多模态信号处理基础 课件 第4章 频率响应与采样定理

连续系统的频率响应其基本信号为ej

t。下面分析基本和一般信号作用与LTI连续系统的响应。傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：连续系统的频率响应设LTI连续系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t时，其响应为：1．基本信号ej

t作用于LTI系统的响应而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j

)，称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j

)ej

t，H(j

)反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。连续系统的频率响应2.一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

‖f(t)y(t)=FT

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)‖齐次性可加性连续系统的频率响应频率响应H(j

)定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j

)与激励f(t)的傅里叶变换F(j

)之比，即：3.频率响应的定义

H(j

)

称为幅频特性（或幅频响应）；θ(j)称为相频特性（或相频响应）。

H(j

)

是

的偶函数，θ(

)是

的奇函数。时、频分析对应关系↕

↕↕h(t)H(

)f(t)y(t)=f(t)

h(t)F(j

)Y(

)=F(

)H(

)连续系统的频率响应4.频率响应图形表示幅频特性例1求图所示RC电路的频率响应。+-uruc+-CiR+-UrUc+-I(jω)RjωC1频域等效电路相频特性

连续系统的频率响应频率响应图形表示ω1H00.2H0.4H0.6H0.8H12345TTTTT|H(jω)|ω0-80-60-40-200θ(ω)12345TTTTT幅度-频率特性曲线相位-频率特性曲线T=RC连续系统的频率响应

例2：设系统频率响应，输入f(t)=2

(t)时，求输出y(t)

。解:输入f(t)的傅氏变换F(jω)=2因此输出傅氏变换：所以输出:

频域响应求法及系统频域分析1.频率响应H(j

)的求法1)H(j

)=F[h(t)]2）H(j

)=Y(j

)/F(j

) a.由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 b.由电路直接求出。频域响应求法及系统频域分析例1：

已知某连续LTI系统的冲激响应是，求该系统的频率响应。解：由频率响应和冲激响应之间的关系，直接对求傅里叶变换可得：幅频响应（幅频特性）相频响应（相频特性）频域响应求法及系统频域分析例2：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)，求：1）系统频率响应，2）f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：1)微分方程两边取傅里叶变换j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)2）f(t)=e-tε(t)←→y(t)=(e-t

–e-2t

)ε(t)故频率响应为：频域响应求法及系统频域分析例3：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求h(t)。若uS(t)=2cos(t)，求稳态响应uC(t)=？解：画电路频域模型h(t)=e-t

ε(t)

由于R+_

C+_

R+_

+_

频域响应求法及系统频域分析2.系统的频域分析例4：如下图所示系统，已知，，求系统的输出y(t).分析：利用Y(j

)=H(j

)F(j

)及频域卷积定理求出各乘法器输出信号的傅里叶变换，然后上下两路相加就可得出输出傅里叶变换形式，然后求傅里叶逆变换即可。

++频域响应求法及系统频域分析解：（1）先求输入的傅里叶变换由对称性可得：由尺度变换可得：图中下路乘法器的输入信号傅氏变换为：频域响应求法及系统频域分析(2)利用频域卷积定理求出系统中上下两路乘法器的输出傅氏变换：

上路乘法器的输出傅氏变换频域响应求法及系统频域分析下路乘法器的输出傅氏变换频域响应求法及系统频域分析（3）加法器输出的傅里叶变换-6-5-4-3-2-101234561(a)

+

-6-5-4-3-2-101234561+

-6-5-4-3-2-101234561-

图[a+b+c]-6-5-4-3-2-101234562

(d)(b)(c)频域响应求法及系统频域分析（4）求加法器输出的傅里叶逆变换可求出输出信号。频域响应求法及系统频域分析THEEND无失真传输系统系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的传输滤波传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1.定义信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即:输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为y(t)=Kf(t–td)其频谱关系为无失真传输系统无失真传输系统2.无失真传输条件上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。

k

系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j

)的要求是

(a)对h(t)的要求：h(t)=K

(t–td)(b)对H(j

)的要求：H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

无失真传输系统例1：某系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是:(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)分析：题A信号频率成分题B信号频率成分题C信号频率成分题D信号频率成分

无失真传输系统相位特性为什么与频率成正比关系？只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间td

是相位特性的斜率：群时延或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。θ(

)=–

td

无失真传输系统延迟2延迟3/20sintt0sin2tt0sint+sin2tt输入0sin(t-2)t0sin(2t-3)t0sin(t-2)+sin(2t-3)t输出无失真传输系统例2已知某LTI系统的频率响应为：1）求系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性θ(j),并判断系统是否为无失真传输系统；2）当输入，求系统的稳态响应。

无失真传输系统2）由频率特性可知：输入与输出信号波形

0

-2-1012图中的实线表示系统的输入信；虚线为系统输出信号。可以看出，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引的。

无失真传输系统3.失真的有关概念线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频率成分；非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。

对系统的不同用途有不同的要求：●无失真传输；●利用失真

波形变换。无失真传输系统THEEND理想低通滤波器1.理想低通滤波器的特性具有如右图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。

c称为截止角频率。●的低频段内，传输信号无失真。幅频特性相频特性

1

理想低通滤波器的频率响应可写为：理想低通滤波器2.理想低通的冲激响应可见，它实际上是不可实现的非因果系统。因为gτ(t)输入

(1)

理想低通滤波器3.理想低通的阶跃响应经推导，可得正弦积分理想低通滤波器（1）上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，记作（2）有明显失真，只要

c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895系统的延迟时间

理想低通滤波器结论：对输入信号有延时作用；对高频的滤波作用；非因果性（因理想滤波器所致）。不同截止频率理想低通滤波器的阶跃响应：

0510150.51

t

0510150.51

t(a)(b)理想低通滤波器4.一种可实现的低通理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例如下：+__+

0

t

0

0

理想低通滤波器实际低通滤波器的输入、输出波形：

10+__+

0

(a)(b)(c)理想低通滤波器5.物理可实现系统的条件时域特性角度：一个物理可实现的系统，其冲激响应在t<0时必须为0，即h(t)=0,t<0；即响应不应在激励作用之前出现。频域特性角度：佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足：并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）

从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。

理想低通滤波器THEEND采样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。采样定理取样是对信号进行数字处理的第一个环节。需要解决的问题：1．信号的取样f(t)fs(t)s(t)f(k)y(k)y(t)A/D量化编码数字滤波器D/A连续信号脉冲序列Fs(jω)与F(jω)的关系由fs(t)能否恢复f(t)?采样定理冲激采样f(t)fs(t)

连续信号取样信号取样脉冲

f(t)←→F(jω)(–ωm<ω<ωm)

fs(t)←→Fs

(jω)

s(t)←→S(jω)采样定理TS取样间隔，ωS

取样角频率ωS

≥2ωm，频谱不混叠

低通滤波F(jω)01ωωm-ωmS(ω)0ωωs-ωs(ωs)Fs(jω)01/Tsωωm-ωmωs-ωs时域×=f(t)0ts(t)0t-TsTs2Ts(1)fs(t)0t-TsTs2Ts频域*=×采样定理2.时域取样定理一个频谱在区间（-

m，

m)以外为0的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts[Ts≤1/(2fm)]上的样点值f(kTs)确定。f(t)0tωF（ω）10-ωmωmtfS(t)0TS…………0FS(ω)ωωmωs-ωsTS1ωsωm采样定理上述定理表明：为了能够从采样信号中恢复原信号，必须满足两个条件：

f(t)必须是带限信号；取样频率不