所以m＝3或m＝﹣1，复数z是实数．（2）当z为虚数时，有m2﹣2m﹣3≠0且m≠0，解得m≠3且m≠﹣1且m≠0．所以，当m≠3且m≠﹣1且m≠0时，复数z是虚数；（3）当z为纯虚数时，有1m-1=0m2所以，当m＝1时，复数z是纯虚数．【点评】本题主要考查实数、纯虚数的定义，属于基础题．14．（2024春•固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝0或m＝2；（2）m＝3．【分析】（1）由复数的概念列出方程即可求；（2）由复数z为纯虚数得到m的关系式即可求．【解答】解：（1）∵复数z为实数，∴m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝2；（2）∵复数z为纯虚数，∴m2-5m+6=0【点评】本题考查复数的概念和计算能力，属于基础题．15．（2024春•闵行区校级期末）已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．（1）求z；（2）若1z1=1z+2【考点】纯虚数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设z＝mi（m∈R且m≠0），代入（z+2）2﹣8i化简，然后由复数的分类求解；（2）由（1）代入求得z1，再由复数模的性质与定义计算．【解答】解：（1）设z＝mi（m∈R且m≠0）．则（z+2）2﹣8i＝4﹣m2+（4m﹣8）i为实数，所以4m﹣8＝0，所以m＝2，所以z＝2i；（2）由（1）1z1=所以|z【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数的相等【知识点的认识】复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．【解题方法点拨】﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．【命题方向】﹣复数相等的判定：考查如何根据复数的实部和虚部判断复数的相等．﹣复数方程的