选修21第三章空间向量与立体几何教案

选修21第三章空间向量与立体几何教案一、教材分析1.地位和作用空间向量是处理空间几何问题的有力工具，它为解决立体几何中的角和距离问题提供了新的视角和方法。本章内容是在学生学习了平面向量的基础上，进一步拓展到空间向量，通过空间向量的运算和应用，加深学生对空间几何的理解和认识，提高学生运用向量方法解决实际问题的能力。2.教学目标知识与技能目标理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。掌握空间向量的数量积运算及其性质，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。理解空间向量基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的坐标运算，能运用向量的坐标运算解决空间中的夹角和距离问题。过程与方法目标通过类比平面向量的知识，引导学生自主探究空间向量的相关概念和运算，培养学生的类比推理能力和逻辑思维能力。通过运用空间向量解决立体几何问题，让学生体会向量方法在解决几何问题中的优越性，提高学生运用向量工具解决实际问题的能力。情感态度与价值观目标通过空间向量的学习，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。让学生体会数学知识之间的内在联系，培养学生的数学审美意识。3.教学重难点教学重点空间向量的运算及其性质。空间向量基本定理及其坐标表示。运用向量方法解决空间中的夹角和距离问题。教学难点空间向量的数量积运算及其应用。如何将立体几何问题转化为向量问题，并合理运用向量方法求解。

二、教学方法1.讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算和定理，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论空间向量在实际问题中的应用，培养学生的思维能力和合作交流能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示空间向量的图形和动态变化，帮助学生直观理解抽象的概念和定理。

三、教学过程

3.1空间向量及其运算1.空间向量的概念引入：回顾平面向量的概念，引导学生思考空间向量的定义。讲解：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。表示方法：用有向线段表示向量，向量\(\overrightarrow{AB}\)的起点是\(A\)，终点是\(B\)，其模记为\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)。也可以用字母\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)等表示向量。零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记为\(\vec{0}\)。单位向量：长度为\(1\)的向量叫做单位向量。相等向量：方向相同且长度相等的向量叫做相等向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。2.空间向量的加法、减法和数乘运算加法运算三角形法则：已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，在空间中任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则\(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\)。平行四边形法则：在空间中任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，以\(OA\)，\(OB\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则\(\overrightarrow{OC}=\vec{a}+\vec{b}\)。加法运算律：交换律\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)；结合律\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。减法运算：\(\vec{a}\vec{b}=\vec{a}+(\vec{b})\)，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。数乘运算：实数\(\lambda\)与空间向量\(\vec{a}\)的乘积\(\lambda\vec{a}\)仍然是一个向量，其长度为\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)，方向规定如下：当\(\lambda\gt0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相同；当\(\lambda\lt0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。数乘运算律：\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)；\((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)；\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)。3.空间向量的数量积运算定义：已知两个非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，则\(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)叫做\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)的数量积，记作\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)。性质：\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^2\)。\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。\(\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\)。运算律：交换律\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)。分配律\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)。数乘结合律\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)。

3.2空间向量基本定理1.定理引入通过实例，如空间中的一个向量可以由三个不共面的向量表示，引导学生思考空间向量基本定理的内容。2.定理讲解空间向量基本定理：如果三个向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)不共面，那么对空间任一向量\(\vec{p}\)，存在有序实数组\(\{x,y,z\}\)，使得\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}\)。基底：把不共面的三个向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)叫做空间的一个基底，\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)都叫做基向量。正交分解：当基底\(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\)中的三个基向量两两垂直时，就得到这个向量的正交分解。3.空间向量的坐标表示建立空间直角坐标系\(Oxyz\)，分别沿\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴的正方向取单位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)。对于空间向量\(\vec{a}\)，存在唯一一组实数\(x\)，\(y\)，\(z\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)，则\((x,y,z)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y,z)\)。

3.3空间向量的坐标运算1.向量的坐标运算已知\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则：\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)。\(\vec{a}\vec{b}=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)\)。\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)\)。\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)。向量\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)。两点间距离公式：若\(A(x_1,y_1,z_1)\)，\(B(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。2.向量平行与垂直的坐标表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则：\(\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec{b}\Leftrightarrowx_1=\lambdax_2,y_1=\lambday_2,z_1=\lambdaz_2\)（\(\lambda\inR\)）。\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\)。

3.4空间向量在立体几何中的应用1.利用向量求空间角异面直线所成的角设异面直线\(a\)，\(b\)的方向向量分别为\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)，则异面直线\(a\)，\(b\)所成角\(\theta\)满足\(\cos\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)。直线与平面所成的角设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{m}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)。二面角设二面角\(\alphal\beta\)的两个半平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)，则二面角\(\alphal\beta\)的大小\(\theta\)满足\(\cos\theta=\pm\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，其正负由二面角的实际情况确定。2.利用向量求空间距离点到平面的距离设点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离为\(d\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，\(A\)为平面\(\alpha\)内任一点，则\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。异面直线间的距离设异面直线\(a\)，\(b\)的公垂向量为\(\vec{n}\)，\(A\)，\(B\)分别为\(a\)，\(b\)上任意两点，则异面直线\(a\)，\(b\)间的距离\(d=\frac{\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。

四、教学评价1.课堂提问：通过课堂提问，了解学生对空间向量概念、运算和定理的掌握情况，及时调整教学策略。2.作业评价：认真批改学生的作业，对学生在作业中出现的问题进行及时反馈和纠正，通过作业评价了解学生对知识的掌握程度和运用能力。3.测验评价：定期进行测验，考