空间向量与立体几何教学设计

空间向量与立体几何教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解空间向量夹角的概念，掌握用向量方法计算异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的大小。能熟练运用向量的数量积公式解决角度计算问题，明确向量法在解决角度问题中的优势。2.过程与方法目标通过对向量夹角与空间角之间关系的探究，培养学生观察、分析、类比、转化的能力，体会向量作为工具在立体几何角度问题中的应用。经历用向量法求解空间角的过程，提高学生运用向量知识解决实际问题的运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过向量法解决空间角度问题，让学生感受数学的严谨性和简洁性，培养学生学习数学的兴趣和自信心。在探究过程中，培养学生勇于探索、善于合作的精神，体会数学知识之间的内在联系和相互转化。

二、教学重难点1.教学重点掌握向量法计算异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的方法和步骤。理解向量夹角与空间角之间的对应关系，并能准确进行转化。2.教学难点二面角的平面角与两个半平面法向量夹角之间的关系及判断。如何引导学生将空间角问题合理地转化为向量夹角问题，并准确进行计算和推理。

三、教学方法1.讲授法：讲解空间向量夹角的概念、向量法求解角度的基本原理和公式，使学生系统地掌握基础知识。2.讨论法：组织学生讨论向量夹角与空间角之间的关系，以及在具体问题中如何选择合适的向量来求解角度，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，熟练掌握向量法求解角度的技能，提高学生运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）复习导入（5分钟）1.回顾空间向量的基本概念和运算，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积运算。提问：已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，如何计算\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)？\(\vert\vec{a}\vert\)？学生回答：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)。2.复习异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的定义。教师通过图形直观展示这三种角的定义，并简单回顾其取值范围。异面直线所成角\(\theta\)：\(0\lt\theta\leqslant\frac{\pi}{2}\)；直线与平面所成角\(\varphi\)：\(0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}\)；二面角\(\alpha\)：\(0\leqslant\alpha\leqslant\pi\)。

（二）知识新授（20分钟）1.空间向量夹角的概念设\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是空间两个非零向量，过空间任意一点\(O\)作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，则\(\angleAOB\)叫做向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角，记作\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)，其范围是\([0,\pi]\)。强调：当\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\pi}{2}\)时，称\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)垂直，记作\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。2.异面直线所成角与向量夹角的关系设异面直线\(a\)，\(b\)的方向向量分别为\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)，异面直线\(a\)，\(b\)所成的角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)。引导学生理解：因为异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)，而向量夹角范围是\([0,\pi]\)，所以要取绝对值。举例：已知异面直线\(a\)，\(b\)的方向向量\(\vec{m}=(1,1,0)\)，\(\vec{n}=(0,1,1)\)，求异面直线\(a\)，\(b\)所成角的余弦值。解：\(\vec{m}\cdot\vec{n}=1\times0+1\times1+0\times1=1\)，\(\vert\vec{m}\vert=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}\)。则\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)，所以异面直线\(a\)，\(b\)所成角的余弦值为\(\frac{1}{2}\)。3.直线与平面所成角与向量夹角的关系设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\varphi\)，则\(\sin\varphi=\vert\cos\langle\vec{a},\vec{n}\rangle\vert=\frac{\vert\vec{a}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert}\)。解释：直线与平面所成角是直线与它在平面内的射影所成角，利用向量法通过直线方向向量与平面法向量夹角来求解。例如：已知直线\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,0,1)\)，求直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角的正弦值。解：\(\vec{a}\cdot\vec{n}=1\times1+(1)\times0+1\times(1)=0\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+(1)^2+1^2}=\sqrt{3}\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{1^2+0^2+(1)^2}=\sqrt{2}\)。则\(\sin\varphi=\frac{\vert\vec{a}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert}=0\)，所以直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角的正弦值为\(0\)，即直线\(l\)与平面\(\alpha\)平行或在平面内。4.二面角与向量夹角的关系设二面角\(\alphal\beta\)的两个半平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n_1}\)，\(\vec{n_2}\)，二面角\(\alphal\beta\)的大小为\(\theta\)，则\(\theta=\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle\)或\(\theta=\pi\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle\)。说明：判断二面角大小与法向量夹角关系时，要观察二面角是锐角还是钝角，通过法向量方向来确定。比如：已知二面角\(\alphal\beta\)的两个半平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量\(\vec{n_1}=(1,1,1)\)，\(\vec{n_2}=(1,0,1)\)，求二面角\(\alphal\beta\)的大小。解：\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times(1)+1\times0+1\times1=0\)，\(\vert\vec{n_1}\vert=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\)，\(\vert\vec{n_2}\vert=\sqrt{(1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}\)。则\(\cos\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{\vert\vec{n_1}\vert\vert\vec{n_2}\vert}=0\)，所以\(\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle=\frac{\pi}{2}\)。此时要观察图形，判断二面角是锐角还是钝角，若二面角是锐角，则二面角大小为\(\frac{\pi}{2}\)；若二面角是钝角，则二面角大小为\(\pi\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)。

（三）例题讲解（15分钟）例1：在正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，棱长为\(2\)，\(E\)，\(F\)分别是\(BB_1\)，\(CD\)的中点，求异面直线\(AE\)与\(D_1F\)所成角的余弦值。1.建立空间直角坐标系以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_1\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。2.求出相关点的坐标\(A(2,0,0)\)，\(E(2,2,1)\)，\(D_1(0,0,2)\)，\(F(0,1,0)\)。3.求出直线的方向向量\(\overrightarrow{AE}=(22,20,10)=(0,2,1)\)，\(\overrightarrow{D_1F}=(00,10,02)=(0,1,2)\)。4.计算异面直线所成角的余弦值\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{D_1F}=0\times0+2\times1+1\times(2)=0\)，\(\vert\overrightarrow{AE}\vert=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{D_1F}\vert=\sqrt{0^2+1^2+(2)^2}=\sqrt{5}\)。则\(\cos\theta=\frac{\vert\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{D_1F}\vert}{\vert\overrightarrow{AE}\vert\vert\overrightarrow{D_1F}\vert}=\frac{0}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=0\)，所以异面直线\(AE\)与\(D_1F\)所成角的余弦值为\(0\)，即异面直线\(AE\)与\(D_1F\)垂直。

例2：已知三棱锥\(PABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(PA=AB=1\)，\(AC=\sqrt{2}\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，求直线\(PC\)与平面\(ABC\)所成角的大小。1.建立空间直角坐标系以\(A\)为原点，分别以\(AB\)，\(AC\)，\(AP\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。2.求出相关点的坐标\(P(0,0,1)\)，\(C(0,\sqrt{2},0)\)。3.求出直线的方向向量和平面的法向量\(\overrightarrow{PC}=(00,\sqrt{2}0,01)=(0,\sqrt{2},1)\)，平面\(ABC\)的法向量\(\vec{n}=(0,0,1)\)。4.计算直线与平面所成角的正弦值\(\overrightarrow{PC}\cdot\vec{n}=0\times0+\sqrt{2}\times0+(1)\times1=1\)，\(\vert\overrightarrow{PC}\vert=\sqrt{0^2+(\sqrt{2})^2+(1)^2}=\sqrt{3}\)，\(\vert\vec{n}\vert=1\)。则\(\sin\varphi=\frac{\vert\overrightarrow{PC}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\overrightarrow{PC}\vert\vert\vec{n}\vert}=\frac{\vert1\vert}{\sqrt{3}\times1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以直线\(PC\)与平面\(ABC\)所成角为\(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

例3：如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD\perp\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC=2\)，\(E\)是\(PC\)的中点，求二面角\(EBDC\)的大小。1.建立空间直角坐标系以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DP\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。2.求出相关点的坐标\(D(0,0,0)\)，\(B(2,2,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(P(0,0,2)\)，\(E(0,1,1)\)。3.求出平面\(EBD\)和平面\(BDC\)的法向量设平面\(EBD\)的法向量\(\vec{n_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{DB}=(2,2,0)\)，\(\overrightar