同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系教案一、教学目标1.知识与技能目标理解同角三角函数的基本关系：平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)和商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明。2.过程与方法目标通过对同角三角函数基本关系的探究，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。让学生体会由特殊到一般、类比、化归等数学思想方法，提高学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标通过积极参与数学活动，培养学生的学习兴趣和探索精神，增强学生的数学应用意识。培养学生严谨的治学态度和勇于创新的精神，让学生在学习中获得成功的体验。

二、教学重难点1.教学重点同角三角函数基本关系的推导及理解。运用同角三角函数基本关系进行化简、求值和证明。2.教学难点对同角三角函数基本关系中"同角"的理解。灵活运用同角三角函数基本关系进行三角函数式的变形及解决相关问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解同角三角函数基本关系的概念、推导过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论问题，引导学生积极思考，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.引导学生回顾任意角三角函数的定义设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，它与原点的距离为\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。2.提出问题已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，你能求出\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值吗？让学生思考并尝试求解，从而引出本节课要学习的同角三角函数的基本关系。

（二）探究新知1.同角三角函数基本关系的推导由三角函数定义可得\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，那么\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\left(\frac{y}{r}\right)^{2}+\left(\frac{x}{r}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}\)。因为\(P(x,y)\)与原点的距离\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，则\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。又因为\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。2.对同角三角函数基本关系的理解强调"同角"的含义："同角"是指角的大小相同，不一定是相同的具体角度值。例如，对于\(\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=1\)，\(\sin^{2}\frac{\pi}{6}+\cos^{2}\frac{\pi}{6}=1\)等，这里的\(30^{\circ}\)与\(\frac{\pi}{6}\)是同一个角。引导学生思考基本关系的变形由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)，\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。由\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)可得\(\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha\)。

（三）应用示例1.化简三角函数式例1：化简\(\frac{\sin^{2}\alpha}{1\cos\alpha}\)。解：根据\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha=(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)\)，则\(\frac{\sin^{2}\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)}{1\cos\alpha}=1+\cos\alpha\)。练习：化简\(\frac{\cos\alpha}{1\sin\alpha}\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\)。解：先通分，原式\(=\frac{\cos\alpha(1+\sin\alpha)\cos\alpha(1\sin\alpha)}{(1\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}\)\(=\frac{\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha}{1\sin^{2}\alpha}\)\(=\frac{2\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\tan\alpha\)。2.已知一个三角函数值求其他三角函数值例2：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。解：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}\)，则\(\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\)。又因为\(\sin\alpha=\frac{3}{5}>0\)，所以\(\alpha\)是第一或第二象限角。当\(\alpha\)是第一象限角时，\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)；当\(\alpha\)是第二象限角时，\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)。练习：已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，求\(\sin\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。解：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha=1(\frac{4}{5})^{2}=\frac{9}{25}\)。又因为\(\alpha\)是第三象限角，所以\(\sin\alpha<0\)，则\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)。3.证明三角恒等式例3：证明\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。证明：方法一（从左边证到右边）左边\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\)，分子分母同时乘以\(1+\cos\alpha\)得\(\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{(1\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{1\cos^{2}\alpha}\)因为\(1\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha\)，所以\(\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin^{2}\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)，即左边=右边。方法二（从右边证到左边）右边\(=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)，分子分母同时乘以\(1\cos\alpha\)得\(\frac{(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)}{\sin\alpha(1\cos\alpha)}=\frac{1\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha(1\cos\alpha)}\)因为\(1\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha\)，所以\(\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha(1\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\)，即右边=左边。所以\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)成立。练习：证明\(\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}=\frac{\sec\alpha+1}{\sec\alpha1}\)。证明：左边\(=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha(1\cos\alpha)}{\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}\)。右边\(=\frac{\frac{1}{\cos\alpha}+1}{\frac{1}{\cos\alpha}1}=\frac{\frac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}\)。所以左边=右边，原等式成立。

（四）课堂小结1.同角三角函数的基本关系平方关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。2.基本关系的应用化简三角函数式。已知一个三角函数值求其他三角函数值。证明三角恒等式。3.数学思想方法由特殊到一般的思想：通过三角函数定义推导同角三角函数基本关系。类比思想：平方关系与实数中的平方关系类比，商数关系与分数关系类比。化归思想：将复杂的三角函数式通过基本关系转化为简单的形式进行化简、求值和证明。

（五）布置作业1.书面作业已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值。证明\(\sin^{4}\alpha\cos^{4}\alpha=\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha\)。已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，且\(0<\alpha<\pi\)，求\(\tan\alpha\)的值。2.拓展作业探索同角三角函数基本关系在物理学中的应用，例如在简谐振动中，位移\(x\)、速度\(v\)、加速度\(a\)与时间\(t\)的关系可以用三角函数表示，研究它们之间如何通过同角三