微积分初步形成性考核作业

微积分初步形成性考核作业一、单选题1.若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内可导，\(x_0\in(a,b)\)，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}=(\)\)A.\(f^\prime(x_0)\)B.\(2f^\prime(x_0)\)C.\(0\)D.\(f^\prime(2x_0)\)答案：B解析：\[\begin{align*}&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)+f(x_0)f(x_0h)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)f(x_0h)}{h}\\=&f^\prime(x_0)+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0h)f(x_0)}{h}\\=&f^\prime(x_0)+f^\prime(x_0)\\=&2f^\prime(x_0)\end{align*}\]

2.函数\(y=x^33x\)在区间\([2,2]\)上的最大值是(\)A.\(2\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(4\)答案：A解析：首先对函数\(y=x^33x\)求导，\(y^\prime=3x^23\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x^23=0\)，解得\(x=\pm1\)。然后计算函数在端点和驻点处的值：\(y(2)=(2)^33\times(2)=8+6=2\)；\(y(1)=(1)^33\times(1)=1+3=2\)；\(y(1)=1^33\times1=13=2\)；\(y(2)=2^33\times2=86=2\)。比较可得最大值为\(2\)。

3.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\inte^{x}f(e^{x})dx=(\)\)A.\(F(e^{x})+C\)B.\(F(e^{x})+C\)C.\(F(e^{x})+C\)D.\(F(e^{x})+C\)答案：B解析：令\(u=e^{x}\)，则\(du=e^{x}dx\)，\(\inte^{x}f(e^{x})dx=\intf(u)du=F(u)+C=F(e^{x})+C\)。

4.下列定积分中积分值为\(0\)的是(\)A.\(\int_{1}^{1}x^2dx\)B.\(\int_{1}^{1}x\cosxdx\)C.\(\int_{1}^{1}(x^3+1)dx\)D.\(\int_{1}^{1}x^3dx\)答案：D解析：对于选项A，\(\int_{1}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{1}^{1}=\frac{1}{3}(1^3(1)^3)=\frac{2}{3}\neq0\)；对于选项B，因为函数\(y=x\cosx\)是奇函数，根据奇函数在关于原点对称区间上的定积分值为\(0\)，\(\int_{1}^{1}x\cosxdx=0\)；对于选项C，\(\int_{1}^{1}(x^3+1)dx=(\frac{1}{4}x^4+x)\big|_{1}^{1}=(\frac{1}{4}\times1^4+1)(\frac{1}{4}\times(1)^41)=2\neq0\)；对于选项D，\(\int_{1}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{1}^{1}=\frac{1}{4}(1^4(1)^4)=0\)。

5.设\(f(x)\)的一个原函数是\(\sinx\)，则\(f^\prime(x)=(\)\)A.\(\sinx\)B.\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(\cosx\)答案：C解析：因为\(f(x)\)的一个原函数是\(\sinx\)，所以\(f(x)=(\sinx)^\prime=\cosx\)，则\(f^\prime(x)=(\cosx)^\prime=\sinx\)。

二、填空题1.函数\(y=\frac{\ln(1x)}{x}\)的定义域是。答案：\(x\lt1\)且\(x\neq0\)解析：要使函数有意义，则\(\begin{cases}1x\gt0\\x\neq0\end{cases}\)，解得\(x\lt1\)且\(x\neq0\)。

2.已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\x+1,&x\lt0\end{cases}\)，则\(f(1)=\)。答案：\(0\)解析：当\(x=1\)时，\(f(1)=1+1=0\)。

3.曲线\(y=\lnx\)在点\((1,0)\)处的切线方程是。答案：\(y=x1\)解析：对\(y=\lnx\)求导，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，则在点\((1,0)\)处的切线斜率\(k=1\)，切线方程为\(y0=1\times(x1)\)，即\(y=x1\)。

4.若\(f^\prime(x_0)=2\)，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{2h}=\)。答案：\(1\)解析：\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{2h}=\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{h}=\frac{1}{2}f^\prime(x_0)=1\)。

5.\(\int\frac{1}{x^2}dx=\)。答案：\(\frac{1}{x}+C\)解析：根据积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq1)\)，\(\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{2}dx=\frac{1}{x}+C\)。

三、计算题1.已知函数\(y=\frac{2x+3}{x1}\)，求\(y^\prime\)。解：根据除法求导公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)，这里\(u=2x+3\)，\(u^\prime=2\)；\(v=x1\)，\(v^\prime=1\)。则\(y^\prime=\frac{2(x1)(2x+3)\times1}{(x1)^2}=\frac{2x22x3}{(x1)^2}=\frac{5}{(x1)^2}\)。

2.求函数\(y=x^33x^29x+5\)的单调区间和极值。解：首先对函数求导，\(y^\prime=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3(x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)。当\(x\lt1\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增；当\(1\ltx\lt3\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减；当\(x\gt3\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增。所以函数的单调递增区间是\((\infty,1)\)和\((3,+\infty)\)，单调递减区间是\((1,3)\)。极大值为\(y(1)=(1)^33\times(1)^29\times(1)+5=13+9+5=10\)；极小值为\(y(3)=3^33\times3^29\times3+5=272727+5=22\)。

3.计算\(\intx\cosxdx\)。解：利用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，则\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\intx\cosxdx=x\sinx\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。

4.计算定积分\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx\)。解：利用分部积分法，设\(u=x^2\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=2xdx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1\int_{0}^{1}2xe^xdx\)\(=(1^2\timese^10^2\timese^0)2\int_{0}^{1}xe^xdx\)\(=e2\int_{0}^{1}xe^xdx\)再对\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_0^1\int_{0}^{1}e^xdx\)\(=(1\timese^10\timese^0)[e^x]_0^1\)\(=e(e1)=1\)所以\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx=e2\times1=e2\)。

四、应用题1.欲做一个底为正方形，容积为\(62.5\)立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底面正方形边长为\(x\)米，高为\(h\)米。已知容积为\(62.5\)立方米，即\(x^2h=62.5\)，则\(h=\frac{62.5}{x^2}\)。容器的表面积\(S=x^2+4xh=x^2+4x\times\frac{62.5}{x^2}=x^2+\frac{250}{x}\)。对\(S\)求导，\(S^\prime=2x\frac{250}{x^2}\)。令\(S^\prime=0\)，即\(2x\frac{250}{x^2}=0\)，\(2x^3=250\)，\(x^3=125\)，解得\(x=5\)。此时\(h=\frac{62.5}{5^2}=2.5\)。再求二阶导数\(S^{\prime\prime}=2+\frac{500}{x^3}\)，当\(x=5\)时，\(S^{\prime\prime}=2+\frac{500}{5^3}=2+4=6\gt0\)，所以当\(x=5\)，\(h=2.5\)时，表面积\(S\)取得最小值，即用料最省。

2.求曲线\(y=x^2\)与直线\(y=x+2\)所围成的平面图形的面积。解：先求曲线\(y=x^2\)与直线\(y=x+2\)的交点，联立方程\(\begin{cases}y=x^2\\y=x+2\end{cases}\)，即\(x^2=x+2\)，\(x^2x2=0\)，\((x2)(x+1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。所围成图形的面积\(A=\int_{1}^{2}[(x+2)x^2]dx\)\(=(\frac{1}{2}x^2+2x\frac{1}{3}x^3)\big|_{1}^{2}\)\(=(\frac{1}{2}\times2^2+2\times2\frac{1}{3}\times2^3)(\frac{1}{2}\times(1)^2+2\times(1)\frac{1}{3}\times(1)^3)\)\(=(2+4\frac{8}{3})(\frac{1}{2}2+\frac{1}{3})\)\(=\frac{10}{3}(\frac{7}{6})\)\(=\frac{9}{2}\)。

五、证明题设函数\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)内可导，且\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)。证明：在\((0,1)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)=1\)。证明：令\(F(x