奇穿偶不穿教学案

奇穿偶不穿教学案一、教学目标1.理解并掌握"奇穿偶不穿"的原理，能运用该原理准确求解高次不等式。2.通过对高次不等式求解过程的探究，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。3.让学生体会数学方法的简洁性和有效性，提高学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.重点深入理解"奇穿偶不穿"的含义和应用条件。熟练运用"奇穿偶不穿"法求解高次不等式。2.难点如何引导学生正确理解"奇穿偶不穿"中"奇""偶"的含义以及在实际解题中的应用。对于复杂高次不等式，如何准确进行因式分解并运用"奇穿偶不穿"法求解。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入（5分钟）通过回顾一元二次不等式的求解方法，如利用二次函数图象求解\(ax^2+bx+c>0\)（\(a\neq0\)），引出高次不等式的求解问题。例如：求解不等式\(x^23x+2>0\)，我们可以先将其因式分解为\((x1)(x2)>0\)，然后根据二次函数\(y=(x1)(x2)\)的图象，得到不等式的解集为\(x<1\)或\(x>2\)。提问：那对于更高次的不等式，如\((x1)^2(x2)(x3)^3>0\)，我们该如何求解呢？从而引入本节课的主题奇穿偶不穿。

（二）知识讲解（15分钟）1."奇穿偶不穿"原理以不等式\((x1)(x2)(x3)>0\)为例进行讲解。令\(y=(x1)(x2)(x3)\)，它的零点为\(x=1\)，\(x=2\)，\(x=3\)。这些零点将数轴分成了四个区间：\((\infty,1)\)，\((1,2)\)，\((2,3)\)，\((3,+\infty)\)。当\(x\)在\((\infty,1)\)时，\(x1<0\)，\(x2<0\)，\(x3<0\)，所以\(y=(x1)(x2)(x3)<0\)。当\(x\)在\((1,2)\)时，\(x1>0\)，\(x2<0\)，\(x3<0\)，所以\(y=(x1)(x2)(x3)>0\)。当\(x\)在\((2,3)\)时，\(x1>0\)，\(x2>0\)，\(x3<0\)，所以\(y=(x1)(x2)(x3)<0\)。当\(x\)在\((3,+\infty)\)时，\(x1>0\)，\(x2>0\)，\(x3>0\)，所以\(y=(x1)(x2)(x3)>0\)。总结求解过程：在数轴上依次标出零点\(1\)，\(2\)，\(3\)，然后从数轴右上方开始，按照"奇穿偶不穿"的原则画曲线。这里每个零点的次数都是\(1\)（奇数），所以曲线依次穿过\(x=1\)，\(x=2\)，\(x=3\)对应的点，不等式\((x1)(x2)(x3)>0\)的解集就是曲线在\(x\)轴上方所对应的区间，即\(1<x<2\)或\(x>3\)。再看不等式\((x1)^2(x2)(x3)^3>0\)。零点为\(x=1\)（偶次幂），\(x=2\)（奇次幂），\(x=3\)（奇次幂）。从数轴右上方开始画曲线，因为\(x=1\)的次数是\(2\)（偶数），所以曲线不穿过\(x=1\)这个点；而\(x=2\)和\(x=3\)的次数是奇数，曲线穿过这两个点。不等式的解集就是曲线在\(x\)轴上方所对应的区间，即\(x<2\)或\(x>3\)且\(x\neq1\)。2.总结"奇穿偶不穿"含义"奇""偶"指的是因式中未知数的次数。当因式中未知数的次数为奇数时，曲线穿过该零点对应的点；当因式中未知数的次数为偶数时，曲线不穿过该零点对应的点。

（三）例题讲解（20分钟）例1：求解不等式\((x+1)(x2)(x3)<0\)解：首先找出零点\(x=1\)，\(x=2\)，\(x=3\)。在数轴上依次标出这三个点，从数轴右上方开始画曲线。因为每个零点的次数都是\(1\)（奇数），所以曲线依次穿过\(x=1\)，\(x=2\)，\(x=3\)对应的点。不等式\((x+1)(x2)(x3)<0\)的解集就是曲线在\(x\)轴下方所对应的区间，即\(x<1\)或\(2<x<3\)。

例2：求解不等式\((x1)^3(x+2)^2\leq0\)解：零点为\(x=1\)（奇次幂），\(x=2\)（偶次幂）。在数轴上标出来，从右上方画曲线。由于\(x=1\)次数是\(3\)（奇数），曲线穿过；\(x=2\)次数是\(2\)（偶数），曲线不穿过。不等式\((x1)^3(x+2)^2\leq0\)的解集就是曲线在\(x\)轴下方及与\(x\)轴交点所对应的区间，即\(x\leq1\)且\(x\neq2\)。

例3：求解不等式\((x2)(x1)(x+3)(x+1)>0\)解：零点为\(x=2\)，\(x=1\)，\(x=3\)，\(x=1\)。标在数轴上，从右上方画曲线。各零点次数均为\(1\)（奇数），曲线依次穿过。不等式的解集为\(3<x<1\)或\(1<x<2\)。

在讲解过程中，引导学生思考每个步骤的依据，提问学生如何判断曲线的走向和不等式的解集。

（四）课堂练习（15分钟）1.求解不等式\((x3)(x+2)(x1)^2>0\)2.求解不等式\((x+4)(x5)^3\leq0\)3.求解不等式\((x2)^2(x+1)(x3)<0\)

让学生在练习本上完成，然后请几位同学上台展示解题过程，其他同学进行评价，教师最后进行总结和点评。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾"奇穿偶不穿"的原理，强调"奇""偶"是指因式中未知数的次数。2.总结运用"奇穿偶不穿"法求解高次不等式的步骤：对不等式进行因式分解，找出所有零点。在数轴上依次标出零点。从数轴右上方开始，按照"奇穿偶不穿"的原则画曲线。根据曲线在\(x\)轴上方或下方的区间确定不等式的解集。3.鼓励学生在课后多做一些相关练习，巩固所学知识。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：求解不等式\((x1)(x2)^2(x+3)^3\geq0\)求解不等式\((2x1)(3x+2)(x4)<0\)2.拓展作业：思考如果不等式中含有分式，如何结合"奇穿偶不穿"法进行求解（可查阅资料）。

五、教学反思在教学过程中，通过实际例子