江苏省常州市前黄高中2024-2025学年高三第二次高考科目质检数学试题含解析

江苏省常州市前黄高中2024-2025学年高三第二次高考科目质检数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．2．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（）．A． B． C． D．3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．4．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A． B． C． D．5．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（）A． B． C． D．6．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（）A． B． C． D．8．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A． B． C． D．9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知集合，，则（）A． B．C． D．12．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在的零点个数为________．14．函数的极大值为________.15．如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________.16．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，求证：（1）；（2）.18．（12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.19．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．21．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.22．（10分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：（1）是的中点；（2）平面平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

，从而可得，，再解不等式即可.【详解】由已知，，所以，，由，解得，.故选：A.本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.2．D【解析】

根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D．本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．3．D【解析】

由题知，又，代入计算可得.【详解】由题知，又.故选：D本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.4．B【解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5．D【解析】

先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选：D本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.7．B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+21=121，故①中应填n≤1．故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．A【解析】

由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选：A.本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.9．B【解析】

设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，，因此，双曲线的离心率为.故选：B.本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.10．A【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.11．A【解析】

根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵，集合，∴由交集运算可得.故选：A.本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.12．B【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点．本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．14．【解析】

对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意，得.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值.故答案为：.本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.15．【解析】

将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示，，故正方体体对角线长为，所以外接球半径为，其体积为.故答案为：.本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.16．．【解析】

由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求．【详解】解：把看成关于的二次方程，则，即，即为，化为，而，则，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（负的舍去），．故答案为．本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）见解析．【解析】

（1）结合基本不等式可证明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．【详解】（1）∵，∴，当且仅当a=b=c等号成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，当且仅当a=b=c等号成立∴．本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．18．（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.【详解】（1）由于，此时切点坐标为所以切线方程为.（2）由已知，故.由于，故，设由于在单调递增同时时，，时，，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值，故由于，所以，.本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19．（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直线参数方程的几何意义，.【详解】解：（1）由，得圆C的直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即，设两交点A，B所对应的参数分别为，，从而，则.本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.20．（1）（2）．【解析】

（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为．本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．（1）（2）见解析【解析】

（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；【详解】解：（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.本题考