求数列通项公式的方法

求数列通项公式的方法一、教学目标1.让学生理解数列通项公式的概念及其重要性。2.系统地掌握求数列通项公式的各种方法，包括观察法、公式法、累加法、累乘法、构造法等。3.通过典型例题的分析和练习，培养学生运用不同方法解决数列通项公式问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。

二、教学重难点1.教学重点掌握求数列通项公式的各种方法，并能根据数列的特点选择合适的方法求解。理解每种方法的原理和适用范围。2.教学难点如何引导学生根据数列的已知条件准确判断并选择恰当的方法求通项公式。构造法中构造新数列的思路和技巧。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入（5分钟）通过展示一些简单的数列，如1，3，5，7，9，...；2，4，8，16，32，...让学生观察数列的规律，尝试写出它们的通项公式，从而引出本节课的主题求数列通项公式的方法。

（二）知识讲解（30分钟）1.数列通项公式的概念如果数列\(\{a_{n}\}\)的第\(n\)项\(a_{n}\)与\(n\)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。2.求数列通项公式的方法观察法对于一些比较简单的数列，通过观察数列的前几项的规律，直接写出其通项公式。例1：数列\(1,1,1,1,1,\cdots\)，通过观察可知\(a_{n}=(1)^{n+1}\)。例2：数列\(1,2,4,8,16,\cdots\)，通项公式为\(a_{n}=2^{n1}\)。公式法若已知数列是等差数列或等比数列，可直接利用等差数列或等比数列的通项公式来求解。等差数列通项公式：\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(d\)为公差。等比数列通项公式：\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(q\)为公比（\(q\neq0\)）。例3：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，求通项公式\(a_{n}\)。解：根据等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，可得\(a_{n}=3+2(n1)=2n+1\)。例4：已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(q=3\)，求通项公式\(a_{n}\)。解：由等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)，得\(a_{n}=2\times3^{n1}\)。累加法当已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}a_{n}=f(n)\)（\(f(n)\)是关于\(n\)的函数）时，可用累加法求通项公式。具体步骤：\(a_{n}=(a_{n}a_{n1})+(a_{n1}a_{n2})+\cdots+(a_{2}a_{1})+a_{1}\)。例5：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}a_{n}=2n\)，求\(a_{n}\)。解：\(\begin{align*}a_{n}&=(a_{n}a_{n1})+(a_{n1}a_{n2})+\cdots+(a_{2}a_{1})+a_{1}\\&=[2(n1)]+[2(n2)]+\cdots+2\times1+1\\&=2[1+2+\cdots+(n1)]+1\\&=2\times\frac{(n1)n}{2}+1\\&=n^{2}n+1\end{align*}\)累乘法当已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n)\)（\(f(n)\)是关于\(n\)的函数）时，可用累乘法求通项公式。具体步骤：\(a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n1}}\cdot\frac{a_{n1}}{a_{n2}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdota_{1}\)。例6：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=n+1\)，求\(a_{n}\)。解：\(\begin{align*}a_{n}&=\frac{a_{n}}{a_{n1}}\cdot\frac{a_{n1}}{a_{n2}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdota_{1}\\&=(n)(n1)\cdots3\cdot2\\&=\frac{(n+1)!}{2}\end{align*}\)构造法类型一：\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)（\(p\neq1\)，\(p,q\)为常数）构造新数列\(\{a_{n}+x\}\)，使其成为等比数列。设\(a_{n+1}+x=p(a_{n}+x)\)，展开得\(a_{n+1}=pa_{n}+pxx\)，对比\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)，可得\(pxx=q\)，解得\(x=\frac{q}{p1}\)。例7：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，求\(a_{n}\)。解：设\(a_{n+1}+x=2(a_{n}+x)\)，即\(a_{n+1}=2a_{n}+x\)，对比\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，得\(x=1\)。所以数列\(\{a_{n}+1\}\)是以\(a_{1}+1=2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列。则\(a_{n}+1=2\times2^{n1}=2^{n}\)，所以\(a_{n}=2^{n}1\)。类型二：\(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)（\(p\neq1\)，\(p,q\)为常数）两边同时除以\(q^{n+1}\)，得到\(\frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{a_{n}}{q^{n}}+\frac{1}{q}\)，令\(b_{n}=\frac{a_{n}}{q^{n}}\)，则\(b_{n+1}=\frac{p}{q}b_{n}+\frac{1}{q}\)，转化为类型一求解。例8：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3a_{n}+2^{n}\)，求\(a_{n}\)。解：两边同时除以\(2^{n+1}\)，得\(\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a_{n}}{2^{n}}+\frac{1}{2}\)。令\(b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}\)，则\(b_{n+1}=\frac{3}{2}b_{n}+\frac{1}{2}\)。设\(b_{n+1}+x=\frac{3}{2}(b_{n}+x)\)，展开得\(b_{n+1}=\frac{3}{2}b_{n}+\frac{1}{2}x\)，对比\(b_{n+1}=\frac{3}{2}b_{n}+\frac{1}{2}\)，得\(x=1\)。所以数列\(\{b_{n}+1\}\)是以\(b_{1}+1=\frac{a_{1}}{2}+1=\frac{3}{2}\)为首项，\(\frac{3}{2}\)为公比的等比数列。则\(b_{n}+1=\frac{3}{2}\times(\frac{3}{2})^{n1}=(\frac{3}{2})^{n}\)，所以\(b_{n}=(\frac{3}{2})^{n}1\)。又因为\(b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}\)，所以\(a_{n}=2^{n}[(\frac{3}{2})^{n}1]=3^{n}2^{n}\)。

（三）例题分析（20分钟）例1：已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+2n\)，求\(a_{n}\)。解：当\(n=1\)时，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+2\times1=3\)。当\(n\geq2\)时，\(a_{n}=S_{n}S_{n1}=(n^{2}+2n)[(n1)^{2}+2(n1)]\)\(=n^{2}+2n(n^{2}2n+1+2n2)\)\(=n^{2}+2nn^{2}+2n12n+2\)\(=2n+1\)。当\(n=1\)时，\(a_{1}=3\)也满足\(a_{n}=2n+1\)。所以\(a_{n}=2n+1\)。

例2：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}\)，求\(a_{n}\)。解：因为\(a_{n+1}a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}\)。所以\(a_{n}=(a_{n}a_{n1})+(a_{n1}a_{n2})+\cdots+(a_{2}a_{1})+a_{1}\)\(=(\frac{1}{n1}\frac{1}{n})+(\frac{1}{n2}\frac{1}{n1})+\cdots+(1\frac{1}{2})+1\)\(=2\frac{1}{n}\)。

例3：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+1\)，求\(a_{n}\)。解：设\(a_{n+1}+x=\frac{1}{2}(a_{n}+x)\)，展开得\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}\frac{1}{2}x\)，对比\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+1\)，得\(\frac{1}{2}x=1\)，解得\(x=2\)。所以数列\(\{a_{n}2\}\)是以\(a_{1}2=0\)为首项，\(\frac{1}{2}\)为公比的等比数列。则\(a_{n}2=0\times(\frac{1}{2})^{n1}=0\)，所以\(a_{n}=2\)。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=3n^{2}n\)，求\(a_{n}\)。2.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}a_{n}=4n\)，求\(a_{n}\)。3.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3a_{n}+2\)，求\(a_{n}\)。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾求数列通项公式的几种方法：观察法、公式法、累加法、累乘法、构造法。2.强调每种方法的适用条件和解题要点。3.鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握求数列通项公式的方法。

（六）布置作业（5分钟）1.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+2a_{n}}\)，求\(a_{n}\)。2.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=2a_{n}1\)，求\(a_{n}\)。3.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3a_{n}+3^{n}\)，求\(a_{n}\)。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对求数列通项公式的方