《矩阵的秩及其应用浅析3400字（论文）》

【1】线性方程组的求解是高等代数中的一个重要部分，一个线性方程组是否有解的问题其本质上指的是这个线性方程组所对应的两个矩阵(系数矩阵和增广矩阵)的秩是否相同的问题。常规来说，求解线性方程组所采用的方法应为消元法，但是对于一些只需要解决解的判定和解的个数的问题和一些无解的方程组，只需要求解出两个矩阵的秩，利用线性方程组有解判别定理而不需要求解出线性方程组的解，即可解决问题，这样就可以大大降低难度，从而达到事半功倍的效果，进而也凸显展示出了矩阵的秩在判别线性方程组解的问题中的重要性。例4请说明下列方程组是否有解:解:令r2-3r1，r2-3r1于是显然,24，判别出此线性方程组无解。求解该题时若首先采用消元法计算其解，将会有一定的繁琐性，足以说明矩阵的秩在求解线性方程组中发挥的“桥梁”的作用。例5设有线性方程组问取什么值时,此方程组有唯一解；无解;有无穷多个解。解法一令令设增广矩阵为A，系数矩阵为B，则线性方程组只有一个解未知量的个数，本题中未知量的个数为3，从而3,则−λ3+λ≠0时满足条件,即λ≠0且λ≠-3即为所求。线性方程组没有解（系数矩阵的秩加一等于增广矩阵的秩）,本题中当2,1时符合条件,即λ0即为所求。线性方程组有无穷解未知量的个数,本题中23时,此时λ-3即为所求。解法二:利用克拉默法则,由于系数矩阵为方阵,故当≠0时，方程组有唯一解，由此得,当时,即且时方程组有唯一解。两问的解法同解法一。通过两种解法的对比我们可以发现矩阵的秩在解决此类带有待定系数的线性方程组解的判别类的问题时更具有优势,相比于克拉默法则其计算量更小且适用范围更广。因此当我们遇到线性方程组的解的判定问题时,首要考虑的是这种方法。例6已知是阶对称矩阵,为维实列向量,证明若则可逆的充要条件是;若,则的充要条件是方程组有解；,则可逆的充要条件是无解解:由于所以可逆,,从而可逆的充要条件是;必要性:由于,再结合,可知于是可知方程组有解,即有解；充分性:由于有解，从而也有解,即有,另外有解也说明有解,于是可知,而显然=,于是;必要性:若可逆,则的行向量组线性无关,从而,又由于,所以知无解;充分性:由于,若无解,可知,于是;若,则,取转置结合有可知方程组有解,特别地,也有解,这就与已知产生了矛盾,所以,即可逆.求极大线性无关组求解矩阵的极大线性无关组的方法:给定一个矩阵,求列向量的极大线性无关组，我们需要把矩阵化为阶梯形（通过初等行变换）从而得出矩阵的秩即可确定极大线性无关组的个数,然后找到主元(每个非零行的第一个非零元素)所在的列,则其原矩阵的列即为所求。对于给定的一个向量组来说,我们要把它们写成列向量的样子并做成矩阵,然后依据上述方法求这个矩阵的列向量的极大线性无关组即可。例7矩阵为显然它是一个阶梯形矩阵,其秩为3,从而有三个主元,分别为,它们分别在第1,2,4列,从而第1,2,4列即为所求。判别向量组的线性相关性某个向量组线性相关性的得出等价于相应的其次线性方程组(1)是否存在非零解，从而等价于(1)的系数矩阵=的秩是多少的问题。即有:向量组线性相关向量组线性无关,,,解:设原问题即等价于是否有非零解的问题,也就是其系数矩阵的秩是否为4的问题,线性相关。五、结语矩阵的秩不仅从数量上反映了矩阵的属性，而且是一个在初等变换下保持不变的量。首先本论文主要系统的归纳了矩阵秩的几种求解求解方法以及每种方法的适用条件，这样以后在求解一个具体问题中矩阵的秩时，我们便可以迅速判断出采用哪种方法更快速有效，其次，在这里总结了一些常见的秩等式与秩不等式，熟练的掌握这些知识对我们解决问题会起到事半功倍的作用。最后，在本论文中，介绍了矩阵的秩的一些简单应用，其中最为重要的是矩阵的秩可以用来判别线性方程组的解，这有利于我们更好的学习线性方程组。因此掌握好这些知识点，在遇到具体的问题时我们便可以灵活的采用恰当的方法去解决，一些较为复杂的问题也可以迎刃而解了。

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