等差数列求和公式教学设计

等差数列求和公式教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解等差数列前\(n\)项和公式的推导过程，掌握等差数列前\(n\)项和公式。能熟练运用等差数列前\(n\)项和公式进行相关计算。2.过程与方法目标通过公式的推导过程，培养学生观察、分析、归纳、推理等逻辑思维能力。体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法，提高学生解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生在探究活动中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。通过合作学习，培养学生的团队协作精神和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点等差数列前\(n\)项和公式的推导及应用。2.教学难点等差数列前\(n\)项和公式推导思路的获得，即如何引导学生通过倒序相加的方法发现并理解公式的推导过程。

三、教学方法1.讲授法：讲解等差数列前\(n\)项和公式的概念、推导过程及应用方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论公式推导过程中的思路和方法，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.探究法：引导学生自主探究公式的推导方法，让学生在探究过程中体验数学的发现与创造，提高学生的学习能力。

四、教学过程

（一）新课导入1.情境引入播放一段关于堆放钢管的视频，展示一堆堆放成梯形的钢管（顶层\(4\)根，底层\(10\)根，共\(7\)层）。提出问题：如何快速计算出这堆钢管的总数呢？2.引导思考让学生思考计算钢管总数的方法，鼓励学生尝试不同的思路。有的学生可能会一层一层地相加：\(4+5+6+7+8+9+10=49\)（根）。教师进一步引导：有没有更简便的方法呢？比如类似于求梯形面积的方法。引出本节课的主题等差数列求和公式。

（二）知识讲解1.等差数列前\(n\)项和公式的推导设等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)。写出\(S_{n}\)的表达式：\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)①再把\(S_{n}\)倒过来写：\(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{1}\)②①+②得：\(2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n1})+(a_{3}+a_{n2})+\cdots+(a_{n}+a_{1})\)因为\(\{a_{n}\}\)是等差数列，所以\(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n1}=a_{3}+a_{n2}=\cdots=a_{n}+a_{1}\)。那么\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\)，所以\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。教师引导学生进一步分析：由等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，将其代入\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)中，可得\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)。2.公式分析\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)这个公式表示等差数列前\(n\)项和等于项数\(n\)与首项\(a_{1}\)与末项\(a_{n}\)之和乘积的一半。例如，对于刚才堆放钢管的问题，\(n=7\)，\(a_{1}=4\)，\(a_{7}=10\)，则\(S_{7}=\frac{7\times(4+10)}{2}=49\)（根）。\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)此公式中，\(na_{1}\)表示首项\(a_{1}\)的\(n\)倍，\(\frac{n(n1)}{2}d\)表示公差\(d\)与项数\(n\)及\(n1\)乘积的一半。当已知首项\(a_{1}\)、公差\(d\)和项数\(n\)时，可直接用这个公式计算前\(n\)项和\(S_{n}\)。3.公式的变形由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)可得：\(S_{n}=\frac{d}{2}n^{2}+(a_{1}\frac{d}{2})n\)这是一个关于\(n\)的二次函数形式（当\(d\neq0\)时），其图象是一条抛物线（过原点或不过原点）。通过这种变形，可以从函数的角度进一步理解等差数列前\(n\)项和的性质。

（三）例题讲解1.例1已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n}=16\)，\(n=8\)，求\(S_{n}\)。分析：直接运用公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。解：\(S_{8}=\frac{8\times(2+16)}{2}=72\)。教师强调：在运用公式时，要准确找到公式中所需的各项值，代入计算即可。2.例2等差数列\(10\)，\(6\)，\(2\)，\(2\)，\(\cdots\)的前多少项和为\(54\)？分析：首先确定该等差数列的首项\(a_{1}=10\)，公差\(d=6(10)=4\)。然后设前\(n\)项和为\(54\)，代入公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)求解\(n\)。解：由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)，可得\(54=10n+\frac{n(n1)}{2}\times4\)。化简方程得：\(54=10n+2n^{2}2n\)，即\(2n^{2}12n54=0\)，进一步化简为\(n^{2}6n27=0\)。因式分解得\((n9)(n+3)=0\)，解得\(n=9\)或\(n=3\)（项数不能为负数，舍去）。所以该数列前\(9\)项和为\(54\)。教师引导学生总结解题步骤：先确定数列的基本量，再根据已知条件代入合适的求和公式，然后求解方程得到答案，注意对解的合理性进行判断。3.例3已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，求\(S_{110}\)。分析：设等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)，根据已知条件列出关于\(a_{1}\)和\(d\)的方程组，解出\(a_{1}\)和\(d\)，再求\(S_{110}\)。但这样计算量较大。我们可以利用等差数列前\(n\)项和公式的性质：\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)，\(\cdots\)仍然成等差数列。解：因为\(S_{10}\)，\(S_{20}S_{10}\)，\(S_{30}S_{20}\)，\(\cdots\)，\(S_{100}S_{90}\)，\(S_{110}S_{100}\)成等差数列，设其公差为\(D\)。则\(S_{100}S_{10}=(S_{20}S_{10})+(S_{30}S_{20})+\cdots+(S_{100}S_{90})=9(S_{20}S_{10})+\frac{9\times8}{2}D\)。已知\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，可得\(10100=9(S_{20}100)+\frac{9\times8}{2}D\)③又因为\(S_{20}S_{10}=S_{10}+D\)，即\(S_{20}=2S_{10}+D=200+D\)，代入③式可求出\(D\)。再根据\(S_{110}S_{100}=S_{10}+10D\)，求出\(S_{110}\)。另一种方法：由\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)可得：\(\begin{cases}10a_{1}+\frac{10\times9}{2}d=100\\100a_{1}+\frac{100\times99}{2}d=10\end{cases}\)解方程组：由\(10a_{1}+\frac{10\times9}{2}d=100\)可得\(a_{1}+\frac{9}{2}d=10\)，即\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)。将\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)代入\(100a_{1}+\frac{100\times99}{2}d=10\)得：\(100(10\frac{9}{2}d)+\frac{100\times99}{2}d=10\)\(1000450d+4950d=10\)\(4500d=990\)\(d=\frac{11}{50}\)将\(d=\frac{11}{50}\)代入\(a_{1}=10\frac{9}{2}d\)得：\(a_{1}=10\frac{9}{2}\times(\frac{11}{50})=10+\frac{99}{100}=\frac{1099}{100}\)则\(S_{110}=110\times\frac{1099}{100}+\frac{110\times109}{2}\times(\frac{11}{50})\)\(=\frac{110\times1099}{100}\frac{110\times109\times11}{100}\)\(=\frac{110\times(10991199)}{100}\)\(=110\)教师引导学生比较两种方法，体会利用等差数列性质解题的便捷性，拓宽学生的解题思路。

（四）课堂练习1.在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(a_{n}=21\)，\(d=2\)，求\(n\)及\(S_{n}\)。2.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}2n\)，求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)。3.等差数列\(2\)，\(5\)，\(8\)，\(\cdots\)的前多少项和是\(950\)？

（五）课堂小结1.学生总结请学生回顾本节课所学内容，包括等差数列前\(n\)项和公式的推导过程、公式的形式及应用。鼓励学生分享自己在学习过程中的收获和遇到的问题。2.教师补充强调等差数列前\(n\)项和公式推导过程中倒序相加法的巧妙运用，以及公式中各个量的含义。总结利用公式解题的一般步骤：首先确定数列的首项\(a_{1}\)、公差\(d\)、项数\(n\)和末项\(a_{n}\)等基本量，然后根据已知条件选择合适的公式进行计算，注意对结果的合理性进行检验。指出公式的变形及性质在解题中的应用，引导学生从不同角度理解和运用等差数列前\(n\)项和公式。

（六）布置作业1.基础作业课本课后习题第\(1\)、\(3\)、\(5\)题。要求学生认真完成，巩固所学的等差数列前\(n\)项和公式的基本应用。2.拓展作业已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{5}=35\)，\(S_{10}=120\)，求\(S_{15}\)。思考：能否通过本节课所学知识及方法找到更简便的解法？并尝试总结此类问题的一般规律。拓展作业旨在加深学生对公式的