河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

高一下学期第一次月考数学试题一、单选题（共40分）1.已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（）A. B. C. D.2.先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（）A. B. C. D.3.已知向量、满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知函数上有两个零点，则m的取值范围是A.（1,2） B.[1,2） C.（1,2] D.[l,2]5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.已知，，，均为锐角，则（）A. B. C. D.7.如图，在中，D是中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（）A. B. C.1 D.28.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共18分）9.下列命题中的假命题是（）A.若为非零向量，则与同向 B.设，为实数，若，则与共线C.若则 D.的充要条件是且∥10.已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共线C.不可能为3 D.若，则在上的投影向量为11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为三、填空题（共15分）12.在中，若，是的方程的两个实根，则____.13.已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．14.已知三边为4，6，8，其外心为O，则的值为__四、解答题（共77分）15.已知（1）求的值；（2）求的值．16.已知函数（1）化简，并用“五点法”作出函数在区间内的图象简图．（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．17.如图，点分别是矩形的边上的两点，，．（1）若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；（2）若，求的范围；18.如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．（1）若，求实数x，y的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．19.如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记（1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.（2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

高一下学期第一次月考数学试题一、单选题（共40分）1.已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解．【详解】法一：由题意得，所以，则；法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，所以不妨设，则，故，则，故选：A．2.先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴.【详解】由题意可得：，经过题中的一系列变换得到，令，，解得：，，对各项验证可得：当时，.故选：D3.已知向量、满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果.【详解】设向量、的夹角为，因为，可得，所以，在上的投影向量为.故选：C.4.已知函数上有两个零点，则m的取值范围是A.（1,2） B.[1,2） C.（1,2] D.[l,2]【答案】B【解析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,

.考点：辅助角公式;;零点判断;函数图像.5已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可.【详解】已知，且，则，所以，则.故选：C.6.已知，，，均为锐角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.【详解】是锐角，，，，，且，，，.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.7.如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得.【详解】设，．同理，所以联立得，所以．故选：B8.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断的单调性，令，可得为奇函数，原式等价于，结合单调性与奇偶性得到在上恒成立，求出，即可得解.【详解】因为与在定义域上单调递增，所以函数在区间上单调递增，对于函数，由，解得，所以函数在上单调递增，当时，在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，令，，则，所以为奇函数，原式等价于，进而得在上恒成立，所以上恒成立，令，，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，故实数的取值范围是.故选：D二、多选题（共18分）9.下列命题中假命题是（）A.若为非零向量，则与同向 B.设，为实数，若，则与共线C.若则 D.的充要条件是且∥【答案】BCD【解析】【分析】由单位向量可得A正确；举反例可得B错误；举反例可得C错误；当两向量互为相反向量时可得D错误.【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确；对于B，若，则与不一定共线，故B错误；对于C，若，则不一定共线；故C错误；对于D，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误；故选：BCD10.已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共线C.不可能为3 D.若，则在上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D.【详解】由题意知，.对于选项A，若向量，则，即，显然此式能成立，故A错；对于选项B，若向量，则有，即，即，显然此式不成立，故B正确；对于选项C，，则当时，，故C错；对于选项D，若，则，，则在上的投影向量为，故D正确.故选：BD11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，而，则，所以，A正确；对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此在区间上单调递增，C正确.对于D，函数的图象对称轴为，当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，此时，，当为偶数时，，而，当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；当或时，函数在上单调，最大值与最小值的差最大，，当或时均可取到等号，所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.三、填空题（共15分）12.在中，若，是的方程的两个实根，则____.【答案】【解析】【分析】列出韦达定理，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，是的方程的两个实根，所以，所以.故答案为：13.已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．【答案】【解析】【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出的取值范围.【详解】解：与夹角为锐角时，；解得；当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.14.已知的三边为4，6，8，其外心为O，则的值为__【答案】【解析】【分析】利用外心的特点，取的中点，得出，利用向量运算计算，同理得出，进而可得答案.【详解】取的中点，则，即；所以，同理可得，所以.故答案为：四、解答题（共77分）15.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角的三角函数关系得到，再由二倍角的正切公式求出；（2）由诱导公式化简再由同角的三角函数可得.【小问1详解】，解得，所以.【小问2详解】，16.已知函数（1）化简，并用“五点法”作出函数在区间内的图象简图．（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．【答案】（1），作图见解析（2）【解析】【分析】（1）先由二倍角的正弦公式和辅助角公式对函数化简，然后由五点法画图；（2）由图象平移的性质结合偶函数和诱导公式可解.【小问1详解】由可得，00100故在区间内的图象如下所示：【小问2详解】，因为为偶函数，所以，因为，故m最小值为17.如图，点分别是矩形的边上的两点，，．（1）若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；（2）若，求的范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示直角坐标系，利用坐标表示求夹角的余弦即可；（2）结合图形，由向量的加法和数量积的定义求解即可.【小问1详解】以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系，则，，，，所以，，，．【小问2详解】由，，故，则，所以，由，故．18.如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．（1）若，求实数x，y的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解；（2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值；（3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值.【小问1详解】因为所以，所以,所以.【小问2详解】由题意可知：，，又因为三点共线，所以存在实数使得,，所以，解得：，所以.【小问3详解】易知，由（2）知，又因为三点共线,所以，又，所以：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.19.如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记（1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.（2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米