四年级数学工程类应用题专练4

四年级数学工程类应用题专练4一、工程问题基础概念复习工程问题是小学数学应用题中的重要类型，它主要涉及工作总量、工作效率和工作时间这三个关键量。

工作总量：指的是完成一项工程所需要完成的任务总量，通常用"1"来表示整个工程，如果题目中有具体的数量，也可以直接用具体数量表示。

工作效率：是指单位时间内完成的工作量。例如，每天完成多少工作量、每小时完成多少工作量等。工作效率=工作总量÷工作时间。

工作时间：完成一项工程所花费的时间。工作时间=工作总量÷工作效率。

这三个量之间的关系是解决工程问题的核心，它们相互关联，可以通过已知条件灵活运用这些公式来求解未知量。

二、典型例题讲解

例题1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，几天可以完成这项工程？

分析：我们把这项工程的工作总量看作"1"。甲队单独做需要10天完成，那么甲队每天完成的工作量就是甲队的工作效率，即甲队工作效率=\(1\div10=\frac{1}{10}\)。乙队单独做需要15天完成，乙队工作效率=\(1\div15=\frac{1}{15}\)。两队合作时，他们每天完成的工作量就是甲队工作效率与乙队工作效率之和，即合作工作效率=\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。然后根据工作时间=工作总量÷工作效率，就可以求出两队合作完成工程所需的时间。

解答：甲队工作效率：\(1\div10=\frac{1}{10}\)乙队工作效率：\(1\div15=\frac{1}{15}\)两队合作工作效率：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)合作完成工程所需时间：\(1\div\frac{1}{6}=6\)（天）答：两队合作，6天可以完成这项工程。

例题2一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，完成任务时共用了多少小时？

分析：同样把这件工作的工作总量看作"1"。甲单独做6小时完成，甲的工作效率=\(1\div6=\frac{1}{6}\)；乙单独做9小时完成，乙的工作效率=\(1\div9=\frac{1}{9}\)。甲乙各做1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}\)。先求出需要几个完整的周期，再看剩余的工作量由谁来完成，进而求出总共用的时间。

解答：甲的工作效率：\(1\div6=\frac{1}{6}\)乙的工作效率：\(1\div9=\frac{1}{9}\)一个周期完成的工作量：\(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{5}{18}\)\(1\div\frac{5}{18}=1\times\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\)，即需要3个完整周期还剩余工作量。3个周期完成的工作量：\(3\times\frac{5}{18}=\frac{5}{6}\)剩余工作量：\(1\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\)此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{6}\)工作量需要的时间：\(\frac{1}{6}\div\frac{1}{6}=1\)（小时）总共用的时间：\(3\times2+1=7\)（小时）答：完成任务时共用了7小时。

例题3一项工程，甲、乙两队合作30天可以完成。甲队先单独做24天后，乙队加入，两队又合作了12天，这时甲队调走，乙队继续做15天才完成这项工程。甲队单独完成这项工程需要多少天？

分析：设甲队单独完成这项工程需要\(x\)天，那么甲队的工作效率就是\(\frac{1}{x}\)。因为甲、乙两队合作30天可以完成，所以甲乙合作的工作效率是\(\frac{1}{30}\)，则乙队的工作效率是\(\frac{1}{30}\frac{1}{x}\)。根据题目中的工作过程列出方程求解甲队单独完成工程所需时间。

解答：设甲队单独完成这项工程需要\(x\)天，则甲队工作效率为\(\frac{1}{x}\)，乙队工作效率为\(\frac{1}{30}\frac{1}{x}\)。甲队先做24天的工作量为\(24\times\frac{1}{x}\)。两队合作12天的工作量为\(12\times\frac{1}{30}\)。乙队再做15天的工作量为\(15\times(\frac{1}{30}\frac{1}{x})\)。可列方程：\(24\times\frac{1}{x}+12\times\frac{1}{30}+15\times(\frac{1}{30}\frac{1}{x})=1\)\(\frac{24}{x}+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\frac{15}{x}=1\)\(\frac{24}{x}\frac{15}{x}=1\frac{2}{5}\frac{1}{2}\)\(\frac{9}{x}=\frac{10}{10}\frac{4}{10}\frac{5}{10}\)\(\frac{9}{x}=\frac{1}{10}\)\(x=90\)答：甲队单独完成这项工程需要90天。

三、练习题

（一）基础练习题1.一件工作，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。两人合作，几小时可以完成？2.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。两队合作5天后，还剩下这项工程的几分之几？3.一批零件，甲单独做6天完成，乙单独做9天完成。两人合作4天后，甲比乙多做了20个零件。这批零件共有多少个？

（二）提高练习题1.一项工程，甲、乙两队合作需要18天完成。甲队先做10天，乙队再做30天也可以完成这项工程。甲队单独完成这项工程需要多少天？2.一件工作，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时......两人如此交替工作，完成任务时共用了多少小时？3.修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？

（三）拓展练习题1.一项工程，甲队单独做需60天完成，乙队单独做需40天完成。现在先由甲队做10天，然后乙队加入一起做，还要多少天才能完成？2.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？3.一项工程，甲、乙合作8天完成。如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天可以完成任务。那么乙独做这项工程要多少天完成？

四、练习题答案

（一）基础练习题答案1.甲的工作效率：\(1\div8=\frac{1}{8}\)乙的工作效率：\(1\div12=\frac{1}{12}\)合作工作效率：\(\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}\)合作完成时间：\(1\div\frac{5}{24}=1\times\frac{24}{5}=4.8\)（小时）2.甲队工作效率：\(1\div20=\frac{1}{20}\)乙队工作效率：\(1\div30=\frac{1}{30}\)两队合作5天完成的工作量：\(5\times(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})=5\times(\frac{3}{60}+\frac{2}{60})=5\times\frac{5}{60}=\frac{5}{12}\)剩下的工作量：\(1\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\)3.甲的工作效率：\(1\div6=\frac{1}{6}\)乙的工作效率：\(1\div9=\frac{1}{9}\)合作4天甲比乙多做的工作量：\(4\times(\frac{1}{6}\frac{1}{9})=4\times(\frac{3}{18}\frac{2}{18})=\frac{2}{9}\)这批零件总数：\(20\div\frac{2}{9}=20\times\frac{9}{2}=90\)（个）

（二）提高练习题答案1.设甲队单独完成这项工程需要\(x\)天，则甲队工作效率为\(\frac{1}{x}\)，乙队工作效率为\(\frac{1}{18}\frac{1}{x}\)。可列方程：\(10\times\frac{1}{x}+30\times(\frac{1}{18}\frac{1}{x})=1\)\(\frac{10}{x}+\frac{5}{3}\frac{30}{x}=1\)\(\frac{10}{x}\frac{30}{x}=1\frac{5}{3}\)\(\frac{20}{x}=\frac{2}{3}\)\(x=30\)2.甲的工作效率：\(1\div12=\frac{1}{12}\)乙的工作效率：\(1\div18=\frac{1}{18}\)一个周期完成的工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}\)，即需要7个完整周期还剩余工作量。7个周期完成的工作量：\(7\times\frac{5}{36}=\frac{35}{36}\)剩余工作量：\(1\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)工作量需要的时间：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)（小时）总共用的时间：\(7\times2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）3.甲队每天修6小时，4天完成，甲队总共工作时间：\(6\times4=24\)（小时），甲队工作效率：\(1\div24=\frac{1}{24}\)乙队每天修8小时，5天完成，乙队总共工作时间：\(8\times5=40\)（小时），乙队工作效率：\(1\div40=\frac{1}{40}\)甲乙合作工作效率：\(\frac{1}{24}+\frac{1}{40}=\frac{5}{120}+\frac{3}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}\)要求2天完成，每天工作时间：\(1\div(\frac{1}{15}\times2)=1\div\frac{2}{15}=7.5\)（小时）

（三）拓展练习题答案1.甲队工作效率：\(1\div60=\frac{1}{60}\)乙队工作效率：\(1\div40=\frac{1}{40}\)甲队先做10天完成的工作量：\(10\times\frac{1}{60}=\frac{1}{6}\)剩余工作量：\(1\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)甲乙合作工作效率：\(\frac{1}{60}+\frac{1}{40}=\frac{2}{120}+\frac{3}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}\)甲乙合作完成剩余工作量需要的时间：\(\frac{5}{6}\div\frac{1}{24}=\frac{5}{6}\times24=20\)（天）2.三人完成两个仓库搬运任务总共用的时间：\(2\div(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15})=2\div(\frac{6}{60}+\frac{5}{60}+\frac{4}{60})=2\div\frac{1}{4}=8\)（小时）甲8小时完成的工作量：\(\frac{1}{10}\times8=\frac{4}{5}\)A仓库剩余工作量由丙完成，丙帮助甲的时间：\((1\frac{4}{5})\div\frac{1}{15}=\frac{1}{5}\times15=3\)（小时）丙帮助乙的时间：\(83=5\)（小时）3.设乙队工作效率为\(x\)，甲队工作效率为\(y\)。则\(\begin{cases}8(y+x)=1\\6y+9x=1\end{cases}\)由\(8(y+x)=1\)可得\(y+x=\frac{1}{8}\)，即\(y=\frac{1}{8}x\)。将\(y=\frac{1}{8}x\)代入\(6y+9x=1\)得：\(6\times(\frac{1}{8}x)+9x=1\)\(\frac{3}{4}6x+9x=1\)\