八年级平面向量教案及练习

八年级平面向量教案及练习一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的概念，能说出向量的定义、表示方法和相关概念（如向量的模、零向量、单位向量等）。掌握向量的加法和减法运算，能运用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减运算，并能正确画出相应的图形。理解向量加法的交换律和结合律，并能运用这些运算律进行简单的向量运算。2.过程与方法目标通过实例引入向量的概念，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会从实际问题中抽象出数学概念的过程。在向量运算的教学中，引导学生通过类比数的运算，探索向量运算的规律，体会类比思想和数形结合思想在数学学习中的应用，提高学生的逻辑推理能力和运算能力。3.情感态度与价值观目标通过向量在实际生活中的应用实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性。在小组合作学习和探究活动中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点平面向量的概念和表示方法。向量的加法和减法运算及其运算法则。向量加法的交换律和结合律。2.教学难点对向量概念的理解，尤其是向量与数量的区别。向量减法运算的理解和运用，以及向量加减法运算的几何意义。

三、教学方法讲授法、讨论法、直观演示法、练习法相结合。通过讲授法系统地传授知识，利用直观演示法展示向量的概念和运算过程，组织学生进行讨论，让学生积极参与到课堂中来，再通过练习法及时巩固所学知识，提高学生的解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一些生活中与向量有关的图片，如力的作用、位移等，引导学生观察并思考这些现象有什么共同特点。2.提出问题：在物理学中，力是一个既有大小又有方向的量，那么在数学中是否也存在这样的量呢？从而引出本节课的主题平面向量。

（二）讲解新课（30分钟）1.向量的概念（10分钟）结合导入中的实例，给出向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。讲解向量的表示方法：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。用字母表示向量，如\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{c}\)等。介绍向量的相关概念：向量的模：向量\(\overrightarrow{a}\)的大小叫做向量的模，记作\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作\(\overrightarrow{0}\)，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。通过实例让学生判断一些量是否为向量，如温度、速度、位移等，加深对向量概念的理解。2.向量的加法（10分钟）实例引入：一个人从点\(A\)出发，先向东走了\(3\)米到达点\(B\)，再向北走了\(4\)米到达点\(C\)，那么从点\(A\)到点\(C\)的位移是多少？引导学生分析：从点\(A\)到点\(C\)的位移可以看作是先从点\(A\)到点\(B\)的位移与从点\(B\)到点\(C\)的位移的合成。讲解向量加法的三角形法则：已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和，记作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。强调：两个向量相加，首尾相连，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。用图形直观演示向量加法的三角形法则，并让学生练习画出两个向量相加的图形。3.向量加法的交换律和结合律（5分钟）提出问题：向量加法是否满足交换律和结合律呢？通过图形和向量的定义进行推导：交换律：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)。结合律：\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。让学生理解向量加法的运算律与数的加法运算律的相似性，体会类比思想的应用。

（三）课堂练习（10分钟）1.已知向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，用三角形法则画出\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。2.计算：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)。3.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。4.证明：\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)（利用图形和向量的定义进行证明）。

（四）讲解新课（15分钟）1.向量的减法（8分钟）实例引入：已知一个人从点\(A\)出发，先向东走了\(5\)米到达点\(B\)，再向西走了\(3\)米到达点\(C\)，那么从点\(C\)到点\(A\)的位移与从点\(A\)到点\(C\)的位移有什么关系？引导学生分析：从点\(C\)到点\(A\)的位移是从点\(A\)到点\(C\)的位移的相反向量。讲解向量减法的定义：已知向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，如果存在一个向量\(\overrightarrow{x}\)，使得\(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\)，那么\(\overrightarrow{x}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的差，记作\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{x}\)，其中\(\overrightarrow{x}\)满足\(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\)。讲解向量减法的三角形法则：已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)。强调：两个向量相减，共起点，连终点，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。用图形直观演示向量减法的三角形法则，并让学生练习画出两个向量相减的图形。2.向量加减法的综合应用（7分钟）例题：已知\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)，用\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)表示\(\overrightarrow{DB}\)、\(\overrightarrow{CB}\)。分析：根据向量减法的三角形法则，\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)；\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\)，而\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\)，由于\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)，所以\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)。讲解解题思路和步骤，让学生理解如何运用向量加减法的法则进行综合运算。

（五）课堂练习（10分钟）1.已知向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，用三角形法则画出\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)。2.计算：\(\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}\)。3.已知\(\overrightarrow{a}=(3,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)。4.已知\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)，用\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{c}\)表示\(\overrightarrow{DB}\)、\(\overrightarrow{BC}\)、\(\overrightarrow{CD}\)。

（六）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学的内容，包括向量的概念、表示方法、向量的加法和减法运算及其运算法则、向量加法的交换律和结合律等。2.强调本节课的重点和难点，让学生再次明确向量概念中大小和方向的重要性，以及向量加减法运算的几何意义和应用。3.鼓励学生在课后继续思考向量与其他数学知识的联系，以及向量在实际生活中的更多应用。

（七）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后练习题第[X]页第[X]题、第[X]题、第[X]题。2.拓展作业：已知\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)满足\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=4\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，求\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert\)和\(\vert\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\vert\)。

五、教学资源教材、多媒体课件、黑板、粉笔。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对平面向量的概念和运算有了初步的理解和掌握。在教学过程中，通过实例引入、直观演示和小组讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的参与度。但在教学过程中也发现了一些问题，比如部分学生对向量概念的理解还不够深刻，在向量加减法运算的应用中容易出现错误。在今后的教学中，需要加强对学生的个别辅导，针对学生的问题进行有针对性的讲解和练习，帮助学生更好地掌握平面向量的知识。同时，可以进一步拓展向量知识的应用，让学生体会向量在解决实际问题中的重要作用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

七、八年级平面向量练习

（一）选择题1.下列说法正确的是（）A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小2.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功。其中是向量的有（）A.4个B.5个C.6个D.7个3.若\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的方向相同，那么\(A\)、\(B\)、\(C\)三点的位置关系是（）A.\(A\)、\(B\)、\(C\)三点必在同一条直线上B.\(A\)、\(B\)、\(C\)三点必构成一个三角形C.\(A\)、\(B\)、\(C\)三点可能在同一条直线上，也可能构成一个三角形D.以上都不对4.已知向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{CD}=7\overrightarrow{a}2\overrightarrow{b}\)，则一定共线的三点是（）A.\(A\)、\(B\)、\(D\)B.\(A\)、\(B\)、\(C\)C.\(B\)、\(C\)、\(D\)D.\(A\)、\(C\)、\(D\)5.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,3)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((1,5)\)B.\((1,5)\)C.\((1,1)\)D.\((1,1)\)

（二）填空题1.已知向量\(\overrightarrow{a}\)的模为\(5\)，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\)______。2.若\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{e}\)，\(\overrightarrow{CD}=5\overrightarrow{e}\)，且\(\vert\overrightarrow{e}\vert=1\)，则\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{CD}\)的关系是______。3.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，则\(2\overrightarrow{a}3\overrightarrow{b}=\)______。4.若\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{AB}=\)______。5.已知向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)满足\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=3\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\)______。

（三）解答题1.已知\(\overrightarrow{a}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)和\(2\overrightarrow{a}5\overrightarrow{b}\)。2.已知\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，证明：\(\vert\overrightarrow{AC}\vert^2+\vert\overrightarrow{DB}\vert^2=2(\vert\overrightarrow{a}\vert^2+\vert\overrightarrow{b}\vert^2)\)。3.已知\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)是非零向量，且\(\vert\overrightarrow{a}\vert