广东省云浮市新兴县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

广东2024—2025学年九年级第一学期数学期末检测注意事项：1．满分120分，答题时间为120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确的）1.医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（）A.5 B.7 C.10 D.133.下列事件是必然事件的是（）A.期末考试数学得满分 B.回家的路口遇到的都是绿灯C.今天的太阳要落山 D.明天要下大雨4.抛物线顶点坐标是（）A. B. C. D.5.如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（）A B. C. D.6.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（）A. B. C. D.7.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A. B.C. D.8.如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（）A.18 B.9 C.12 D.369.剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（）A B.C. D.二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______．12.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______．13.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______．14.如图，是的两条切线，，为切点，连接交于点，交于点C，，，则的半径长为______．15.如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为______．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16.按要求解下列方程．（1）．（因式分解法）（2）．（公式法）17.如图，A，B是上的两点，连接（O，A，B三点不共线）．（1）请用无刻度直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接，则与有怎样的数量关系？请说明理由．18.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短．20.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近（精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？21.张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若要使每天销售这种河蟹平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22.如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．（1）如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合．（2）如图2，连接，交于点F，连接，且．①求证：为的切线．②若，，，直接写出的面积．23.如图，抛物线．（1）试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点．（2）若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足．①求的值．②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

广东2024—2025学年九年级第一学期数学期末检测注意事项：1．满分120分，答题时间为120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确的）1.医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．故选C．2.如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（）A.5 B.7 C.10 D.13【答案】D【解析】【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵点在内，且，∴的半径大于，直径大于，∴的直径可能为，故选：D．3.下列事件是必然事件的是（）A.期末考试数学得满分 B.回家的路口遇到的都是绿灯C.今天的太阳要落山 D.明天要下大雨【答案】C【解析】【分析】本题考查了事件的分类，掌握并理解必然事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，即可求解．【详解】解：A、期末考试数学得满分，是随机事件，不符合题意；B、回家的路口遇到的都是绿灯，是随机事件，不符合题意；C、今天的太阳要落山，是必然事件，符合题意；D、明天要下大雨，是随机事件，不符合题意．故选：C．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得答案．详解】解：∵，∴抛物线顶点坐标为，故选：A．5.如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．由圆内接四边形对角互补求出的度数即可．【详解】解：∵四边形是的内接四边形．若，∴，故选：C6.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由题意可知一共有5枚棋子，黑棋有2枚，然后根据公式求解即可．【详解】根据题意，有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，∴从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，故选：C．7.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算根的判别式的值和根的判别式的意义对A、B、C、D进行判断即可．【详解】解：A．，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；C．，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．，方程没有实数根．所以D选项不符合题意．故选：B．8.如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（）A.18 B.9 C.12 D.36【答案】A【解析】【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的确关键．连接，，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可．【详解】解：连接，，∵正六边形内接于，∴是等边三角形，∴正六边形的周长，故选：A．9.剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴，即可判断的符号，即可求解．【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴，∴，则，故选：A．10.某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得即，故选：B．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______．【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入方程即可得到答案.【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，∴，∴，故答案为：202512.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为______．【答案】36【解析】【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．【详解】解：∵点关于原点的对称点为，∴，，解得：，，∴．故答案为：36．13.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，．【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：．14.如图，是的两条切线，，为切点，连接交于点，交于点C，，，则的半径长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了切线长定理；全等三角形的性质与判定，勾股定理；证明得出，三线合一得出，设的半径长为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵是的两条切线，∴∵∴∴又∵∴，设的半径长为，则，在中，∴解得：故答案为：．15.如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：连接，，∵为的直径，∴，∵，∴，即点是的中点，，∵点是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16.按要求解下列方程．（1）．（因式分解法）（2）．（公式法）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．（1）先提公因式x，然后根据或，即可求解．（2）先根据的情况判断根的情况，再根据求根公式求解即可．【小问1详解】解：因式分解，得，∴或，解得：，【小问2详解】解：∵，，，∴，∴，∴，17.如图，A，B是上的两点，连接（O，A，B三点不共线）．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接，则与有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）见解析（2），理由见解析【解析】【分析】本题考查了作角平分线、等边对等角、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据角平分线的作法即可得解；（2）由角平分线的定义得出，由等边对等角得出，从而得到，推出，由平行线的性质即可得出结论．【小问1详解】解：如图，射线即为所求．【小问2详解】解：．理由如下：∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴．18.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：∵共有4张卡片，∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种，所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短．【答案】图1设计方案使用的彩条较短，见解析【解析】【分析】本题考查了弧长的计算，长方形的性质，分别求出两个图案的周长，然后比较即可．【详解】解：图1设计方案使用彩条的长度为；图2设计方案使用彩条的长度为．，∴图1设计方案使用的彩条较短．20.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近（精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】（1）；（2）15个【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可；（2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．【小问1详解】解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；【小问2详解】解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．设需要往盒子里再放入个白球．根据题意，得，解得．经检验，是分式方程的解，且符合题意．答：需要往盒子里再放入15个白球．21.张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？【答案】（1）（2）应降价10元，最大利润为800元【解析】【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，（1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；（2）根据题意列出二次函数，求得函数最值即可求解答案．小问1详解】设，依题意，得，解得所以与之间的函数关系式是．【小问2详解】依题意，得，∵，∴当时，．答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元．五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22.如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．（1）如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合．（2）如图2，连接，交于点F，连接，且．①求证：为的切线．②若，，，直接写出的面积．【答案】（1）（2）①见解析；②15【解析】【分析】（1）由平行线的性质得，由圆周角定理得，即可求解；（2）①证明，而为的直径，得到，即可求解；②证明，设，则中，由，得到，即可求解．【小问1详解】解：∵，