小学几何五大模型(蝴蝶模型)

任意四边形、梯形与相似模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系（"蝴蝶定理”）:

①S]:S2=S4:S3或者S、xS3=S?xS4

②4O:OC=(S+S2):(S4+SJ

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形被对角线ZG8。分成四分部分，△

力。8面积为1平方千米，△8OC面积为2平方千米-8。的面积为3平方千米，公园由陆地面积

是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】根据蝴蝶定理求得=3x1+2=1.5平方千米，公园四边形A8CD的面积是1+2+3+1.5=7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形8GC的面积；（2）AG:GC=?

【解析】（1）根据蝴蝶定理，S88X1=2X3，那么5噜=6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC=（l+2）:（3+6）=l:3.（???）

【例2】四边形A4C。的对角线AC与4。交于点。（如图所示）。如果三角形反。的面积等于三角形灰?。的

面积的,，且AO=2,DO=3,那么CO的长度是DO的长度的________倍。

3

【解析】在本题中,四边形A3CD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：Q）利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条

件S;：S8皿=1：3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢（于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个"不良四边形”，于是可以作A"垂直加＞于”,CG垂直8。于G,面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高唱同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使

学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

-

解IS：：AO：OC=SAABD：SMDC=1：3,

.-.OC=2x3=6,

「.or：。力=6：3=2:l.

解法二：作加/，以）于〃,CG上BD于G.

,S&&BD~Q^ABCD•

AAH=-CG,

3

…SMOD=§^MX）C,

AO=-CO,

3

.-，OC=2x3=6,

.'.OC:Or）=6:3=2:l.

【例3】如图，平行四边形A3CD的对角线交于O点，4OEF、4ODF、△/）£的面积依次是2、

4、4和6。求：⑴求△（XF的面积；⑶求△GCE的面积。

【解析】⑴根据题意可知，△HC/）的面积为2+4+4+6=16，那么△HCO和△C/笫的面积都是16+2=8,

所以△&：尸的面积为8-4=4；

⑵由于△3CO的面积为8,ZiBO七的面积为6,所以△“*£：的面积为8-6=2,

根据蝴蝶定埋，EG:FG=SAC°E：SA8F=2:4=1:2,所以％CE：S3F=EG:FG=1:2,

1I2

那么S&3E=干S&3=§X2=5•

［例4］图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形

的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【解析】在ABE,ACDE中有ZAEB=NCED，所以ABE,、CDE的面积比为（AExEB）:（CEx。石）。同

理有APE,.ACE的面积比为（AExOE）：（8ExEC）。所以有S^BE'S大DE二S二ADE'S包江，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、

下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即S..WX6=S..MFX7,所以有ABE与ADE的面积

比为7:6,S、BE=」-X39=21公顷，S^E=—x39=18

6+76+7

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例5】（2008年清华附中入学测试题）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积

为O

【解析】连接AD、CD、BCO

A?

则可根据格点面积公式，可以得到AA8C的面积为：1+?-1=2,AACD的面积为：3+--1=3.5,

22

3II

因为M:EC=2:3,DF:FC=l:2，所以S四=。x长方形小=历S长方形小.

因为SZD=；方…，AG:Gr=；噌=5:1,所以S八侬=5S.=10平方厘米，所以S.=12平

方厘米.因为S•••••*=-/Sr八a〃V；lDsWCD,所以长方形A8CD的面积是72平方厘米.

【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为A。中点，/为CE中点，G为所中点，求三角

形H/X；的面积.

【解析】设切与CE的交点为0,连接BE、DF.

由蝴蝶定理可知石0：0。=5跳1）:58皿，而SMD=；SAK。，SRCD

所以EO:OC=S限,：58g=上2，故£O=』EC.

由于尸为CE中点，所以所=，EC,故EO:样=2:3,FO:EO=\:2.

2

由蝴蝶定理可知5’的：5:四=尸0：田=1：2，所以S"=:S曲=：S八8m，

那么s顺）=9功=’10x10=6.25（平方厘米）.

21616

【例9】如图，在AA8C中，已知M、N分别在边AC、AC上，8M与AN相交于。，若小。例、AA40和

MON的面积分别是3、2、1,则AMVC的面积是

【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

根据蝴蝶定理得Sm=①嗒』

S&\OB22

设Sw=x，根据共边定理我们可以得

*

3+2

2_解得x=22.5.

丁一i+3+x

2

[例10]（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形的面积是2009平方厘米，四层用打用氏分

别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【解析】如图，设绦4与的交点为o,则图中空白部分由6个与“。4一样大小的三角形组成，只要求

出了刈OA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

连接AA、B,,瓦、B6A..

设M4纥的面积为"1",则然4练面积为"1"，的劣线面积为"2"，那么MA线面积为&4,4线

的2倍，为"4"，梯形A4AA的面积为2x2+4x2=12,刈线人的面积为"6:△旦人儿的

面积为2.

根据蝴蝶定理，&O=4O=S%4SMM=I：6，故加叱=抵，，

io|

所以SMW%：S梯形A&M=亍：12：1：7，即的面积为梯形AAA3A,面积的,，故为六边形

4人444AA面积的,，那么空白部分的面积为正六边形面积的，x6=3,所以阴影部分面积为

14147

2009x11-5=1148（平方厘米）.

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：

①£6=/：〃

②$:邑：S?：S4=a2:b2:ah:ab；

③S的对应份数为（〃+》『・

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

【解析】设S为1份，S；为〃份，根据梯形蝴蝶定理，S.-A-b2，所以〃=2；又因为与-2-a乂〃，所以

。=1；那么用="=],s、=axb=2，所以梯形面积S=S|+S2+W+S4=l+2+4+2=9，或者根

据梯形蝴蝶定理，S=（a+〃）2=。+2『=9.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形A38的46平行于CD,对角线AC,BD交于O,已

知AAOB与4BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平

方厘米.

DC

【解析】根据梯形蝴蝶定理，S9:SHw="：a〃=25：35，可得a:〃=5:7,再根据梯形蝴蝶定理，

2212

SAOB：SDOC=a:b=5-.7=25-.49,所以S瓯=49（平方厘米）•那么梯形ABCD的面积为

25+35+35+49=144（平方厘米）.

【例12]梯形/WC。的对角线AC与AD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形AAO的面积等于三角

形80c面积的2，求三角形A8与三角形80c的面积之比.

3

AD

【解析】根据梯形蝴蝶定理，S®:S1foe="4=2:3，可以求出。:〃=2:3,

再根据梯形蝴蝶定理.S八”：,S2c=/://=22：32=4:9.

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而干

辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.

【例13]（第十届华杯赛）如下图，四边形A8CZ）中，对角线AC和皮）交于。点，已知AO=1,并且

【解析】根据蝴蝶定理，II黑鬻黯嗡，所以学[,又皿，所以C*・

【例14]梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OZ?C的面积是9cv〃2,间三角形AOD的面积是多少？

【解析】根据梯形蝴蝶定理，〃:。=1:1.5=2:3,5^:5^=«2:^2=22:32=4:9,

所以工皿=4（5?）.

【巩固】如图，梯形A8C7）中，MOB、△COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形A8C。的面积.

22

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOH:SACon=a:b=4-.9，所以a:〃=2:3,

q•q2

JAOI)*"AOH=ab:a=b:a=3:2,S.nn=SrnR=1.2x—=1.8

S桶形A8C”=1.2+1.8+1.84-2.7=7.5

【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形A1）G的面积是11,三角形BCH

的面积是23,求四边形EGFH的面积.

【解析】如图，连结用，显然四力形房和四边形6c斤都是梯形，于是我们可以得到三角形上G的面积

等于三角形/OG的面积；三角形8四的面积等于三角形日方的面积，所以四边形灯汨”的面积

是11+23=34•

【巩固】（人大附中入学测试题）如圄，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2

的面积为36,则三角形1的面积为

【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

形3,所以1的面积就是36x」一二16,3的面积就是36x」=20.

4+54+5

【例16］如图，正方形A8C。面积为3平方厘米，M是边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【解析】因为M是4）边上的中点，所以AC=I:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道

SRG'A小S-：%e=|2：(lx2):(lx2):22=l:2:2:4设LGW=1份则S,m=l+2=3份，

所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S阴影=2+2=4份，所以S阴影：S正方形=1:3，所以S阴影=1

平方厘米.

【巩固】在下图的正方形人4C。中，石是AC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

AD

【解析】连接DE，根据题意可知应：:AD=1:2，根据蝴蝶定理得S梯形=（1+2）2=9（平方厘米），SA£W=3（¥

方厘米），那么S=12（平方厘米）.

【例17]如图面积为12平方厘米的正方形A38中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【解析】因为£尸是。C边上的三等分点，所以EF:/W=1:3,设S△诋=1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

SAAOE=SAOFB=3份，SLAOB=9份，S^ADE=SABCF=（I+3）份，因此正方形的面积为4+4+（1+3）2=24

份，%影=6，所以S阴明：S正方形=6:24=1:4，所以Su膨=3平方厘米.

【例18]如图，在长方形ABC。中，A3=6厘米，4）=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

【解析】方法一：如图，连接DE,OE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为

2x6+3+2=2平方厘米.

_3—

由于叮：DC=1:3,根据梯形蝴蝶定理"'即：5'卬。=3:1,所以5谢=二$加，而5阳.=S3=2

平方厘米，所以S;X2=1.5平方厘米，阴影部分的面积为2+1.5=3.5平方厘米.

方法二：如图，连接。E,FC,由于EF:DC=1:3,设S△。斯=।份，根据梯形蝴蝶定理，S^OED=3

份，§悌形E。=（1+3-二母份，用=5△改＞.=1+3=4份，因此S长方形八的=4+16+4=24份，

S用影=4+3=7份，而5代方形Mg=6x2=12平方厘米，所以S阴影=3.5平方厘米

[例19]（2008年“奥数网杯"六年级试题）已知A4C/）是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形O/无的

面积为6平方厘米.则阻影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AC.

由于ABC/）是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:U>=2:3,

根据梯形蝴蝶定理，S3：S3：S惭：S八⑺=2?:2X3:2x3:32=4:6:6:9，所以S树=6坪方厘

米），SQ=9（平方厘米），又L网=S"=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方

厘米）.

【巩固】右图中A8CZ）是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是平方厘米.

【分析】连接AE.

由于4）与8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么邑。8=S»OAE.

根据蝴蝶定理,S&C3x=S40cEX^&OAD=4x9=36,故S&0ci；=36,

所以&xo=6（平方厘米）.

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中A8CO是梯形，A癖）是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单

位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AE.

由于4）与8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么邑。8=5...

根据蝴蝶定理，5AOCDx=5AOC£xSAOAD=2x8=16,故S3cJ=I6,所以邑“。=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形9瓦）中,s=：x（16+8）=12（平方厘米），

所以心小=5必以一52。〃=12—8=4（平方厘米），

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8x2+4=4（平方厘米）.

【例201如图所示，BD、CF将长方形A4C/1分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，AC£O的面积是

10平方厘米.问：四边形灯的面积是多少平方厘米？

【分析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形AM的面积和三角形OEC的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为10x10+5=20（平方厘米），所以长方形的面积为

（20+10）x2=6（）（平方厘米）.四边形所的面积为60-5-10-20=25（平方厘米）.

【巩固】如图所示，BD、b将长方形A4CQ分成4块，ADE尸的面积是4平方厘米，△CED的面积是6

平方厘米.问：四边形A8所的面积是多少平方厘米？

【解析】（法1）连接笈/，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形3律的面积和三角形OEC的面积

相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形以％的面积为6x6+4=9（平方厘米），

所以长方形的面积为（9+6）x2=30（平方厘米）.四边形"的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.

（法2）由题意可知，—=-=|，根据相似三角形性质，变=竺=2,所以三角形放”的面积为：

EC63EBEC3

6♦1=9（平方厘米）.则三角形C8D面积为15平方厘米，长方形面积为15x2=30（平方厘米）.四

边形相印的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.

【巩固】（98迎春杯初赛）如图，A8CO长方形中，阳影部分是直角三角形且面积为54,8的长是16,OB

的长是9.那么四边形OEC。的面积是多少？

【解析】因为连接ED知道△ABO和的面积相等即为54，又因为8：16：9,所以△AOO的面积

为54+9x16=96，根据四边形的对角线性质知道：△麻;。的面积为：54x54+96=30.375，所以四

边形OECD的面积为：54+96-30.375=119.625（平方厘米）.

[例21]（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABC。被CE、/加分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形JBC的面积为平方厘米.

【解析】连接小、CF.四边形£7）（尸为梯形，所以黑勿=S皿，又根据蝴蝶定理，

^AEOD，S*OC~S^EOF',^AC9D•所以^A£DD'\FOC~^AEOF,^ACOD=2x8=16,所以5怔0力=4（平方厘米），

SAES=4+8=12（平方厘米）.那么长方形ABC。的面积为12x2=24平方厘米，四边形OFBC的面积

为24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形人员刀中，AQ8是直角三角形且面积为54,。。的长是16,03的

长是9.那么四边形OECO的面积是.

【解析】解法一：连接。E，依题意S“用=’x8OxAO='x9x4O=54，所以AO=12,

贝!ISAa)=L/RxAO」xl6xl2=96.

.v/jy

I...3

又因为S八以=SWE=54=/xl6xOE，所以OE=6^,

iI33

彳导SMF=-x5OxEO=-x9x6f=30f,

於2248

所以S=SBDC~SBOE=S-S=(54+96)-30-=119—.

OECDABDBOEoo

解法二：由于S"):S的=86=16:9,所以s®=54x4=96,而5.=5八。8=54，根据

3

蝴蝶定理，s.屐XS"产S.®xS.-所以SBQ"54X54+96=3(^,

0

所以%ES=S肛--S晔=SABD_S腿=(54+96)-30，=1191.

oo

【例23]如图，AA8C是等腰直角三角形，DEFG是正方形,线段AA与8相交于K点,已知正方形

O&G的面积48,AK:KA=1:3,则MKZ）的面积是多少？

【解析】由于DER7是正方形，所以D4与灰?平行，那么四边形AQAC是梯形.在梯形AO4C中,ABDK和

AACK的面积是相等的.而AK:跖=1:3,所以MCK的面积是MBC面积的——=-，那么XBDK

1+34

的面积也是A43C面积的，.

4

由于AA3C是等腰直角三角形，如果过4作8c的垂线，M为垂足，那么M是8。的中点，而且

AM=DE,可见MBM和AACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以A4BC的面积与正

方形。氏G的面积相等，为48.

那么ABDK的面积为48x'=12.

[例24]如图所示，ABC。是梯形，/W）石面积是1.8,A3尸的面积是9,MC尸的面积是27.那么阴

影AAEC面积是多少？

【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得至"必”5皿（=$刈?/5诩一而Sw,8=S诩（•（等积变换），所以可得

并且打叱=S*"—SM印=3—1.8=1.2，而54闷：5'^0=人尸：叱=9：27=1:3

所以阴影AA£C的面积是：Sy,=S“MX4=1.2x4=4.8.

【例25]如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少？

【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积?6年.

【例26]如图，已知。是“C中点，E是CD的中点，户是AC的中点.三角形A6C由③〜⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形48c的面积是多少平方厘米？

【解析】因为E是左中点，尸为AC中点，有9=2庄且平行于4），则四边形为悌形.在梯形

AD所中有③二④，②x⑤二③x④，②：⑤=")2：拓=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6+(4-1)=2,

②:⑤x4=8，所以②x⑤二④x④二16,而③二④，所以③二④二4,梯形4)£尸的面积为②、③、④、

⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有二C律与“DC的面积比为CE平方与C/7平方的比，

即为1：4.所以一ADC面积为梯形ADE产面积的」-J,即为18x3二24.因为。是比'中点，所

4-133

以与_ADC的面积相等，而的面积为ABD、-4DC的面积和，即为24+24=48平方

厘米.三角形MC的面积为48平方厘米.

［例27］如图，在一个边长为6的正方形中，放入一介边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阻影图形，那么阴影部分的面

【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况.

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,

因此空白处的总面积为6x1.5+2x4+2x2=22，阴影部分的面积为6x6-22=14.

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,

上底、下底之比为2:6=1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

比为12:1x3:1x3:32=1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的2，阴影部分的面

16

积占该梯形面积的二，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的二，那么阴影部分的面积为

1616

7

—X(62-22)=14•

16

［例28］如图，在正方形ABCD中，E、尸分别在8C与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接8人

DE,相交于点G,过G作MV、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为

5,正方形PCNG的酬为S2,则S,:S2=.

【解析】连接A。、EF.设正方形488边长为3,则CE=CF=2,I3E=DF=\Ef2=22+22=8,

以/=3?+3?=18.因为£’”2.阴y=8x18=144=122,所以箱.比）=12.由梯形蝴蝶定理，得

：S.GM：S々.：S,M£.二石尸：4。2：律.8。：£〃6。=8:18:12:12=4:9:6:6，

所以，S.gcE=S榜形BDFE=六S梯形川近,因为=3X3+2=5,S^CEF=2x2-j-2=2,

所以S梯形如£■=S^BCD-S&CEF~~•所以/SAKE=五*/=g,

由于ZXBG石底边8E上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN=1x2+l=4，NO=3-*=*,

所以AM:CN=DN:CN=3:2,贝!JS:S?=AM?：CM=9:4.

【例29]如下图，在梯形A5CD中，A5与CO平行，且CD=2A5,点E、〃分别是/V)和3C的中点,

已知阳影四边形MV的面积是54平方厘米，则梯形AHC。的面积是平方厘米.

【解析】连接斤，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形MCD面积.

..I7

设梯形A8C/)的上底为。，总面积为S.则下底为2t/,EF=—(a+2zi)=­a.

33

PJfULAB:EF=a:-a=2:3,EF:DC=-a:2a=3:4.

22

由于梯形WE和梯形瓦CD的高相等，所以

S梯…：,％形仆=(人〃+即)。产+肉=(〃+1〃)：(|〃+%)=5:7,

57

故S梯形A8FE=丘S'S梯形£此。=五S.

根据梯形蝴蝶定理，梯形相庄内各三角形的面积之比为22:2x3:2x3:32=4:6:6:9,所以