《备考指南 理科数学》课件-第11章 第3讲

第十一章第3讲[A级基础达标]1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展开式中含xeq\s\up7(\f(3,2))的项的系数为30，则a等于()A．eq\r(3) B．－eq\r(3)C．6 D．－6【答案】D【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展开式通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)xeq\s\up10(\f(5-k,2))(－1)kakx－eq\s\up7(\f(k,2))＝(－1)kakCeq\o\al(k,5)xeq\s\up7(\f(5,2))－k，令eq\f(5,2)－k＝eq\f(3,2)，则k＝1，所以T2＝－aCeq\o\al(1,5)xeq\s\up7(\f(3,2))，所以－aCeq\o\al(1,5)＝30，所以a＝－6.故选D．2．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20 B．－15C．15 D．20【答案】C【解析】设展开式中的常数项是第k＋1项，则Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(4x)6－k·(－2－x)k＝Ceq\o\al(k,6)·(－1)k·212x－2kx·2－kx＝Ceq\o\al(k,6)·(－1)k·212x－3kx，令12x－3kx＝0，所以k＝4，所以T5＝Ceq\o\al(4,6)·(－1)4＝15.3．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则实数a的值为()A．－4 B．eq\f(5,2)C．4 D．eq\f(7,2)【答案】C【解析】因为(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，所以x4的系数为4a－1＝15，所以a＝4.4．(2018年吉首月考)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含eq\f(1,x)项的系数是()A．－84 B．84C．－24 D．24【答案】A【解析】由2n＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)•(2x2)7－r·(－x－1)r＝(－1)r·27－rCeq\o\al(r,7)·x14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含eq\f(1,x)项的系数为(－1)527－5Ceq\o\al(5,7)＝－84.5．(2018年吉安模拟)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的常数项为________．【答案】120【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,5)×25－r×x5－2r，其中x项的系数为(－1)2Ceq\o\al(2,5)×23＝80，x－1项的系数为(－1)3Ceq\o\al(3,5)×22＝－40，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式的常数项为80×2＋1×(－40)＝120.[B组能力提升]6．(2018年菏泽一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N*)的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则eq\i\in(－a,a,)eq\r(a2－x2)dx＝()A．36π B．eq\f(81π,2)C．eq\f(25π,2) D．25π【答案】C【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N*)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\r(x))))r＝3n－rCeq\o\al(r,n)xn－eq\s\up7(\f(5,2))r.因为展开式中含有常数项，所以n－eq\f(5,2)r＝0，即r＝eq\f(2,5)n为整数，故n的最小值为5，即a＝5.所以eq\i\in(－a,a,)eq\r(a2－x2)dx＝eq\i\in(－5,5,)eq\r(25－x2)dx＝eq\f(1,2)×π×52＝eq\f(25π,2).7．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60C．120 D．210【答案】C【解析】在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Ceq\o\al(m,6)，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Ceq\o\al(n,4)，故f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4).所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120.8．在(2x＋xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝()A．1 B．eq\f(1,10)C．1或eq\f(1,10) D．－1【答案】C【解析】二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4(xlgx)4＝1120，所以x4(1＋lgx)＝1，两边取对数可知lg2x＋lgx＝0，得lgx＝0或lgx＝－1，故x＝1或x＝eq\f(1,10).9．(2018年临沂二模)若随机变量X～N(2，σ2)，且P(X≤1)＝P(X≥a)，则(x＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5展开式中x3项的系数是________．【答案】1620【解析】因为随机变量X～N(2，σ2)，且P(X≤1)＝P(X≥a)，所以eq\f(1＋a,2)＝2，解得a＝3.所以(x＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5＝(x＋3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5＝(x2＋6x＋9)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5的展开式通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(3x)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,5)35－rx5－eq\s\up10(\f(3r,2)).令5－eq\f(3r,2)＝1，得r＝eq\f(8,3)，不合题意；令5－eq\f(3r,2)＝2，得r＝2；令5－eq\f(3r,2)＝3，得r＝eq\f(4,3)，不合题意．所以展开式中x3项的系数是6×(－1)2Ceq\o\al(2,5)·35－2＝1620.10．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n(n∈N*)的展开式中第五项系数与第三项的系数的比值是10.(1)求展开式的各项系数和及二项式系数和；(2)求展开式中含x－1项的系数；(3)求展开式中系数绝对值最大的项．【解析】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,n)xeq\s\up10(\f(n－5r,2)).由题意，第五项系数与第三项系数比值是10，即eq\f(C\o\al(4,n)·－24,C\o\al(2,n)·－22)＝10，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．令x＝1，得各项系数和为(1－2)8＝1，二项式系数和28＝256.(2)通项公式为Tr＋1＝(－2)rCeq\o\al(r,8)x4－eq\s\up10(\f(5r,2)).令4－eq\f(