《备考指南 理科数学》课件-第4章 第5讲

第四章第5讲[A级基础达标]1．(2018年吉林模拟)要得到y＝cosx，则要将y＝sinx()A．向左平移π个单位长度 B．向右平移π个单位长度C．向左平移eq\f(π,2)个单位长度 D．向右平移eq\f(π,2)个单位长度【答案】C【解析】将y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx的图象．故选C．2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π)的图象如图所示，且过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，则φ的值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．－eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)【答案】A【解析】当x＝0时，sinφ＝eq\f(1,2)，又因为点P在y＝sin(2x＋φ)的单调增区间上，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝eq\f(π,6).3．(2018年北京模拟)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】因为f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.将f(x)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(π,6)))的图象．根据所得图象关于y轴对称，得－2φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝－eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z.令k＝－1，可得φ＝eq\f(π,3).故选B．4．(2018年德阳模拟)函数f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为()A．0 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－1【答案】D【解析】f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))的图象．由所得图象关于原点对称，得eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，结合|φ|<eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，则f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为－1.故选D．5．设ω＞0，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．【答案】eq\f(3,2)【解析】因为函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，所以eq\f(4π,3)＝n×eq\f(2π,ω)，n∈Z.所以ω＝eq\f(3,2)n，n∈Z.又ω＞0，故其最小值是eq\f(3,2).6．(2018年北京模拟)将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为________．【答案】eq\f(π,12)【解析】将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得到图象对应的解析式为y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6))).因为所得到图象关于原点对称，所以2φ－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即φ＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.又φ＞0，取k＝0，可得φ的最小值为eq\f(π,12).7．(2018年腾冲模拟)已知f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＋sin2(5π＋x)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)把函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，向下平移eq\f(1,2)个单位长度后，再把图象沿x轴翻折后得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式．【解析】(1)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＋sin2(5π＋x)＝－eq\r(3)cosxsinx＋sin2x＝－eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故函数f(x)的增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.(2)把f(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得y＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝－cos2x＋eq\f(1,2)的图象．再向下平移eq\f(1,2)个单位，得y＝－cos2x的图象．再把图象沿x轴翻折，得y＝cos2x的图象．所以g(x)＝cos2x.[B级能力提升]8．定义行列式运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinx,1cosx))的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)【答案】D【解析】由题意可知f(x)＝eq\r(3)cosx－sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，将f(x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度后，得y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋n＋\f(π,6)))为偶函数，所以n＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得n＝kπ－eq\f(π,6).又n＞0，令k＝1，得n的最小值为eq\f(5π,6).9．(2018年河南模拟)已知点A(0,2eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<ω<6，\f(π,2)<φ<π))图象上的两个点，若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(5π,12)【答案】A【解析】因为f(0)＝4sinφ＝2eq\r(3)，eq\f(π,2)<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3).由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)ω＋\f(2π,3)))＝0，得eq\f(π,6)ω＋eq\f(2π,3)＝kπ，k∈Z，又0<ω<6，所以ω＝2，故f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得g(x)＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(2π,3)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．易知x＝eq\f(π,12)是g(x)的一条对称轴．故选A．10．将f(x)＝sin2x的图象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位后得到g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，则φ的值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,12)【答案】A【解析】由题意知g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．若满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设f(x1)＝1，g(x2)＝－1，即2x1＝eq\f(π,2)＋2kπ，x1＝eq\f(π,4)＋kπ，2x2－2φ＝－eq\f(π,2)＋2mπ，x2＝－eq\f(π,4)＋φ＋mπ(k，m∈Z)．|x1－x2|min＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋k－mπ－φ))min＝eq\f(π,3)，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则φ＝eq\f(π,6).11．(2018年东莞模拟)将函数f(x)＝1－2eq\r(3)cos2x－(sinx－cosx)2的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则函数g(x)的单调递增区间是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))【解析】f(x)＝1－2eq\r(3)cos2x－(sinx－cosx)2＝1－2eq\r(3)×eq\f(1＋cos2x,2)－(1－2sinxcosx)＝sin2x－eq\r(3)cos2x－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\r(3)，f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得y＝g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－eq\r(3)的图象．令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以g(x)的单调递增区为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12))).12．(2018年长沙模拟)已知向量m＝(2cosωx，－1)，n＝(sinωx－cosωx,2)(ω＞0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心 的距离为eq\f(π,2).(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到函数g(x)的图象，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，求函数g(x)的值域．【解析】(1)f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)