山东省滨州市2024年中考数学试卷附真题解析

山东省滨州市2024年中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．的绝对值是（）A．2 B． C． D．【答案】B2．如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：三棱柱的表面由三角形和矩形构成，

其主视图不可能是圆.

故答案为：A.

【分析】根据三棱柱的结构特点判断即可.3．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不符合题意.

故答案为：B.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可.4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、，选项A错误；

B、，选项B错误；

C、，选项C错误；

D、，选项D正确.

故答案为：D.

【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.5．若点在第二象限，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：点在第二象限，

，

解不等式组得，

a的取值范围是.

故答案为：A.

【分析】根据第二象限的点，横坐标为负数，纵坐标为正数，列出关于字母a的不等式组，解不等式组即可得到答案.6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】A【解析】【解答】解：由表可知，这15名运动员成绩的平均数是，结论①错误；

第8名同学的成绩是1.70，

这些运动员成绩的中位数是1.70，结论②正确；

数据1.75出现了4次，出现的次数最多，

这些运动员成绩的众数是1.75，结论③正确；

上述结论中正确的是②③.

故答案为A.

【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；结合表格中的数据，分别求出这15名运动员成绩的平均数、中位数、众数，再进行判断即可.7．点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：，

反比例函数的图象在第一、三象限，

，

即.

故答案为：C.

【分析】先将配方得到，进而可判断反比例函数的图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可.8．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，

由切线长定理可得AE=AF，BD=BF，CD=CE，

AC⊥BC，

四边形CDOE是正方形，

CD=CE=OD=OE=，

AE=b-，BD=BF=a-，

AF=c-BF=c-（a-）=c-a+，

AE=AF，

b-=c-a+，

整理得，故A选项正确，不符合题意；

，

整理得，故B选项正确，不符合题意；

∵d=a+b-c，

，

是直角三角形，

，

，故C选项正确，不符合题意；

令a=3，b=4，c=5，

则=3+4-5=2，

，

，D选项错误，符合题意.

故答案为：D.

【分析】令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，先证四边形CDOE是正方形，再结合切线长定理可判断A选项；利用可判断B选项；利用，结合勾股定理和完全平方公式可判断C选项；选取特殊值可判断D选项.二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是.【答案】x≠1【解析】【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，∴x−1≠0，解得：x≠1.故答案为：x≠1.【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集即可.10．写出一个比大且比小的整数是.【答案】2或3【解析】【解答】∵，∴即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3

【分析】利用估算无理数的大小可知，即可得到比大且比小的整数.11．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为．【答案】【解析】【解答】解：抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

平移后抛物线的表达式为y=-（x-1）2+2，

平移后抛物线的顶点坐标为（1，2）.

故答案为：（1，2）.

【分析】根据抛物线的平移规律为“左加右减，上加下减”，得出平移后的抛物线的表达式，再结合二次函数的性质解答即可.12．一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为．【答案】75°【解析】【解答】解：由题可知，∠B=45°，∠D=30°，

AB∥OD，

∠BOD=∠B=45°，

∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.

故答案为：75°.

【分析】先根据平行线的性质得出∠BOD=∠B=45°，再利用三角形外角的性质求解即可.13．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是．（写出一种情况即可）【答案】或或【解析】【解答】解：∠A=∠A，

当时，或或

.

故答案为：或或.（答案不唯一）

【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加符合题意的条件即可.14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是．【答案】60°【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OACD是菱形，∴∠AOC=∠D，由圆周角定理得，∠B=∠AOC，∴∠B+2∠B=180°，解得，∠B=60°，故答案为：60°．

【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.15．如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为．【答案】【解析】【解答】解：连接AB，OC交于点P，

根据“两点之间线段最短”可知，此时四个顶点的距离之和最小，

设直线AB的表达式为y=k1x+b1，

点A（-1，3），点B（3，-1），、

，

解得，

直线AB的表达式为：y=-x+2，

点O（0，0），

可设直线OC的表达式为y=k2x，

把C（5，4）代入y=k2x得4=5k2，

解得，

直线OC的表达式为，

联立解得，

当最小时，P点坐标为.

故答案为：.

【分析】先根据“两点之间线段最短”确定点P为直线AB与直线OC的交点，再利用待定系数法分别求出直线AB和直线OC的函数表达式，联立两条直线的表达式，解方程组求交点坐标即可.16．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．⑴的长为；⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：．【答案】；取点E、F，得到正方形ABEF，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求【解析】【解答】解：（1）由图可知，；

故答案为：；

（2）如图所示，取点E，F，使得四边形ABEF是正方形，

，

设AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接CD，得到矩形ABCD，

DG∥FH，

，

，

此时，矩形ABCD的面积为，

如图所示的矩形ABCD即为所求.

故答案为：取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD.

【分析】（1）利用勾股定理计算即可；

（2）取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，利用平行线分线段成比例定理可得，进而根据矩形面积计算方法即可验证．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17．计算：．【答案】解：原式

【解析】【分析】先计算负整数指数幂、二次根式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可.18．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）解：去分母得：2（2x-1）=3（x+1），

去括号得：4x-2=3x+3，

移项得：4x-3x=3+2，

合并同类项得：x=5；（2）解：，

x（x-4）=0，

，.【解析】【分析】（1）将方程去分母，去括号，移项，合并同类项即可求解；

（2）此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单，首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.19．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．（1）写出对应的表达式；（2）化简对应的表达式．【答案】（1）解：（2）解：由题可得

=0【解析】【解答】解：（1）由题意得

【分析】（1）根据题意写出P0对应的表达式即可；

（2）先根据题意写出P1对应的表达式，然后根据异分母的加减运算法则将P1化简即可.20．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．【答案】（1）解：调查的学生总人数为30÷30%=100人，

被调查的人中选D的学生人数为：100×25%=25人，

被调查的人中选A的学生人数为：100-10-20-25-30=15人，

将条形统计图补充完整如下图：

补充条形统计图略；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72°；（2）解：1800名学生中，估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数1800×30%=540人；（3）解：画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两位同学选择相同课程的占2种，

甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．【解析】解：（1）“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；

【分析】（1）先用最喜欢E的人数除以所占百分比得出调查总人数，用调查的总人数乘以最喜欢D的人数所占的百分比可得选D的学生人数，用本次调查的总人数分别减去最喜欢B、C、D、E四类的人数即可求出最喜欢A类的人数，据此可补全条形统计图；用360°×最喜欢“手工制作”人数所占的百分比即可求出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；

（2）用全校学生人数乘以样本中最喜欢“绿植栽培”的学生人数所占百分比即可解答；

（3）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数和两位同学选择相同课程的结果数，再根据概率公式计算即可.21．【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．小军小民证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……证明：∵AD⊥BC，

∴△ADB与△ADC均为直角三角形

根据勾股定理，得……【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．【答案】（1）证明：，

∠ADB=∠ADC=90°，

，AD=AD，

，

∠B=∠C.（2）证明：小军：如图所示，分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，

，

，

即DE=DF，

，

∠ADE=∠ADF=90°，

又AD=AD，

，

∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，

BE=AB，CF=AC，

∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，

∠BAE=∠CAF，

∠1=∠2，

∠ADE=∠ADF=90°，

∠ABC=∠ACB.

小民：∵．

∴与均为直角三角形、根据勾股定理，

得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，

∴AB2-BD2=AC2-CD2，

∴AB2+CD2=AC2+BD2，

，

∴AB-CD=AC-BD，

∴(AB-CD)2=(AC-BD)2，

∴，

∴，

则，

又∵∠ADB=∠ADC=90°，

∴，

∴∠B=∠C.【解析】【分析】（1）由，得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用SAS求证即可；

（2）小军：分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，由，可得DE=DF，再证，则∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAF，则∠1=∠2，据此即可证明结论；小民：根据勾股定理得AB2-BD2=AC2-CD2，则AB2+CD2=AC2+BD2，由得AB-CD=AC-BD，进而可得，则，再证，即可得到结论.​​​​​​​22．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x（元/张）4050售出电影票数量y（张）164124（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），

依题有，

解得：，

y与x的关系式为.（2）解：由题有，

w与x之间的函数关系式为.（3）解：由（2）有，

x是整数，

定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元.【解析】【分析】（1）设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据表格中的数据利用待定系数法求函数的表达式即可；

（2）根据利润票房收入运营成本，写出w与x之间的函数关系式即可；

（3）将（2）中的函数表达式配方为顶点式，再根二次函数的性质和x是整数求解即可.23．如图，中，点D，E，F分别在三边上，且满足．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求证：四边形为菱形；【答案】（1）证明：，

DF∥AE，DE∥AF，

四边形为平行四边形.（2）证明：，

，

，

DF=DE，

四边形是平行四边形，

四边形为菱形.【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求证即可；

（2）先证则结合可证得DF=DE，再根据菱形的判定定理求证即可.24．把一块三角形余料（如图所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【答案】解：如图所示，作∠NMH的角平分线MP交NH于点P，作MP的垂直平分线交MN于点D，交MH于点E，连接PD，PE，则四边形MDPE即为所求.

【解析】【分析】作∠NMH的