数学 第四册（五年制高职） 课件全套 第1-5章 逻辑代数初步- 算法与程序框图

16.1.1二进制数的概念五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入超级计算机多用于国家高科技领域和尖端技术研究，是国家科技发展水平和综合国力的重要标志.中国在超级计算机方面发展迅速，目前，中国超级计算机水平与数量已位居世界前列.计算机的主要电子元器件是集成电路，电路中的电子元件与电路都具有两种对立的状态，采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，计算机内部采用二进制来存储和处理数据.二进制和我们熟悉的十进制有怎样的关系呢？问题探究

日常生活中，十进制是我们最熟悉的一种计数方式，如一年365天，

一瓶洗发水卖33.8元.（1）在十进制的计数方式下，每个位置可以使用哪些数码呢？（2）在十进制数33.8中，数码“3”出现了两次，这两次中“3“各表示什么？（3）十进制数的进位规则是什么呢？数码所在的位置称为数位，在十进制中也就是个位、十位、百位、千位、万位以及十分位、百分位、千分位等.抽象概括每个数位上可以使用的数码的个数称为这个计数制的基数.十进制

的每一个数位都可以使用~9共10个数码，因此十进制的基数是10.每个数位所代表的数称为位权数.十进制的位权数如表16-1所示.十

进制数的进位规则是“逢十进一”.抽象概括表16-1十进制位权数表位置整数部分小数部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位权数……十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和.例如,这种写法称为按权展开式.抽象概括类比十进制，二进制的基数是2，每个数位上只能使用0和1两个数码，各个数位的位权数如表16-2所示.二进制数的进位规则是“逢二进一”抽象概括表16-2二进制位权数表位置整数部分小数部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位权数……抽象概括例如，二进制数101011的意义是为了区别不同进位制的数，通常用下标指明基数.例如，表示十进制的数，表示二进制的数.计算可知，例题讲析例1

将下列二进制数换算成十进制数.

（1）（2）思维拓展除十进制、二进制外，还有其他进制，例如八进制、十六进制、六十进制等.请说出八进制的基数、每个数位上可以使用的不同数码、进位规则，并将八进制各个数位的位权数填写在表16-3中.表16-3位置整数部分…第3位第2位第1位位权数…

课堂练习1.分别写出下列各数的按权展开式.（1）（2）（3）

（4）2.分别写出下列各数的按权展开式，并计算其十进制的值.（1）（2）课堂小结1.数位、基数、位权数、按权展开式的概念.2.将二进制数转换成十进制数.16.1.2二进制数的转换五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入要将一个二进制数转换为十进制数，只要将这个二进制数写成各个数位的数码与其位权数乘积之和的形式，然后计算出结果即可.反过来，如何将一个十进制数转换为二进制数呢？问题探究

将十进制数6和21转换为二进制数分别是什么？将十进制数转换为二进制数，其实质就是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能取0和1.将十进制整数转换为二进制数，通常使用“除2取余法”，具体步骤是：将十进制整数除以基数2，余数便是二进制数的最低位；商再除以2，余数便是次低位；不断除以基数2，直到商为0，最后一次的余数是二进制数的最高位，然后按照从高位到低位的顺序写出换算结果.抽象概括例题讲析例2

将十进制数

转换为二进制数.

课堂练习1.将下列二进制数转换为十进制数.（1）（2）（3）

（4）2.将下列十进制数转换为二进制数.（1）（2）（3）

（4）课堂小结二进制数与十进制数的相互转换16.2.2逻辑联结词“非”五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究下面的两个命题在结构上有什么关系？（1）小明会计算机编程.（2）小明不会计算机编程.将上面两个命题分别记为

p：小明会计算机编程；q：小明不会计算机编程.可以看出,q

给出的判断与p恰好相反,这两个命题中肯定有一

个

是真命题,而另一个一定是假命题.

一般地，设P是一个命题，则P的非（又称否定）是一个新的命题，

记作

，读作“非P”或“P的否定”.抽象概括上述命题q可以写成:小明不会计算机编程.

显然，P与

的真假性可总结为下表.

表16-4P1001例题讲析例2写出下列命题的否定（非命题），并判断原命题及其非命题的真假.（1）p：

；（2）q：雪是白的.合作交流

写出下列命题的否定.

（1）p:对任意实数

，均有

；（2）q：存在一个实数

，使得.课堂练习1.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）正弦函数

是周期函数；（2）3是91的约数.课堂小结1.逻辑联结词“非”.2.原命题及其非命题的真假性判定.16.2.3逻辑联结词“且”和“或”五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究

下列四个命题间有什么关系？（1）小明会计算机编程.（2）小明会电路设计.（3）小明会计算机编程且小明会电路设计．（4）小明会计算机编程或小明会电路设计．命题（3）可以看成将命题（1）和命题（2）用“且”联结而成的新命题，命题（4）可以看成将命题（1）和命题（2）用“或”联结而成的新命题.抽象概括一般地，用逻辑联结词“且”把命题

和命题

联结起来，就得到一个新命题，记作

，读作“

且

”；用逻辑联结词“或”把命题

和命题

联结起来，就得到一个新命题，记作

，读作“

或

”.抽象概括

和

的真假性如表16-5所示.表16-51111100101010000由表16-5可知，当且仅当

，

同时为真，

才为真，在其他情况下，

都为假;当且仅当

，

都为假时，

才为假，其他情况下，

都为真.例题讲析例3

根据下列各组中的命题

和

，写出

和

所表示的命题，

并判断它们的真假.

（1）

：雪是黑的；

：太阳从东方升起.

（2）

：矩形的对角线互相平分；

：矩形的对角线相等.

（3）

：3是偶数；

：3不是质数.

（4）

：

；

：.思维拓展

若,,分别表示王同学语文、数学、英语考试及格，试写出下列

语句的逻辑表达式.（1）

王同学语文和数学考试都及格；（2）

王同学语文考试及格，但数学考试不及格；（3）

王同学语文考试及格，但数学和英语考试都不及格；（4）

王同学语文、数学、英语考试都不及格；（5）

王同学语文、数学、英语考试恰有一门及格；（6）

王同学语文、数学、英语考试至少有一门及格；（7）

王同学语文、数学、英语考试至少有一门不及格.

课堂练习1．将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断真假.

（1）

：6能被2整除；:6能被3整除.

（2）

：

是方程

的解；

：

是方程

的解.

（3）

：

；

：

.

（4）

：是实数；

：

是有理数.

课堂小结1.逻辑联结词“且”和“或”.2.由“且”和“或”联结的命题的真假性判定.16.2.1命题的概念五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究下列语句表述形式上有什么特点，能判断它们的真假吗？（1）二进制数11与十进制数3相等.（2）所有的正方形都是平行四边形.（3）3能被2整除.（4）一个实数的平方总大于零.（5）若

，则

.一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题.判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.用1与0表示命题的真值，真命题的真值为1，假命题的真值为0.一个命题非真即假，不可能既真又假，也不可能不真不假.抽象概括

通常用小写字母

p，q，r等来表示命题，例如:p：

；

q：如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形

是等腰三角形.因为命题p是假命题，所以命题

p的

真值为0.而命题q是真命题，所以命题q的真值为1.合作交流列出你所熟悉的命题的例子，并判断它们是真命题还是假命题.例题讲析

例1

下列语句中，哪些是命题？那些不是命题？如果是命题，指出它

是真命题还是假命题.（1）.（2）.（3）如果一个三角形的三个内角相等，那么这个三角形是等边三角形.（4）你吃过午饭了吗？（5）地球是太阳系的一颗行星.（6）平行四边形的两组对边分别平行且相等.（7）今天天气真好啊！课堂练习1．给出下列语句：①地球上的四大洋；②

；③④我国的小河流可以组成一个集合.其中，命题有().A．1个

B．2个

C．3个

D．4个；课堂练习2.判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题.（1）2022年冬季奥运会在北京举行.（2）空集是任何集合的子集.（3）若

是质数，则

是奇数.（4）指数函数是增函数吗？（5）

．课堂小结命题的概念以及真假命题的判定16.3.4“或”“与”“非”的复合运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究如图16-6所示开关电路中，灯L的状态能否用开关

A，B，C的逻辑运算来表示？图16-6日常生活中的逻辑关系往往比单一的“或”“与”“非”复杂，利用上图描述灯L和开关A，B，C的关系时，需要综合运用这些运算.事实上，我们知道只有当A闭合，且B或C闭合时，灯L才会亮，因此

L与A，B，C的关系可表示为

L=A·（B+C）.该式等号右边实际上就是“或”和“与”的复合运算.

合作交流你能举出生活中“或”“与”“非”复合运算的例子吗？例题讲析例5

在如图16-7所示的电路中，试用逻辑变量

A，B，C，D的逻辑式来表示

L．

例题讲析例6写出下列各式的运算结果：

（1）（2）思维拓展写出

的运算结果.课堂练习1.

填表.AB11100100课堂练习2.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）.课堂小结“或”“与”“非”的复合运算规则16.3.3非运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究观察如图16-5所示的电路.图16-5完成开关

A，B与灯L的状态表16-11.表16-11开关A灯L10抽象概括如果一个事件的发生依赖于一个条件，并且当这个条件成立时这个事件不发生，当这个条件不成立时这个事件发生，那么称这种逻辑关系为逻辑非.抽象概括表16-12非运算的真值表其中，“

=1，=0”是非运算的运算规则，上表称为非运算的真值表.例如，在上面的电路中，灯L亮否取决于开关A的状态，当A断开时，灯L亮；当A闭合时，灯L不亮.这里灯L与开关A的关系就是逻辑非，记作L=.可以用表16-12表示L与A之间的关系.A1001例题讲析例4

写出下列各式的运算结果.

（1）（2）

（3）思维拓展课堂练习1.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）;

（3）.课堂练习2.

填表.AB01001110课堂小结1.非运算及其运算法则.2.与运算、或运算和非运算的复合运算规则.16.3.1逻辑变量与或运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》

引入在日常生产生活中，很多事物的变化只表现为两种状态，如“错”与“对”、“假”与“真”、“关”与“开”、“断开”与“闭合”、“熄”与“亮”

等.我们可以用0表示“错”“假”“关”“断开”“熄”等状态，相对应地，

用1表示“对”“真”“开”“闭合”“亮”等状态.借助0和1，就可以建立

两个开关并联和串联电路的数学模型.问题探究观察如图16-1所示的并联电路.（1）完成开关A，B与灯L的状态列表（表16-6）.

表16-6图16-1开关A开关B灯L闭合闭合亮闭合断开亮断开闭合亮断开断开熄问题探究（2）规定“闭合”用1表示，“断开”用0表示，灯“亮”用1表示，灯“熄”用0表示，请将上表进行改写（表16-7）.表16-7开关A开关B灯L11110可以看到，灯L是否亮，取决于开关A，B的状态，它们之间具有因果关系，这种因果关系就是逻辑关系。逻辑代数研究的正是这种逻辑关系.这里的0和1只是一种符号，表示两种对立的状态，它们之间没有数的大小关系.0和1称为逻辑常量.抽象概括开关A，B，灯L的状态会发生变化，且只有两种变化的状态，这样的量称为逻辑变量，常用大写字母A，B，…，L，…表示.逻辑变量只有两种状态，只能取值0和1.逻辑代数中，有逻辑常量，有逻辑变量，也有运算的概念.对于命题

，

，命题

就是

，

的或运算，命题

就是

，

的且运算，命题

就是

的非运算.或运算、与运算和非运算这三种运算，统称逻辑运算.抽象概括抽象概括如果一个事件的发生依赖于两个条件，并且当这两个条件中至少有一个成立时，这个事件发生，那么称这种逻辑关系为逻辑或（也称为逻辑加）.抽象概括例如，在上面的并联电路中，灯L亮否取决于开关A，B的状态，当A，B中至少有一个闭合时，灯L才会亮.这里灯L与开关A，B的关系就是逻辑或，记作L=A+B.因此，表16-7可以改写为表16-8.表16-8或运算的真值表ABA+B111101011000其中，“1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0”是或运算的运算规则，上表称为或运算的真值表.例题讲析例1

写出下列各式的运算结果.（1）1+1；

（2）1+1+0；

（3）0+0；

（4）0+1+0.思维拓展

如图16-2所示的开关电路中，灯L的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？课堂练习1.写出下列各式的运算结果.

（1）1+0；

（2）0+1；

（3）0+1+1；

（4）1+1+1.2.

写出下列各式的运算结果.（1）0+0+0；

（2）1+0+1；

（3）1+1+0+1+0；

（4）0+1+0+1+0.

课堂小结1.逻辑常量、逻辑变量及其取值.2.或运算的运算法则.16.3.2与运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究观察如图16-3所示的串联电路.（1）完成开关A，B与灯L的状态列表（表16-9）.

表16-9图16-3开关A开关B灯L11110抽象概括如果一个事件的发生依赖于两个条件，并且当且仅当这两个条件同时成立时，这个事件才发生，那么称这种逻辑关系为逻辑与（也称为逻辑乘）.抽象概括例如，在上面的串联电路中，灯L亮否取决于开关A，B的状态，当A，B同时闭合时，灯L才会亮.这里灯L与开关A，B的关系就是逻辑与，记作L=A·B.在不致引起误解的情况下，“·”也可以省略，即写成L=AB.

可以用表16-10表示L与A，B之间的关系.表16-10与运算的真值表ABA·B111100010000其中，“1·1=1，1·0=0，0·1=0，0·0=0”是与运算的运算规则，上表称为与运算的真值表.例题讲析例2

写出下列各式的运算结果.（1）1·0；（2）0·0；（3）1·1.例题讲析例3

写出下列各式的运算结果.（1）1·1+0;（2）1+0·1+0.思维拓展如图16-4所示的开关电路中，灯L的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？课堂练习1.

写出下列各式的运算结果.（1）1+1·0;（2）0·1+0;（3）0·1+1·1;（4）0+1·0+1.2.

写出下列各式的运算结果.（1）0+1·0;（2）0·1+0·0;（3）1·0+0·1;（4）0+0·1+1·1.

课堂小结1.与运算及其运算规则.2.与运算和或运算的复合运算规则.16.4.3等值逻辑式五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究根据逻辑变量A，B的一切可能取值，计算

的值，你有何发现？对于这个问题，可以列出如下真值表.表16-171110000101001001101000001111可以看出，对于逻辑变量

A，B的任意一组值，

的值都相同，所以.抽象概括如果对于逻辑变量的任意一组值，两个逻辑式的值都相等，那么称这样的两个逻辑式为等值逻辑式.等值逻辑式可用“=”连接，并称为等式.需要注意，这种相等是状态的相同.合作交流利用真值表判断

是否成立.例题讲析例1

利用真值表判断下列等式是否成立.（1）

；（2）.课堂练习1.用真值表验证下列等式是否成立.（1）（2）2.用真值表验证课堂小结1.等值逻辑式的概念.2.能根据真值表判断两个逻辑式是否等值.16.4.1逻辑式的概念与运算五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究如图16-8所示开关电路中，灯的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？逻辑变量之间除了有单一的“或”“与”“非”运算外，还有它们之间的复合运算，如上图中

就是一个复合运算，其中

A，B，C都是逻辑变量.抽象概括由常量1，0以及逻辑变量经复合运算构成的式子称为逻辑

代数式、简称逻辑式.逻辑式之间的复合运算称为逻辑运算.例如，

等都是逻辑式.把表示常量的1和0以及单个变量都看作逻辑式.正如前面的讨论，逻辑运算的次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算.合作交流在如图16-9所示的电路中，试用逻辑变量

A，B，C的逻辑式来表示

L．含有变量的逻辑式的运算将在下一节内容中介绍.下面我们先看只含有常量的逻辑式的运算.例题讲析例1写出下列各式的运算结果：

（1）;（2）;（3）;思维拓展写出

的运算结果.课堂练习1.

的运算结果为（）.A．0

B．1

C．2

D．3课堂练习2.

写出下列各式的运算结果.

（1）;（2）;（3）.课堂小结1.逻辑式的概念.2.逻辑式的复合运算.16.4.2真值表五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究逻辑式

的运算结果是什么？抽象概括将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值（0或1）.因为逻辑变量只能取0或1，所以对于一个给定的逻辑式来说，人们关心的是逻辑变量为0或1时逻辑式的值，这通常可以用表格的形式将其表示出来.列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑式的值的表，称为逻辑式的真值表.例如，表16-13就是的真值表.表16-13的真值表

AB111100010001例题讲析例1

完成下面的逻辑真值表：

表16-14AB11100100思维拓展已知某逻辑式对应的真值表如表16-16所示，试写出相应的逻辑式.ABY111100010001表16-16课堂练习1.完成下面的真值表：AB2.课堂小结1.真值表的概念.

2.正确给出一个逻辑式的真值表.16.5.1常用逻辑运算律五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究根据逻辑常量的基本运算，不论逻辑变量A取1或0，你能得出下列各式的结果吗？（1）

；（2）

；（3）

；（4）.抽象概括与普通代数相类似，逻辑代数中也有许多运算律.运用逻辑运算的运算律能够将逻辑式变形或化简.常用逻辑运算律见表16-20.表16-20

常用逻辑运算律运算律名称运算律公式表示0-1律自等律重叠律互补律交换律结合律分配律吸收律反演律还原律抽象概括

上表中的运算律都可以通过真值表一一验证.利用这些运算律

化简逻辑式时，一般需要以下几个步骤：

（1）

去掉括号；

（2）

使得项数最少；

（3）

基本逻辑变量出现的次数最少.例题讲析例1

化简：（1）

；（2）;

（3）.合作交流逻辑式的化简结果是唯一的吗？试举例说明.课堂练习1.化简（1）（2）2.化简（1）（2）课堂小结1.常用逻辑运算律.2.会利用运算律化简逻辑式.16.5.2逻辑运算律的应用五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》例题讲析例1

某跃层住户在一楼楼梯装有开关

A，在二楼楼梯装有开关

B，在

一楼和二楼之间的楼梯口装有一盏电灯D.设计电路用开关

A，B

控制电灯，即改变任意一个开关的状态，都能改变电灯的状态.

请写出这个电路的逻辑表达式.下面结合实例介绍逻辑运算律的简单应用.例题讲析例2

利用运算律证明思维拓展利用运算律证明课堂练习1.利用运算律证明2.利用运算律证明课堂小结逻辑运算律的应用第16章逻辑代数初步复习五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》知识框图内容要点1.二进制及其转换（1）数码所在的位置称为数位.每个数位上可以使用的数码的个数称为这个计数制的基数.每个数位所代表的数称为位权数.十进制的基数，数码，进位规则，位权数二进制的基数，数码，进位规则，位权数（2）二进制数转换为十进制数可采用乘权相加法，十进制整数转换为二进制数可采用“除2取余法”.内容要点命题逻辑与条件判断(1)命题，真命题，假命题.真命题的真值为1，假命题的真值为0.(2)复合命题：由简单命题用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题.①非命题及其真值表②且命题及其真值表p1001pqPq111100010000③或命题及其真值表pq111101011000内容要点3.逻辑变量与基本运算（1）逻辑常量：0和1（2）逻辑变量（3）逻辑运算：即逻辑式之间的复合运算，包括或运算、与运算和非运算.ABA+B111101011000逻辑且的真值表（逻辑乘的真值表）逻辑或的真值表ABA·B111100010000逻辑非的真值表A1001内容要点4.逻辑式与真值表（1）逻辑式：逻辑式的值0或1.逻辑运算的次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算.（2）真值表：列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑式的值的表，称为逻辑式的真值表.（3）等值逻辑式内容要点5.逻辑运算律(1)常用逻辑运算律运算律名称运算律公式表示0-1律0·A=01+A=1自等律1·A=A0+A=A重叠律A·A=AA+A=A互补律A·=0A+=1交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·（B·C）=（A·B）·CA+（B+C）=（A+B）+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+（B·C）=（A+B）·（A+C）吸收律A+A·B=AA·（A+B）=A反演律还原律(2)运用运算律化简逻辑式的步骤：①去掉括号；②使得项数最少；③基本逻辑变量出现的次数最少.课内练习一、选择题1.十进制数13转换为二进制数是（

）.A.1011B.1100C.1101D.11102.二进制数1010等于十进制数（

）.A.10B.15C.18D.20

3．给出下列命题：（1）24是6的倍数且是8的倍数；

（2）5是偶数或86是偶数；（3）平行四边形的对角线互相平分且相等；

（4）1是有理数或1是无理数.其中，真命题的个数是（

）.A.1B.2C.3D.4

课内练习4.下列表达式中符合逻辑运算律的是（

）.A．1+1=2B．1·0=0C．D．5．已知p，q是两个简单命题，若为假命题，则必有（）.A．P假，q假B．P假，q真C．P真，q假D．P真，q真6.化简得（）.A．AB．BC．CD．AC课内练习二、填空题7．写出下列各数的按权展开式:（1）(31.13)10

=

；（2）(1110)2

=

.8.在逻辑运算律公式中，（A+B）·（A+C）=

.9.将二进制数101011转换为十进制数，即(101011)2

=

.10.计算：（1）=

；（2）=

.11.化简：=

.12.某电路图如图所示，若用逻辑变量A,B,C

表示L，

则

L=

.（第12题）课内练习三、解答题13．将下列二进制数转换为十进制数.（1）(1110)2；（2）(11101)2；（3）(100000)2；（4）(1001110)2

.14．将下列十进制数转换为二进制数.（1）(28)10

;（2）(37)10

;（3）(47)10

;（4）(105)10

.15．把下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断真假.（1）p：3是12的约数，q：5是12的约数；（2）p：-72∈Q，q：1.414Q.课内练习16．写出下列命题的否定，并判断真假.（1）余弦函数y=cosx在定义域内是周期函数；（2）945是9的倍数.17.将下面的真值表补充完整.AB

11

10

01

00

课内练习18.写出下列各式的运算结果.（1）;（2）;（3）.19.化简下列逻辑式：（1）；（2）;（3）;（4）.17.1.1平面及其表示五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》复习回顾初中曾学习过平面几何，研究了由点和线构成的平面图形及其基本性质.所谓平面图形，是指组成这个图形的元素都在同一个平面内.直线可以向两端无限延伸，两条平行直线无论如何延伸都不可能相交，承载这两条平行直线的平面也在不断延展.直线的延伸只有两个方向，而平面内有无数条在不同方向上的直线，因此，平面可以向四周无限延展.几何里所说的“平面”是从生活中的“平面”抽象出来的.平面是没有厚薄且可以向四周无限延展的.现实生活中的“平面”都是平面的局部形象.问题探究如何表示一个平面？问题探究

一般地，用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的一边画成水平的；当平面竖直放置时，平行四边形的一边画成竖直的.画图时通常把平行四边形的锐角画成45°，一边画成邻边的2倍长.如何表示一个平面？

抽象概括（二）空间点、线、面之间的关系

直线上有无数个点，平面内也有无数个点，直线和平面都可以看作是由满足一定条件的无数个点组成的集合，因此，可以借助集合符号来表示点与直线、点与平面、直线与直线以及直线与平面的位置关系。抽象概括抽象概括图形表示符号表示文字语言图形表示符号表示文字语言抽象概括例题讲析

合作交流

课堂练习

课堂小结1平面的概念；2点、线、面的基本位置关系，文字、符号、图形语言之间的转化.17.1.2平面的基本性质（一）五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究借助三角板和平整的桌面动手实验，观察并思考：（1）把三角板的一个顶点放在桌面上时，三角板和桌面有公共点，三角板所在的平面与桌面所在平面有多少个公共点？这些公共点有怎样的位置关系？（2）把三角板的两个顶点放在桌面上时，可以发现这条边就紧贴在桌面上，这说明什么？（3）把三角板的三个顶点都放在桌面上时，可以发现整个三角板都紧贴在桌面上，这又说明什么？公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．抽象概括

公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线．抽象概括

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且仅有一个平面．抽象概括

例题讲析例2判断下列说法是否正确.（1）因为直线可以向两端无限延长，所以它有可能超出其所在的平面；（2）两个平面相交，可以有两条不同的交线；（3）不重合的三点可以确定一个平面.例题讲析

合作交流常见的自行车的撑脚有哪几种设计？为什么要这样设计？课堂练习

（第1题）课堂练习2.如图，三条直线两两相交于A，B，C三点，这三条直线在同一个平面内吗？为什么？（第2题）课堂小结1识记平面的基本性质的3个公理.17.1.3平面的基本性质（二）五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究不共线的三点可以确定一个平面，那么：（1）直线和直线外一点可以确定一个平面吗？（2）两条相交直线可以确定一个平面吗？（3）两条平行直线可以确定一个平面吗？推论1直线和直线外一点可以确定一个平面．抽象概括推论3两条平行直线可以确定一个平面.推论2两条相交直线可以确定一个平面．例题讲析

思维拓展如图，用两条细绳检验小方凳四条腿的底端是否在同一平面内，可以怎么做？课堂练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）一点和一条直线可以确定一个平面；（2）如果三条直线两两相交，那么它们在同一个平面内;（3）如果两条直线分别与两条平行直线都相交，那么这两条直线在同一个平面内.2.一扇门可以自由转动，如果锁住了，门就固定了，这里涉及什么原理？课堂练习

（第3题）课堂小结1识记平面的基本性质的3个推论并应用17.2.1平面直线五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．抽象概括

例题讲析

等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．抽象概括

例题讲析

合作交流一个角的两边和另一个角的两边分别平行，这两个角一定相等吗？请结合下图回答下列问题：

课堂练习1.如图，把一张长方形纸片对折两次后打开，这些折痕所在的直线是否平行？为什么？（第1题）

课堂练习

（第4题）

课堂小结1识记公理4和等角定理17.2.2异面直线五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究

画异面直线时，为了显示它们不共面的特点，通常用一个或者两个平面来衬托。抽象概括（一）异面直线的概念异面直线：一般地，不同在任何一个平面内的两条直线.

2.共面直线：两条相交或平行的直线又称为共面直线.抽象概括（二）空间两条直线的位置关系1.相交直线----有且仅有一个公共点，两直线在同一个平面内；

平行直线----没有公共点，两直线在同一个平面内；

异面直线----没有公共点，两直线不同在任何一个平面内.例题讲析

抽象概括（三）异面直线的判定定理平面外一点和平面内一点的连线与平面内不过该点的直线是异面直线.例题讲析

合作交流如果两个相交平面内各有一条直线与交线相交，那么这两条直线有怎样的位置关系？课堂练习1．判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）过直线外一点有无数条直线与已知直线异面；（2）过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内所有的直线异面；（3）两条异面直线不可能平行于同一条直线.2．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线.3．若一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（

）.A．平行B．相交

C．异面D．相交或异面课堂练习

（第4题）课堂小结1异面直线的概念17.2.3异面直线所成的角五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》问题探究

抽象概括

(1)(2)(3)

抽象概括（二）异面直线垂直例题讲析

合作交流

课堂练习

（第2题）课堂小结1异面直线所成角的定义2会求正方体中的异面直线所成的角17.3.1直线与平面平行的判定五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

当门关闭时，门的四条边所在的直线都在门框所在的平面内.当门打开时，门的四条边所在的直线与门框所在的平面有什么样的位置关系？

问题探究

通过观察可知，当门打开时，门的四条边所在的直线有的在门框所在的平面内，有的与这个平面相交，还有的既不在这个平面内也不与这个平面相交.

由公理1可知，若直线a在平面a内，则直线a上的所有点都在平面a内.此时直线a与平面a有无数个公共点，如图(1).抽象概括

一般地，若直线a和平面

有且仅有一个公共点，则称直线a与平面相交.如图(2)，直线a与平面α相交于点A，可记作a∩

=A.

若直线a和平面

没有公共点，则称直线a与平面

平行，记作a//

，如图(3).抽象概括因此，一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：（1）直线在平面内——有无数个公共点；（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点；（3）直线与平面平行——没有公共点.直线与平面相交或平行统称为直线在平面外.抽象概括

如图，将长方形卡纸ABCD沿对称轴EF对折，固定平面ABFE，通过观察可以发现，当卡纸的一边CD绕EF旋转时，直线CD与直线AB平行或重合；当直线CD不在平面ABFE内时，直线CD与平面ABFE平行.直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行.抽象概括抽象概括如图，例题讲析例1如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD.例题讲析

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

六个面所在的平面中，直线AB与哪些平面平行？直线AA1与哪些平面平行？直线AC与哪些平面平行？

思维拓展

有几种方法可以判断一条直线与一个平面平行？分别需要满足哪些条件？课堂练习

1.判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线与这个平面平行.（2）过平面外一点，可以作无数条直线与这个平面平行.（3）如果两条平行直线中有一条直线平行于一个平面，那么另一条直线也与这个平面平行.（4）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行.课堂练习2.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1六个面所在的平面中，与直线CD平行的平面有

，与直线AD平行的平面有

，与直线A1D平行的平面有

课堂练习3.如图，平面

与∆ABC的两边AB,AC分别交于D,B两点，且AD:DB=AB:BC,求证：BC//平面..课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的判定17.3.2直线与平面平行的性质五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

若一条直线和一个平面平行，则它和这个平面没有公共点，平面内的任意一条直线和这条直线的位置关系就是平行或者异面.如何在平面内找到与这条直线平行的直线呢？

问题探究

木工师傅处理如图17-30所示的一块木料，他打算经过点

P和BC,将木料锯开，已知

，他应该怎样画线确定截面呢？

如图17-31所示，假定木工师傅是这样画线确定截面的，那么直线EF和直线BC之间有怎样的关系？因为，直线

EF

在平面内，所以直线

EF

和直线BC

没有公共点，而这两条直线又同在截面内，所以直线EF

与直线BC

平行.图17-30图17-31抽象概括

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

如图17-32，若

，

，

，则

.图17-32例题讲析例3如图17-33，直线AB//平面，经过的两个平面和分别和平面交于直线a,b.求证：a//b．图17-33合作交流

已知直线

和平面

平行，问：平面

内有多少条直线和直线

平行？这些直线之间的位置关系是怎样的？课堂练习1．直线，，过点平行于的直线(

).A．只有一条，且不在平面内

B．有无数条，但不一定在内C．只有一条，且在平面内

D．有无数条，且都在内2.若

，

，则直线

与平面

的位置关系是3．如图,已知

，

，

且

，求证：（第3题）课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的性质17.3.3直线与平面垂直的判定和性质五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

当直线与平面相交时，直线与平面垂直的情形随处可见，那么如何判断直线与平面是否垂直呢？

问题探究

当直线与平面相交时，直线与平面垂直的情形随处可见，那么如何判断直线与平面是否垂直呢？

图17-34通过观察可以发现，书脊和各页与桌面的交线都垂直，和桌面也垂直，且和桌面内的任意一条直线都垂直.问题探究

一般地,若直线

与平面

内的任意一条直线都垂直，则称直线

与平面

垂直，记作

.直线

称为平面

的垂线，平面

称为直线

的垂面，它们的唯一公共点

称为垂足.

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图17-35，

，垂足为

.

图17-35抽象概括

直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.如图17-36，若

则

图17-36例题讲析例4如图17-37，为正方体.（1）试判断与的位置关系.（2）与垂直吗？为什么？（3）求证：.图17-37合作交流

如图17-38，长方体

中，棱

所在的直线与平面

有怎样的位置关系？这四条棱所在的直线之间又有怎样的位置关系？抽象概括

直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行.

如图17-39，若则.图17-39例题讲析例5如图17-40，已知直线和平面平行，过直线上任意两点A,B，分别引平面的垂线AA1，BB1

，垂足分别为A1,B1

求证：AA1=BB1.图17-40思维拓展如图17-41，旗杆AB高8，它的顶端A处挂有一条10长的绳子，拉紧绳子并把它的下端分别放在地面上的两点（点B,C,D不在同一直线上）.若这两点到底端点的距离均为6m，则旗杆和地面有怎样的位置关系？图17-41课堂练习

1．如图，若

，

平面

平面

，则在

和

的边所在的直线中，与

垂直的直线有，与

垂直的直线有.课堂练习2.如图，已知平面

垂足是

，垂足是

，试判断：（1）直线

与

的位置关系；（2）直线

与平面

的位置关系.课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面垂直的判定与性质17.3.4直线与平面所成的角五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

我国是一个有着悠久造桥历史的国家，也是一个拥有世界顶级造桥技术的国家.现在外出旅游到处可见各式各样美轮美奂的斜拉桥，每座斜拉桥都有很多根斜拉索，这些斜拉索相对于桥面的倾斜程度明显不同，那么，如何表示这些不同的倾斜程度呢？

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形，如果一条直线与一个平面相交且不垂直，那么就称这条直线为这个平面的斜线.

问题探究

如图17-42，在长方体

中，直线BA1,BD1，是平面ABCD的两条斜线，如何表示它们相对于平面的倾斜程度？通过变换角度观察图形可以发现，斜线BA1在平面ABCD内的正投影为直线BA,用BA和BA1的夹角来表示斜线BA1相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的（这个角是斜线BA1与平面ABCD内所有过点B的直线的夹角中最小的角）.同样的，斜线BD1在平面ABCD内的正投影为直线BD,用BD和BD1的夹角来表示斜线相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的，如图17-43.图17-42图17-43问题探究

斜线与平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面内的射影（正投影）.如图17-44，直线

为平面

的斜线，点A为斜足，直线PO为平面

的垂线，点O为垂足，直线OA就是斜线PA在平面

内的射影.线段PO的长称为点到平面的距离.图17-44抽象概括一般地，平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.特别地，若一条直线与一个平面垂直，则称它们所成的角是直角；若一条直线与一个平面平行或在这个平面内，则称它们所成的角是0°.因此，直线与平面所成的角的取值范围是.抽象概括

容易证明，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的任意一点到这个平面的距离为定值，这个定值称为这条直线到这个平面的距离.

例题讲析例5如图17-45,在棱长为1的正方体中，求：（1）直线与底面所成角的大小；（2）直线到平面ADD1A1的距离.图17-45合作交流从平面外一点向平面引若干斜线段（指以该点和斜足为短线的线段），如果斜线段的长相等，那么它们在平面内的射影长相等吗？思维拓展虎丘塔，又称云岩寺塔，是驰名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比萨斜塔早建200多年，被尊称为“中国第一斜塔”.该塔为仿楼阁式砖木结构，共七层，高47.5.从明代起，虎丘塔开始向西北倾斜，现塔顶中心偏离底层中心2.34，求该塔与地面所成角的大小（精确到0.1°）.课堂练习1.如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？2.已知斜线段的长是它在平面上射影长的倍，求斜线段所在直线与该平面所成的角.3.如图，长方体中

，

，

，

，求：（1）直线

与平面

所成角的大小；（2）直线

到平面CDD1C1的距离.课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面垂直的判定与性质17.4.1平面与平面平行的判定五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究

前面研究了直线与直线、直线与平面的位置关系，那么两个平面有哪几种位置关系呢？在立体几何中，我们所说的两个平面是指不重合的两个平面.如图17-47，观察长方体ABCD-A1B1C1D1.平面AC与平面A1C1有没有公共点？平面AC与长方体的四个侧面有没有公共点？长方体的六个面相互之间有怎样的位置关系？抽象概括一般地，若两个平面，没有公共点，则称平面互相平行，记作（如图17-48）.若两个平面，有一个公共点，则称平面，相交于过该点的公共直线，记作（如图17-49）.

图17-48

图17-49抽象概括

两个平面的位置关系有且只有两种：（1）两平面平行———没有公共点；（2）两平面相交———有一条公共直线（无数个公共点）.

两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.如图17-50，若，，，且，，则.抽象概括

两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.若且，则例题讲析例1如图，已知两个全等的正方形ABCD，ABEF不在同一个平面内，求证：平面ADF//平面BCE.推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.

课堂练习1.如图，长方体

六个面所在的平面中，与平面

平行的平面有，与平面

平行的有，与平面

相交的平面有.课堂练习2.下列命题中正确的是（）.A.如果一个平面内有一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3.若一个平面内有不同的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面的位置关系是（).A.平行B.相交C.平行或相交D.无法判断课堂练习4.三棱锥V-ABC中,D,E,F分别是棱VA,VB,VC的中点,求证:平面DEF//平面ABC.课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的判定17.4.2平面与平面平行的性质五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究由两个平面平行的定义可知，两个平行平面没有公共点.除此之外，平行平面还有什么性质？下图中，平面ADF//平面BCE且CD//EF，直线DF与CE有怎样的位置关系？因为CD//EF，所以CD与EF在同一平面CDFE内.因为平面ADF//平面BCE，而DF和CE分别在这两个平行平面内，所以DF和CE没有公共点，也即DF和CE平行.抽象概括

两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.例题讲析例2求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段的长相等.已知：如图，，点A,D在平面内，点B,C在平面内，且AB//CD.求证：AB=CD.

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离为定值.这个定值称为这两个平行平面间的距离.合作交流

如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它与另一个平面也垂直吗？课堂练习1.已知平面

平面

,直线

⊂

,求证:

.2.如图,已知,

求证:(1)

;(2)

.课堂小结1.空间中平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的性质17.4.3二面角五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》问题探究使用笔记本电脑时,需将折叠在一起的显示屏和键盘（所在平面）打开成一定角度，而且不同的使用者打开的角度也不尽相同.如何表示这个角度呢?如图，长方体中ABCD-A1B1C1D1，平面AB1//平面DC1，平面BC1与平面AC垂直，而平面A1BCD1与平面AC斜交成一个确定的角度，如何来表示这个角度呢？问题探究

平面内的任意一条直线可以把这个平面分成两部分，其中的每一部分都可以看作是从这条直线出发的半平面.通过观察可以发现，图（1）中的平面A1BCD1和平面AC可以看作是由直线BC出发的两个半平面，这两个半平面在与直线BC垂直的平面DC1内的正投影构成一个角，如图（2）.（1）

（2）问题探究图(1）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥BC，A1B⊥BC，∠ABA1的大小与图17-54（2）中正投影所构成的角大小相等.事实上，以直线BC上的任意一点为端点，在两个半平面内分别画垂直于BC的射线，它们所成的角与∠ABA1都相等，因此，可以用∠ABA1的大小来表示两个半平面所成角的大小.（1）

（2）抽象概括

一般地，由一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面都称为二面角的面.

右图是棱为AB、两个半平面分别为

,的二面角,记作二面角

,也可记作二面角

.抽象概括如图，以二面角

的棱

上的任意一点O为端点，在二面角的两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，则这两条射线所成的角∠AOB称为二面角

的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.规定：二面角

的取值范围是

.平面角是直角的二面角称为直二面角，直二面角的两