教案6概率与概率分布

教案6概率与概率分布一、教学目标1.知识与技能目标理解概率的基本概念，包括随机事件、必然事件、不可能事件等。掌握古典概型和几何概型的概率计算方法。理解概率分布的概念，包括离散型概率分布和连续型概率分布。掌握常见离散型概率分布（如二项分布、泊松分布等）的概率计算及性质。了解连续型概率分布（如正态分布）的特点及应用。2.过程与方法目标通过实际案例分析，培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。在概率计算的过程中，锻炼学生的逻辑思维和数学运算能力。通过对概率分布的学习，让学生体会用数学模型描述随机现象的方法。3.情感态度与价值观目标培养学生对数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心。让学生认识到概率在日常生活和科学研究中的广泛应用，提高学生的数学应用意识。

二、教学重难点1.教学重点概率的基本概念和计算方法。常见离散型概率分布的概率计算及性质。正态分布的特点及应用。2.教学难点古典概型和几何概型中基本事件的确定及概率计算。离散型概率分布和连续型概率分布的区别与联系。正态分布的概率计算及相关性质的应用。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解概率与概率分布的基本概念、原理和方法。2.案例分析法：通过实际案例分析，帮助学生理解和应用概率知识。3.讨论法：组织学生讨论相关问题，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作。4.多媒体教学法：利用多媒体课件展示教学内容，增强教学的直观性和趣味性。

四、教学过程

（一）课程导入（5分钟）通过一个简单的生活实例引入概率的概念。例如：抛一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在抛之前我们无法确定具体的结果，这种现象就是随机现象。概率就是研究随机现象发生可能性大小的数学分支。

（二）概率的基本概念（15分钟）1.随机事件定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，通常用大写字母A、B、C等表示。举例：明天是否会下雨、掷骰子出现的点数等都是随机事件。2.必然事件定义：在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件，记为Ω。举例：在标准大气压下，水加热到100℃必然会沸腾。3.不可能事件定义：在一定条件下，肯定不会发生的事件称为不可能事件，记为∅。举例：掷骰子出现7点就是不可能事件。4.事件间的关系包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。相等关系：若A⊆B且B⊆A，则称事件A与事件B相等，记作A=B。并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为A与B的并事件，记作A∪B。交事件（积事件）：事件A与事件B同时发生的事件称为A与B的交事件，记作A∩B或AB。互斥事件：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=∅，则称事件A与事件B互斥。对立事件：若事件A与事件B互斥，且A∪B=Ω，则称事件A与事件B对立，记作B=A̅，A=B̅。

（三）概率的定义及性质（20分钟）1.概率的定义对于给定的随机试验E，若对于每个事件A，都有一个实数P(A)与之对应，且满足以下三个条件：非负性：P(A)≥0；规范性：P(Ω)=1；可列可加性：对于两两互斥的事件A1，A2，...，有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质P(∅)=0。若A1，A2，...，An两两互斥，则P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。设A，B是两个事件，若A⊆B，则P(BA)=P(B)P(A)，且P(A)≤P(B)。对于任意事件A，有P(A̅)=1P(A)。P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)。

通过具体的例子，如掷骰子的试验，让学生练习运用概率的性质进行计算。

（四）古典概型（20分钟）1.古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。2.古典概型的概率计算公式设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个基本事件，事件A包含m个基本事件，则事件A的概率为P(A)=m/n。

例1：掷一枚质地均匀的骰子，求出现奇数点的概率。分析：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，n=6。事件A={出现奇数点}={1,3,5}，m=3。则P(A)=3/6=1/2。

例2：从含有5件次品的100件产品中任取3件，求恰有1件次品的概率。分析：从100件产品中任取3件的组合数为\(C_{100}^3\)，这是样本空间的基本事件总数n。恰有1件次品的情况，先从5件次品中选1件，再从95件正品中选2件，组合数为\(C_{5}^1×C_{95}^2\)，这是事件A包含的基本事件数m。则P(A)=\(\frac{C_{5}^1×C_{95}^2}{C_{100}^3}\)，通过计算得出具体概率值。

让学生练习一些古典概型的题目，巩固所学知识。

（五）几何概型（15分钟）1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。2.几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。

例3：在区间[0,10]内任取一个数，求这个数小于5的概率。分析：试验的全部结果所构成的区域长度为10，事件A={取到的数小于5}所构成的区域长度为5。则P(A)=5/10=1/2。

例4：在半径为R的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于R/2的概率。分析：试验的全部结果所构成的区域面积为\(πR^2\)，事件A={点到圆心的距离小于R/2}所构成的区域面积为\(π(R/2)^2\)。则P(A)=\(\frac{π(R/2)^2}{πR^2}\)=1/4。

通过这些例子，让学生理解几何概型的特点及概率计算方法，并进行相关练习。

（六）概率分布（20分钟）1.概率分布的概念设离散型随机变量X所有可能取值为\(x_1,x_2,\cdots\)，X取各个值的概率\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，则称\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)为离散型随机变量X的概率分布或分布律。连续型随机变量X的概率分布可以用概率密度函数f(x)来描述，满足\(P(a<X≤b)=\int_{a}^{b}f(x)dx\)。2.离散型概率分布的表示方法列表法：将X的取值和对应的概率列成表格形式。公式法：用\(P(X=x_i)=p_i\)表示。3.离散型概率分布的性质\(p_i≥0\)，\(i=1,2,\cdots\)；\(\sum_{i=1}^{\infty}p_i=1\)。

（七）常见离散型概率分布（30分钟）1.两点分布定义：若随机变量X只取两个值0和1，其概率分布为\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)（0<p<1），则称X服从参数为p的两点分布。举例：抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，设X表示抛硬币的结果，则X服从参数为0.5的两点分布。2.二项分布定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0<p<1），用X表示n次试验中事件A发生的次数，则X的概率分布为\(P(X=k)=C_{n}^kp^k(1p)^{nk}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)，称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。性质：\(E(X)=np\)；\(D(X)=np(1p)\)。

例5：某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布。分析：这里n=4，p=0.8，X~B(4,0.8)。根据二项分布概率公式分别计算\(P(X=0)\)，\(P(X=1)\)，\(P(X=2)\)，\(P(X=3)\)，\(P(X=4)\)的值。

例6：已知X~B(10,0.6)，求E(X)和D(X)。分析：根据二项分布的期望和方差公式，可得E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×(10.6)=2.4。

让学生通过练习掌握二项分布的概率计算及期望、方差的求解。3.泊松分布定义：设随机变量X所有可能取值为0,1,2,\cdots，且概率分布为\(P(X=k)=\frac{λ^ke^{λ}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(λ)。泊松分布可作为二项分布的极限分布（当n很大，p很小时，λ=np）。性质：\(E(X)=λ\)；\(D(X)=λ\)。

例7：某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布，求该城市一天内发生3次火灾的概率。分析：已知λ=0.8，根据泊松分布概率公式计算\(P(X=3)=\frac{0.8^3e^{0.8}}{3!}\)，得出具体概率值。

通过实例让学生理解泊松分布的应用，并进行相关计算练习。

（八）正态分布（30分钟）1.正态分布的定义若随机变量X的概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{\frac{(xμ)^2}{2σ^2}}\)，\(∞<x<+∞\)，其中μ，σ（σ>0）为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布，记作X~N(μ,σ^2)。2.正态分布的特点曲线关于直线\(x=μ\)对称。在\(x=μ\)处达到峰值\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ}\)。σ越大，曲线越"矮胖"，表示数据越分散；σ越小，曲线越"瘦高"，表示数据越集中。3.正态分布的概率计算对于正态分布X~N(μ,σ^2)，通过将其标准化，令\(Z=\frac{Xμ}{σ}\)，则Z~N(0,1)。计算\(P(a<X≤b)\)时，可转化为\(P(\frac{aμ}{σ}<Z≤\frac{bμ}{σ})\)，然后查标准正态分布表得到相应概率值。

例8：已知X~N(1,4)，求\(P(1<X≤3)\)。分析：首先标准化，\(Z=\frac{X1}{2}\)。则\(P(1<X≤3)=P(\frac{11}{2}<Z≤\frac{31}{2})=P(0<Z≤1)\)。查标准正态分布表可得\(P(0<Z≤1)\)的值。

例9：设某地区成年男性的身高X（单位：cm）服从正态分布N(170,25)，求该地区成年男性身高在160cm至180cm之间的概率。分析：同样先标准化，\(Z=\frac{X170}{5}\)。计算\(P(160<X≤180)=P(\frac{160170}{5}<Z≤\frac{180170}{5})=P(2<Z≤2)\)。查标准正态分布表并计算出概率值。

通过详细讲解和实例练习，让学生掌握正态分布的相关知识及概率计算方法。

（九）课堂小结（10分钟）1.回顾概率的基本概念，包括随机事件、必然事件、不可能事件等，以及事件间的关系和概率的性质。2.总结古典概型和几何概型的特点及概率计算方法。3.强调离散型概率分布和连续型概率分布的概念，以及常见离散型概率分布（两点分布、二项分布、泊松分布）的概率计算、性质和应用。4.概括正态分布的定义、特点、概率