《大学物理学》精美课件（全）

大学物理学两个黄鹂鸣翠柳一行白鹭上青天窗含西岭千秋雪门泊东吴万里船绝句

杜甫爱因斯坦追光日常生活物体绪论天体光速原子尺度增加质量增加速度缩减大小牛顿力学狭义相对论量子力学广义相对论一、什么是物理学?

物理学是研究物质世界最基本形态的科学。

物理学研究的范围：

物质世界的层次和数量级。物理学(Physics)物质结构物质相互作用物质运动规律质子10-15m空间尺度：类星体

10

26m时间尺度：基本粒子寿命

10-25s宇宙寿命

1018s微观粒子介观物质宏观物质宇观物质E-15E-12E-09E-06E-031mE+03E+06E+09E+12E+15E+18E+21E+24E+27最小的细胞原子原子核基本粒子DNA长度星系团银河系最近恒星的距离太阳系太阳山哈勃半径超星系团人蛇吞尾图，形象地表示了物质空间尺寸的层次●牛顿力学：

研究物体机械运动的基本规律及关于时空相对性的规律。●热力学：

研究物质热运动的统计规律及其宏观表现。●电磁学：

研究电磁现象、物质的电磁运动规律及电磁辐射等规律。●相对论：

研究物体的高速运动效应以及相关的动力学规律。●量子力学：

研究微观物质运动现象以及基本运动规律。二、物理学的五大基本理论物理学派生出来的分支及交叉学科。物理学与数学之间有着深刻的内在联系。粒子物理学原子核物理学原子分子物理学固体物理学凝聚态物理学激光物理学等离子体物理学地球物理学生物物理学天体物理学宇宙射线物理学三、物理学是构成自然科学的理论基础物理学构成了化学、生物学、材料科学、地球物理学等学科的基础，物理学的基本概念和技术被应用到所有自然科学之中。物理学是一切自然科学的基础。

3)20世纪以来相对论、量子力学促进了原子能、计算机、激光等的广泛应用（信息化）2)19世纪70年代法拉第—麦克斯韦的电磁理论第二次工业革命（电气化）物理学的发展经历了三次大的突破，导致了三次工业革命。1)17、18世纪牛顿力学、热力学第一次工业革命（蒸汽机）四、物理学与技术●几乎所有的重大新(高)技术领域的创立，事先都在物理学中经过长期的酝酿。●

当今物理学和科学技术的关系：“没有昨日的基础科学就没有今日的技术革命。”

——

李政道两种模式并存，相互交叉，相互促进。五、物理学的方法和科学态度4）逻辑推理与数学演算：用数学语言描述物理概念和物理规律，用数学演算进行物理计算和物理推导。物理学是一门实验科学，物理学的研究方法是自然科学最常用最科学的方法。物理学的方法包括：1）观察与实验：从新的观测和实验事实提出命题；或用观察与实验的方法验证理论。3）建立理想模型：用已知的原理和事实，突出主要因素，建立理想的唯象的物理模型。2）假说：当实验事实与旧理论不相符时，根据事实提出新的假说和原理。六、怎样学习物理学爱因斯坦：

“兴趣是最好的老师。”海森堡：“科学扎根于讨论。”李政道：“物理学的精髓在于创新。”著名物理学家费曼说：科学是一种方法。“境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻。”学什么物理概念1物理框架2物理思路3物理方法4物理概念是物理学的精髓和核心。观点观念规律定律物理图像等物理框架——知识的整体性知识结构、来龙去脉、相互联系物理思路——解决问题的途径如何观察、分析、思考、研究处理问题类比法演绎法归纳法反证法模型化法等科学就是一种方法——费曼过渡三：抱着走→扶着走→指着走大学教师扮演的角色——交通警察要在“交警”的引导下，学会自己走路（学习）！过渡一：应试考试→重视学习过程积累知识培养能力提高素质大学生努力培养自我获取知识的能力！（选拔性→合格性）过渡二：特殊（对象、状态、过程）→一般（对象、状态、过程）中学物理讨论特殊情况的结论；大学物理讲一般规律。概念、思路、方法等均要发生变化！尽快完成由中学向大学的三个过渡成绩考核与作业要求1、成绩考核2、作业要求期中考试：10%作业：10%期末考试：80%总成绩：满分100分2）要求说明已知条件并画图，注明解决问题的思路和所采用的基本物理规律。1）独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不满三分之二，不准参加期末考试。作业纸上写上班级、姓名、点名册序号。

3）每周第一次课前交作业，每个班均按班级学号排序。

4）答疑地点为****，每周一次，时间*****七、教学计划●《大学物理教程》贾瑞皋主编科学出版社●《大学物理学习指导》任兰亭主编石油大学出版社●《费曼物理学讲义》●《力学世界》、《力学以外的世界》北京大学出版社教材：《大学物理学》李元成主编中国石油大学出版社

●参考书：

内容参考学时

绪论1第1章质点运动学4第2章牛顿运动定律4第3章功和能4第4章动量和角动量6第5章刚体力学基础6第6章狭义相对论6第7章气体动理论4第8章热力学基础6第9章机械振动和机械波10第10章波动光学13请允许我说明我讲这门课的主要目的。我的目的不是教你们如何应付考试，甚至不是让你们掌握这些知识，以便更好地为今后你们面临的工作或军事工作服务。我最希望的是，你们能够像真正的物理学家一样，欣赏到这个世界的美妙。物理学家们看待这个世界的方式，我相信，是这个现代化时代真正文化内涵的主要部分。也许你们学会的不仅仅是如何欣赏这种文化，甚至也愿意参加到这个人类思想诞生以来最伟大的探索中来。R.P.Feynman

(1918-1988)美国物理学家，诺贝尔物理奖获得者力学(mechanics)是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。通常把经典力学分为运动学（kinematics)、动力学(dynamics)和静力学(statics)。运动学：研究物体运动的描述。动力学：研究物体运动与物体间相互作用的联系及其规律。静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。

第1篇力学本章主要内容：1、了解运动学的基本概念（质点，参考系，坐标系）2、掌握描述质点运动的基本物理量3、平面曲线运动4、了解运动的相对性第1章质点运动学1.1

运动学的一些基本概念一、参考系和坐标系参考系：为了描述物体的运动而选取的标准物体。坐标系：为了定量描述物体的运动，在参考系上固定一个坐标系。运动描述的相对性：

所选参考系不同，对同一物体的描述也不同。

最常见的坐标是直角坐标系、自然坐标系、极坐标系等直角坐标系极坐标系自然坐标系二、时间和空间的计量

1、时间及其计量时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。

1秒的长度等于铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9192631770倍。

微观粒子的最短寿命是10-24s，宇宙的年龄大约是1018s。2、空间及其计量空间反映物质运动的广延性。

1米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度。宇宙范围的尺度1027m，微观粒子尺度10-15m。三、质点忽略了物体大小和形状，只具有物体的质量的几何点。相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础。注意1.2描述质点运动的基本物理量方向:大小：在直角坐标系中:定义：从参考点O

到质点所处位置P

所引的矢量叫做质点的位置矢量，简称位矢。表示质点到参考点的距离。的方向表示质点相对参考点的方位。一、位置矢量在直角坐标系中从质点初位置到质点末位置所引的矢量定义为位移。二、运动方程质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。在直角坐标系中，或：三、位移矢量和路程

位移矢量的大小位移矢量的方向路程是从A到B的轨迹长度，用⊿s表示。1）

和

是两个不同的概念。4）位移只取决于初末位置，与原点的选择无关。但是，位矢与原点的选择有关。2）位移与路程的区别：3）位移大小与位矢大小的增量的区别：注意四、速度矢量:表示质点运动快慢及方向的物理量1、平均速度定义：平均速度2、速度（瞬时速度）方向沿切向，并指向前进方向。在直角坐标系中速度是位置矢量随时间的变化率。质点在内位移是大小方向五、加速度矢量表示速度变化的快慢的物理量定义：平均加速度大小：瞬时加速度方向：

t0时的极限方向。在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。瞬时加速度是速度随时间的变化率。质点在在直角坐标系中：加速度的方向加速度的大小其中分量为六、运动学中的两类问题1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问题称为运动学第一类问题。解法：求导2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称为运动学的第二类问题。解法：积分解：根据质点速度的定义则有速度的大小根据质点加速度的定义

例题1-1

已知质点的运动方程是式中R，

都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。加速度的大小则有根据矢量的点积运算，分别计算

质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。结论

例题1-2一质点作平面运动，已知加速度为，其中A、B、均为正常数，且A≠B,A≠0,B≠0。初始条件为时，。求该质点的运动轨迹。解:由可得从的表示式中消去，即可得质点的运动轨迹方程为:

质点的运动轨迹为椭圆。例1-3一质点沿轴正向运动，其加速度与位置的关系为

。若在处，其速度，求质点运动到处时所具有的速度。

解：

已知，由加速度的定义式得：根据初始条件作定积分速度的方向沿轴正向。解选取竖直向上为轴的正方向，坐标原点在抛点处。设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为k，则空气阻力为此时小球的加速度为即作变换整理则得例题1-4

以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？根据初始条件，y=0时v=v0，作定积分可得当小球达到最大高度H

时，v=0，可得例1-5

已知一质点由静止出发，它的加速度在轴和轴上的分量分别为和。求时质点的速度和位置。解:

取质点的出发点为坐标原点，由初始条件为，，，对上式进行积分，得

s代入上式得利用初始条件，，对，进行积分，得s时随堂讨论3、以下五种运动形式中，保持不变的运动是

A）单摆的运动。B）匀速率圆周运动。

C）行星的椭圆轨道运动。D）抛体运动。1、一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处,其速度大小为A）B）C）D）2、质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈。在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为

A）B）C）D）√√√作业:3,4,6大学物理教程1.3平面曲线运动动轨迹平面运质点的法向单位矢量一、自然坐标系（+）路程s（-）切向单位矢量质点运动学方程质点的速度方向随位置（时间）变化二、质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度设质点绕圆心O点作半径为R的变速率圆周运动，切向单位矢量和法向单位矢量，则。由加速度的定义设A点的自然坐标为s，曲线上无限靠近A点的B点自然坐标为s+ds，A、B两点对圆心的张角。两边除以dt

得因此速度大小变化的快慢速度方向变化的快慢切向加速度法向加速度三、一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度

极轴四、圆周运动的角量描述1、角位置θ用与某一参考方向之间的夹角来描述的质点位置。2、圆周运动的运动方程3、角位移瞬时角速度4、角速度平均角速度角速度是角位置随时间的变化率。的方向规定为与转向成右手螺旋关系。瞬时角加速度五、角量与线量的关系5、角加速度平均角加速度六、圆周运动的第二类运动学问题积分积分切向加速度at和初始条件速率方程和自然坐标表示的运动方程角加速度β

和初始条件角速度方程和以角量表示的运动方程解（1）由角速度和角加速度的定义，得把t=2s代入运动方程、角速度和角加速度方程，可得例题1-6一质点作半径为R=1.0m的圆周运动，其运动方程为θ

=2t3+3t，其中θ

以rad计，t

以s计。试求：（1）t=2s时质点的角位置、角速度和角加速度。

（2）t=2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根据线量与角量的关系，可得加速度加速度的大小设加速度与法向加速度的夹角为α，则解：设加速度与速度方向的夹角为α，则即所以两边积分

例题1-7质点沿半径为R

的圆轨道运动，初速度为v0，加速度与速度方向的夹角恒定，如图所示．求速度的大小与时间的关系。

例题1-8如图1-11所示，汽车以5的匀速率在广场上沿半径为=250m的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行50m而停止，试求：（1）汽车在关闭油门前运动的加速度。（2）汽车在关闭油门后4s时运动的加速度。解：（1）汽车关闭油门前作匀速率圆周运动，其切向加速度和法向加速度分别为则，其方向指向环心O。

（2）汽车在关闭油门后滑行50m而停止。汽车的切向加速度为油门关闭4s时，汽车的速率为此时法向加速度为:总加速度的大小为:与的夹角为

例题1-9质点沿半径R=3m的圆周运动，如图所示。已知切向加速度，时质点在O'点，其速度，试求：（1）t=1s时质点速度和加速度的大小；（2）第2秒内质点所通过的路程。

解：取t=0时质点的位置O′为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻t质点的速度为v，自然坐标为s

（1）由得，利用初始条件作定积分代入t=1s，可得质点的速度和加速度的大小为

（2）由得，利用初始条件作定积分代入数据可得第2秒内质点通过的路程为

1.4相对运动同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。物体运动的描述依赖于观察者所处的参考系.一、位移关系

质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移：二、速度关系伽利略速度相加定理:（S'系相对于S系）（相对于S'系）（相对于S系）取⊿t→0时的极限值，得三、加速度关系两个参考系中的位矢（或位移）直接相加，实际上是默认两个条件：长度的测量是绝对的；时间的测量是绝对的。四、适用条件宏观、低速情况特例：若S'系相对S系作匀速运动，则有：例题补充1在河水流速v0

=2m/s

的地方有小船渡河，如希望小船以v=4m/s

的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大小和方向应如何？所以：解取河水的流向如图。与水流方向间的夹角为：北岸南岸要求的是。例题补充2倾角为α=300的劈形物体放置在水平地面上，当斜面上的木块沿斜面下滑时，劈形物体以加速度为4m/s2

向右运动。已知木块相对斜面的加速度为6m/s2

。求：木块相对地面的加速度。解：建如图坐标系。要求解的是。由于：

例题1-11一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以15速率沿平直马路行驶时，雨恰好不能落入车内，如图。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。解:选地面为S系，车为S′系，S′系相对S系运动速率为。所求雨滴相对地面的速度为，雨滴相对车的速度为。根据伽利略速度相加定理，则有且与u垂直，可得

例题1-12

在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以2的速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向，今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x，y单位矢量分别用表示），求在A船上看B船的速度。解:选地面为S系，A船为S′系，B船为运动物体，S′系相对S系运动速度为，B船对S系的运动速度。根据伽利略速度相加定理，则B船对S′系的运动速度为小结基本物理量位置矢量位移速度加速度线量角量线量与角量的关系运动的相对性作业：1-9、17、18

第3章功和能本章主要内容：1、功的概念以及保守力的功的特点2、势能的概念，了解势能与保守力的关系3、质点及质点系的动能定理

4、机械能守恒及能量守恒定律3.1功保守力一、功由所作的功2、多个力作用时的功（对质点）合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。元功1）功是标量有正有负，正负由θ决定。2）直角坐标系下：3）功是力对空间的积累，是过程量（功与路径有关）。4）SI单位：焦耳（J）1J=1Nm。例已知质点在力的作用下从（0，0）逆时针运动到（R，R）。

求力所作的功。解：说明二、几种常见力的功1、弹簧弹力的功弹簧作用在质点上的弹力为：物体由x1

移动到x2

处时弹性力所作的功为：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。 弹簧的弹力做功只与始、末位置有关，与具体路径无关。2、万有引力的功m在M的引力场沿其椭圆轨道由ra移到rb，引力对m

作的功.

万有引力所作的功只与质点的初、末位置有关，与路径无关。

万有引力的元功3、重力的功作用于质点上的重力重力的元功重力在有限过程中作的功重力的功只与初、末位置有关，与路径无关。4、摩擦力的功摩擦力的元功摩擦力的功不仅与初、末位置有关，而且与路径有关。三、保守力和非保守力保守力的环路等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的功不为零。这种力为非保守力。1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。例：重力、万有引力、弹力、静电力等。2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。证明：平均功率：瞬时功率：四、功率表示做功快慢的物理量定义：功随时间的变化率。SI单位:焦耳/秒(瓦特)3.2势能一、势能在保守力场中与相互作用的物体间的相对位置有关的能量。积分路径是任意的。质点从M

点移到零势能点M0的过程中，保守力作的功。1、势能的定义①只有保守力场才能引入势能的概念。③势能是属于整个系统的。②势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，各点的势能才具有唯一的确定值。说明2、几个典型力场的势能1）引力势能两个质量分别为M

和m的质点，当相距为r

时，它们之间的万有引力为选无限远为零势能点，则引力势能为：引力场中的势能为负值，有限远处的势能表示皆小于无穷远处的势能。2）重力势能设质点的质量为m，处于M（x，y，z）。选M0(x0，y0，0)为势能零点，则重力势能为：重力势能是由质点与零势能点的高度差所确定。设弹簧自由伸长处O点为零势能点。则弹簧形变量为x时的势能为，3）弹（簧）力势能势能是相对的，与零势能点的选择有关。势能差是绝对的，与零势能点的选择无关。两点间势能差为：说明证明：3、势能与保守力的功A

保守的关系（势能定理）保守力在某一过程所作的功，等于该过程中势能增量的负值。保守力元功与势能的关系在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。—哈密顿算符二、保守力与势能梯度末态的状态量初态的状态量过程量定义质点的动能质点的动能定理合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。

3.3动能定理一、质点的动能定理例题3-1

质量为m、线长为l的单摆，可绕o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平成角，摆球的速率和线中的张力。解：摆球受摆线拉力T和重力mg,合力作的功为由动能定理牛顿第二定律的法向分量式为:

例题补充

在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为m的滑块以速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：证明：建立自然坐标系，由牛顿第二定律即：分离变量作定积分，得：即：故：由质点的动能定理得：二、质点系的动能定理1、质点系内力与外力具有相互作用的若干个质点称为质点系。外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。根据牛顿第三定律质点系所有内力之和为零质点系所受的合外力为质点系内各质点受的外力的矢量和，即对m1:对m2:2、质点系的动能定理1）两质点系统对各质点应用动能定理：两式相加，得：即2）n

个质点的系统推广：

所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。4、内力能改变系统的总动能，但不改变系统的总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有的做功本领。3、功与动能必须对应同一惯性系。说明TA作负功、T

B作正功，其代数和为零。由动能定理得∶解得：系统初态动能为：例题3-2物体mA和mB通过一不能伸缩的细绳相连，mA由静止下滑，mB

上升，mA滑过S的距离时，两个物体的速率。

(摩擦力及滑轮的质量不计)。

解选取物体A、B与细绳组成一系统，系统所受外为重力GA、、GB

支持力N；内力为绳子的拉力。未态动能为：3.4机械能守恒定律能量守恒定律

一、质点系的功能原理由质点系动能定理知：—功能原理

系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它作的功。由势能定理知：

动能定理中的功，包括外力功和所有内力功。不要重复计算保守力的功。功能原理中的功，包括外力功和非保守内力功。注意二、机械能守恒定律也可写成：

如果系统内只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作功或对系统作功之和始终为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换；但总机械能保持不变。

条件：或只有保守内力做功两种情况机械能守恒与转换定律：三、能量守恒定律各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。例题3-3

如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R。当小球运动到圆环的底端B点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解

取弹簧、小球和地球为一个系统，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取B点处的重力势能为零，可得B点时由牛顿第二定律得例题3-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最小值为多大？

解：小球和地球组成的系统机械能守恒系统只有内力做功。解：取A和B

组成的系统，受分析力如图，水平方向不受外力，则动量守恒：补充

光滑的水平面上，有质量为的静止物体B，在B上又有一质量为的静止物体A，A受冲击，以（相对于地面）向右运动，A和B之间的摩擦系数为，A逐渐带动B一起运动，问A从开始动到相对于B静止时，在B上运动多远？质点系的动能定理功能原理机械能守恒定律小结功保守力做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。势能质点的动能定理

第4章动量和角动量本章主要内容：1、了解动量、角动量的概念2、掌握动量及角动量定理的内容与应用3、掌握动量守恒和角动量守恒定律

4、碰撞定义1、瞬时性2、矢量性3、相对性1、质点的动量在直角坐标系中：在国际单位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）4.1动量定理2、质点系的动量一、动量讨论二、质点的动量定理由牛顿第二定律表示力的时间累积，叫时间dt

内合外力的冲量。1）微分形式：2）积分形式：若为恒力：1、冲量2、动量定理1）微分形式：2）积分形式：对上式积分，在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。—

动量定理的积分式即：1、反映了过程量与状态量的关系。3、只适用于惯性系。3、动量定理分量形式系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶说明1)冲力:碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。若冲力很大,其它外力可忽略时,则：若其它外力不可忽略时,则是合外力的平均。2)平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。即：4、动量定理的应用增大、减小冲力作用三、质点系的动力学方程由两个质点组成的质点系：N个质点组成的质点系：即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。—质点系的动力学方程内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。说明1、微分形式：动量定理的微分式在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。2、积分形式：由得：对上式积分，动量定理的积分式四、质点系的动量定理3、动量定理分量形式在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。

例题4-1

人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？

解设人的质量为M，从高h处跳向地面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为t，重心下移了s。由动量定理得：设人落地后作匀减速运动到静止，则：设人从2m处跳下，重心下移1cm，则：可能发生骨折。讨论设人的体重为70kg，此时平均冲力：

解选取车厢和车厢里的煤m和即将落入车厢的煤dm为研究对象。取水平向右为正。t时刻系统的水平总动量：t+dt时刻系统的水平总动量:dt时间内水平总动量的增量：由动量定理得：例题4-2一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为⊿m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（摩擦忽略不计)4.2动量守恒定律动量守恒定律2、有以下几种情况：①不受外力。则：即系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。②外力矢量和为零。1、并不意味着每个质点的动量是不变的。注意3、各速度应是相对同一惯性参考系。4、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本，应用更广泛。③内力＞＞外力。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。④若系统所受的合外力虽然不为零,但合外力在某一方向的分量为零,则系统在该方向上动量守恒。即：

例题4-3质量为m1，仰角为α

的炮车发射了一枚质量为m2的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦。求∶1）炮弹出口时炮车的速率v1

。

2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L)。

解

1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。由x方向的动量守恒可得：由相对速度：得：水平方向不受外力，系统总动量沿x分量守恒。设炮弹相对地面的速度为v2

。解得：“－”号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。2）若以u(t)

表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经t

秒出口，在t秒内炮车沿水平方向移动了：

例题4-4光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，O’C与竖直方向成α＝60°，求弹簧被压缩的距离x.解：①设滑块A离开弹簧时速度为v,在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒②A脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，B以初速v沿圆环轨道上升。③B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时，满足

联立求解可得

例题4-5两个带理想弹簧缓冲器的小车A

和B，质量分别为m1

、m2，B不动，A

以速度与B

碰撞，已知两车的的倔强系数分别为k1

、k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？解以两小车为研究对象。其碰撞过程中，系统的机械能守恒；动量守恒。由牛顿第三定律：联立上式：

例题补充

质量为M的木块在光滑的固定斜面上由A

点静止下滑，经路程l

到B

点时，木块被一水平射来的子弹击中子弹（m、v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。解分为两个阶段：第一阶段：从A

运动到B，匀加速运动：第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力＞＞外力，可用动量守恒定律求近似解。可解得：4.3质心质心运动定理一、质心N个质点组成的系统∶位矢分别为∶定义：质点系质心的位矢即对质量连续分布的质点系∶在直角坐标系中：1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。三、质心运动定理由质心位矢对t求导，得：质心的动量等于质点系的总动量注意由两个质点组成的质点系N个质点组成的质点系：—质心运动定理上一张幻灯片

例题4-6

一长为L，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度

,为常量，x从轻端算起，求其质心。解取细杆的左端为坐标原点，在距离坐标原点为x处取微元dx。例题补充

如图所示，浮吊的质量M=20t，从岸上吊起m=2t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角θ由600转到300

，设杆长l=8m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。取质心为坐标原点。设θ在由600转到300时，吊车在水平方向上移动的距离为x1，重物移动的距离为x2。解取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。在θ=600

时在θ=300时：4.4角动量定理大小：方向：由右手螺旋定则确定。SI中：kg·m2/s质点的角动量与参考点的选择有关。定义:质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对O点的位矢为，则它对O点的角动量(动量矩)为：一、角动量1）矢量性2）相对性原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。1、质点角动量3）的直角坐标系中的分量式4）两个特例①做圆周运动质点m对圆心O

的角动量方向：与同向，垂直于转动平面，

与质点转动绕向成右手螺旋关系。结论：做匀速率圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。②做直线运动质点的角动量质量为m

的质点作直线运动。大小：方向：由右手螺旋定则确定。t′时刻质点对O点的角动量为：大小：方向：与同向。1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则2）若O取在直线上，则：t

时刻质点对O点的角动量为：讨论2、质点系的角动量质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。二、质点的角动量定理1、力矩1）大小：，d为力臂。方向：由右手螺旋定则确定。质量为m的质点在力

的作用下作曲线运动。力对参考点O的力矩为:SI中：N·m2）在直角坐标系中3）相对性：依赖于参考点O的选择。4）作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。2、质点的角动量定理将角动量对时间求导，可得：质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。微分形式积分形式角动量定理∶质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。表示作用于质点上的力矩在（t

2－t

1）内的时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。例题4-8

质量为m、线长为l

的单摆，可绕点O在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求:①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O的角动量；②摆球到达点B时，角速度的大小。解①任意位置时受力为：重力；张力。由角动量定理瞬时角动量：重力对O点的力矩：方向：张力对O点的力矩为零。三、质点系的角动量定理质点系所受的合外力矩质点系所受的合内力矩质点系角动量的时间变化率微分形式质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率。积分形式质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。说明作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。设第i个质点与第j个质点之间的相互作用力分别为：两质点相对参考点的位置矢量分别为：则两个力对参考点的力矩为大小：大小：方向：方向：4.5角动量守恒定律一、质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。

—质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、孤立体，2、有心力，与位矢在同一直线上，从而。3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。讨论解如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星径矢扫过的面积由于行星只受有心力作用，其角动量守恒例题4-9利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。面积速度:例题补充

用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动，其半径为r0

，角速度为。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r时小球的角速度。解选取平面上绳穿过的小孔O为原点。所以小球对O点的角动量守恒。因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力

对O

点的力矩：二、质点系的角动量守恒定律—角动量守恒定律

质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。1）质点系中各质点不受外力。合外力矩等于零可以分三种情况：2）质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。3）各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。合外力为零不一定合外力矩等于零！！说明例题

质量为M，长为l的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的轴O

无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过O点的轴的角动量是否守恒？合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。守恒条件：例:

例题4-11

两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？

解

选两人及轮为系统，O为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。即两人同时到达顶点。

例题4-12

如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆和的小球，系统的小球l/3处的O点在水平面桌面上转动．的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度．

（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为今有一质量为质量为/2的速度返回，

解取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各系统所受的合外力矩为零。所以，系统的角动量守恒。

解取小球与地球为系统，机械能守恒。由角动量守恒得联立解得例题4-13

质量为m的小球A,以速度v0沿质量为M半径为R的地球表面切向水平向右飞出，地轴OO′与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO′相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO′轴之间的夹角θ。4.6碰撞一、碰撞及其分类完全非弹性碰撞─碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。不一定接触2、碰撞的特点：Δt极短，内力>>外力3、碰撞分类∶弹性碰撞─碰撞后形变消失，无机械能损失。非弹性碰撞─碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能变成内能。①无外力：动量守恒（质点对质点）②无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）二、守恒定律与碰撞质点与质点的碰撞──动量守恒；质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守恒；机械能是否守恒，与碰撞种类有关，只有弹性碰撞时，机械能守恒。质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守恒，但角动量守恒；三、正碰两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是沿同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。1、碰撞定律设两个质量分别为m1、m2的小球，碰撞前两球的速度分别为v10

、v20

，碰撞后两球的速度分别为v1

、v2。牛顿认为∶碰撞后的分离速率与碰撞前两球的接近速率

成正比，比值由两球的材料决定：e

称为恢复系数e=1时，为弹性碰撞；e=0时为完全非弹性碰撞，0<e<1时，为一般非弹性碰撞。.2、一维正碰根据动量守恒定律，得由碰撞定律，得联立解得碰撞过程中动能的损失为●

e=1时，为弹性碰撞。●

e=0时为完全非弹性碰撞。●0<e<1时，为一般非弹性碰撞。几种材料的恢复系数材料玻璃与玻璃铝与铝铁与铅钢与软木e值0.930.200.120.55三、斜碰（二维碰撞）两球在碰撞前的相对速度不沿两球球心连线的碰撞叫斜碰。

如果两球是光滑的，碰撞时两球只在对心方向发生互相压缩，存在相互作用力，垂直方向上无相互作用。

选两球的连心线为x轴，与连心线垂直方向为y轴。y方向上，有x方向上，有遵循的规律与一维正碰，完全相同。系统的动量守恒

例题4-15

质量分别为m和m′的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，将m拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。1）碰撞是完全弹性的；2）碰撞是完全非弹性的。解

1）碰撞前小球m的速度，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为v和v′，则有可解得设碰撞后两物体上升的高度分别为H和H′，则上升的高度为2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得作业：4---8，9，12，17(转动惯量还没学)，19，21

第5章刚体力学基础本章主要内容：1、刚体运动学（运动状态的描述）2、定轴转动刚体的功和能3、定轴转动刚体的角动量定理及守恒定律5.1刚体运动学一、刚体平动和转动1、刚体定义:在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为

刚体；是一种特殊的质点系。特点：刚体上的任两点间的距离始终保持不变。刚体是实际物体的理想模型。刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。特征：刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等。刚体上任一点的运动规律代表刚体的平动规律。2、刚体的平动刚体上的各个质点绕同一直线做圆周运动。定轴转动：转轴在空间的位置固定不动的转动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：平面运动：也称为滚动。刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。3、刚体的转动二、刚体定轴转动的角量描述

平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:规定沿

ox

轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。角位置：刚体定轴转动的运动学方程。定轴转动只有两个转动方向。

刚体作匀变速转动时，相应公式如下：

角量与线量的关系：

线速度与角速度之间的矢量关系为:由于在定轴转动中轴的位置不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。例题5-1一半径为R=0.1m

的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t

的变化关系为

=

(

2

+

4

t

3

)

rad，式中

t以秒计。试求：1）在

t=2s

时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角

为多大时，该质点的加速度与半径成

45

o。解1）(舍去t=0

和t=-

0.55

)此时砂轮的角位置：当t=2s

时2）加速度与半径成450时有即

例题5-2

一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？解：整个过程分为三个阶段①加速阶段②匀速阶段③制动阶段

解1）棒做变加速运动：例题补充一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1）棒自水平静止开始运动，θ=π/3时,角速度ω?2）此时端点A和中点B的线速度为多大?5.2定轴转动刚体的功和能一、刚体的动能

当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。

整个刚体的动能刚体绕定轴的转动惯量

一般刚体动能：2、转动惯量的计算：

若质量离散分布：（质点，质点系）

若质量连续分布：其中：1、定义：刚体对转轴的转动惯量为刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。二、转动惯量的计算（描述刚体转动惯性大小的物理量）SI单位：kg.m2例题补充求质量为m，半径为R的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。解：设线密度为λ；例题5-3求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。

取半径为r宽为dr的薄圆环,解：设面密度为σ。例题5-4

求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=λdx。2）取C点为坐标原点。在距C点为x

处取dm。2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布（刚体的形状）、转轴的位置三个因素共同决定;说明3、平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体对该轴的转动惯量为J，则有：两轴平行；JC

为刚体绕质心轴的转动惯量d

为两平行轴间距离。例均匀圆盘对O

轴的转动惯量。说明4、垂直轴定理设一薄板，过其上一点作z轴垂直于板面，x、y轴在平板面内，若取一质元⊿mi，则有薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的转动惯量。

---垂直轴定理三、对转轴的力矩刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P，且在转动平面内,

为由点O到力的作用点P的径矢。

有两个方向，可用正负表示。方向：定义：力F对O点的力矩在z轴上的投影MZ

为力对转轴z的力矩。1）若力不在转动平面内将力分解为径向、横向和沿转轴方向的三个分量。产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。2）当有n个力作用于刚体，则对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。3）刚体的内力对转轴的力矩刚体的内力对转轴的力矩的矢量和等于零。讨论(3)、当有n个力作用于刚体，则③刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。结论：①

与转轴垂直，作用线与转轴相交的力对转轴不产生力矩。②与转轴平行的力对转轴不产生力矩。3、J的决定因素：(1)刚体的质量(2)刚体的质量分布小结1、刚体运动学。2、刚体的动能：(3)转轴的位置(４)刚体的形状4、对转轴的力矩：力F对O点的力矩在z轴上的投影MZ

为力对转轴z的力矩。四、刚体的定轴转动定律在定轴转动的刚体的P点任取一质元。

此质元所受的外力为，内力为，均在转动平面内。质量为⊿mi，由牛顿第二定律得:

建立自然坐标系，得到切向和法向分量方程：法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。

由于各质元的角加速度均相同，则刚体的定轴转动定律刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。对切向方程两边同乘以ri，可得1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、M

一定：作用不同刚体上，J大时，β

小时，转速不易改变，转动惯性大。反之，J

小，转动惯性小。—转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。应用时应注意以下问题：①力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。②选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度的正负。类比③当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用隔离法解题。对转动物体应用转动定律建立方程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。例题5-7质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和

滑轮转动的角加速度β。联合解得：

关联方程

解

对m1分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。对m2分析受力。取向下为正方向。由转动定律由牛顿运动定律例题5-6一轻绳跨过定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体,m1＞m2

。设滑轮的质量为m，半径为r,忽略摩擦。绳与滑轮之间无相对滑动。求物体的加速度。

解：由于m1＞m2

，则m1向下加速运动，m2向上加速运动，滑轮逆时针转动。规定物体运动方向为正方向。对m1

、m2分析受力。由牛顿第二定律：对滑轮分析力矩；由转动定律：关联方程联立解得例题5-8一刚体由长为

l，质量为m的均匀细杆和质量为m的小球组成，且可绕O轴在竖直平面内转动，

且

轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴O的转动惯量。2）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度。m，l解1）2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成θ角时，合外力矩:分离变量积分得:小球的法向加速度：由转动定律:五、力矩的功和功率力矩功的表达式由功的定义式:1）M恒定时2）内力矩做功为零。说明如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为---

合外力矩各外力矩做功所做的总功为合外力矩对刚体所做的功。根据功率的定义，力矩的功率可表示为

对比六、定轴转动刚体的动能定理定轴转动的动能定理设定轴转动刚体受到的合外力矩为M，根据转动定律合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能。七、刚体的重力势能八、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体的重力势能刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。若刚体定轴转动中受重力矩M重

及其它外力矩M外的作用，则根据势能定理刚体定轴转动功能原理的积分形式

刚体定轴转动功能原理的微分形式

如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，则定轴刚体转动系统的机械能守恒。例题5-10已知滑轮的质量为M，，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）解选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。设m未释放时为初态，取此时重力势能为零。当m下滑x后为末态。初态：末态：由机械能守恒定律，角量与线量的关系联立得5.3定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体对定轴的角动量对OZ轴的元角动量:

质元一个以角速度ω绕OZ

轴转动的均匀细棒

均匀细棒对OZ

轴的角动量：刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积。

刚体对定轴的角动量二、刚体的角动量定理作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。刚体定轴转动时，当转动惯量J不变时，转动定律可表示为微分形式积分形式三、刚体的角动量守恒定律1)定轴转动的刚体，若J=C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。2）若J不为恒量时，角动量守恒即Jω=恒量。这时，刚体的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变．当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。3）角动量守恒定律中的都是相对于同一转轴的．4）守恒条件：例:说明2）取细棒为研究对象，碰前细棒作平动，可按质点处理。解1）方向：3）碰撞过程中，细棒所受的外力矩为零，角动量守恒。方向：由平行轴定理：例题1光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M的均匀细棒，以速度v运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕O转动，试求∶1）细棒绕O点的转动惯量；2）碰前棒对O点的角动量；3）碰后棒转动的角速度ω

。例题5-11一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出后棒的角速度ω。已知棒的长度为l，质量为M。解取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒。设m射穿前为初态，m射穿后为末态。初态末态由角动量守恒定律，得

例题5-12如图所示，一长为2l

，质量为M的均匀细棒，可绕中点的水平轴o在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度v0垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度ω各为多少？解:以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，则系统对轴o