小升初工程问题

小升初工程问题一、工程问题概述工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生逻辑思维能力的重要工具。它是把工作总量看成单位"1"的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

工程问题的基本数量关系为：工作效率×工作时间=工作总量。

工作效率是指单位时间内完成的工作量，比如每天生产多少个零件、每小时完成多少任务等；工作时间就是完成工作所花费的时长；工作总量则是整个工作任务的总量。

二、工程问题的基本题型及解法

（一）已知工作总量和工作时间，求工作效率1.例题一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。两队合做，每天完成这项工程的几分之几？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲队单独做10天完成，根据工作效率=工作总量÷工作时间，甲队的工作效率就是\(1\div10=\frac{1}{10}\)；乙队单独做15天完成，乙队的工作效率就是\(1\div15=\frac{1}{15}\)。两队合做，每天完成的工作量就是甲队工作效率与乙队工作效率之和，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。3.解答\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)\(=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}\)\(=\frac{5}{30}\)\(=\frac{1}{6}\)答：两队合做，每天完成这项工程的\(\frac{1}{6}\)。

（二）已知工作总量和工作效率，求工作时间1.例题一项工程，甲队每天完成这项工程的\(\frac{1}{8}\)，乙队每天完成这项工程的\(\frac{1}{10}\)。两队合做，完成这项工程需要多少天？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲队每天完成这项工程的\(\frac{1}{8}\)，乙队每天完成这项工程的\(\frac{1}{10}\)，那么两队合作每天完成的工作量就是\(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}\)。根据工作时间=工作总量÷工作效率，用工作总量"1"除以两队合作的工作效率，就可得到完成这项工程需要的时间。3.解答\(1\div(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})\)\(=1\div(\frac{5}{40}+\frac{4}{40})\)\(=1\div\frac{9}{40}\)\(=\frac{40}{9}\)（天）答：两队合做，完成这项工程需要\(\frac{40}{9}\)天。

（三）已知工作效率和工作时间，求工作总量1.例题一个工程队每天修路200米，修了15天，一共修了多少米？2.分析已知工程队每天修路的长度（工作效率）是200米，修路的天数（工作时间）是15天。根据工作总量=工作效率×工作时间，可求出一共修的路长。3.解答\(200×15=3000\)（米）答：一共修了3000米。

（四）合作问题1.例题一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。现在甲、乙两队合作，多少天可以完成这项工程的\(\frac{5}{6}\)？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲单独做需要12天完成，甲的工作效率就是\(1\div12=\frac{1}{12}\)；乙单独做需要18天完成，乙的工作效率就是\(1\div18=\frac{1}{18}\)。甲、乙两队合作的工作效率就是\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。要求完成这项工程的\(\frac{5}{6}\)需要的时间，根据工作时间=工作总量÷工作效率，用\(\frac{5}{6}\)除以甲、乙两队合作的工作效率。3.解答\(\frac{5}{6}\div(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})\)\(=\frac{5}{6}\div(\frac{3}{36}+\frac{2}{36})\)\(=\frac{5}{6}\div\frac{5}{36}\)\(=\frac{5}{6}×\frac{36}{5}\)\(=6\)（天）答：甲、乙两队合作6天可以完成这项工程的\(\frac{5}{6}\)。

（五）交替工作问题1.例题一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按甲、乙、甲、乙......的顺序交替工作，每次1小时，那么需要多少小时才能完成？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲单独做需要6小时完成，甲每小时的工作效率就是\(1\div6=\frac{1}{6}\)；乙单独做需要10小时完成，乙每小时的工作效率就是\(1\div10=\frac{1}{10}\)。甲、乙各做1小时看成一个循环周期，一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}\)。先求出需要几个完整的周期，再看剩余的工作量由甲还是乙来完成，进而求出总共需要的时间。3.解答一个周期完成的工作量：\(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}\)\(=\frac{5}{30}+\frac{3}{30}\)\(=\frac{8}{30}\)\(=\frac{4}{15}\)需要的周期数：\(1\div\frac{4}{15}=1×\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\)（个）3个周期完成的工作量：\(3×\frac{4}{15}=\frac{4}{5}\)剩余工作量：\(1\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)甲再做1小时完成的工作量是\(\frac{1}{6}\)，\(\frac{1}{6}>\frac{1}{5}\)，说明甲做1小时后剩余的工作量乙还需要做。乙完成剩余工作量需要的时间：\((\frac{1}{5}\frac{1}{6})\div\frac{1}{10}\)\(=(\frac{6}{30}\frac{5}{30})\div\frac{1}{10}\)\(=\frac{1}{30}\div\frac{1}{10}\)\(=\frac{1}{30}×10\)\(=\frac{1}{3}\)（小时）总共需要的时间：\(3×2+1+\frac{1}{3}=6+1+\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}\)（小时）答：需要\(7\frac{1}{3}\)小时才能完成。

三、工程问题的拓展题型及解法

（一）工作效率变化问题1.例题一项工程，甲队单独做20天可以完成。甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成。问：乙队单独完成这项工程需多少天？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲队单独做20天可以完成，甲队的工作效率就是\(1\div20=\frac{1}{20}\)。甲队做了8天，完成的工作量是\(\frac{1}{20}×8\)。那么剩下的工作量是\(1\frac{1}{20}×8\)，这部分工作量由乙队15天完成，由此可求出乙队的工作效率，进而求出乙队单独完成这项工程需要的时间。3.解答甲队8天完成的工作量：\(\frac{1}{20}×8=\frac{2}{5}\)剩下的工作量：\(1\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)乙队的工作效率：\(\frac{3}{5}\div15=\frac{3}{5}×\frac{1}{15}=\frac{1}{25}\)乙队单独完成这项工程需要的时间：\(1\div\frac{1}{25}=25\)（天）答：乙队单独完成这项工程需25天。

（二）多人合作问题1.例题一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，乙、丙两队合作需9天完成，甲、丙两队合作需15天完成。现在甲、乙、丙三队合作，需多少天完成？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。甲、乙两队合作需6天完成，甲、乙两队合作的工作效率就是\(1\div6=\frac{1}{6}\)；乙、丙两队合作需9天完成，乙、丙两队合作的工作效率就是\(1\div9=\frac{1}{9}\)；甲、丙两队合作需15天完成，甲、丙两队合作的工作效率就是\(1\div15=\frac{1}{15}\)。把上面三个工作效率相加，得到的是甲、乙、丙三队合作工作效率的2倍，再除以2就得到甲、乙、丙三队合作的工作效率，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率求出合作完成需要的时间。3.解答甲、乙、丙三队合作的工作效率：\((\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15})\div2\)\(=(\frac{15}{90}+\frac{10}{90}+\frac{6}{90})\div2\)\(=\frac{31}{90}\div2\)\(=\frac{31}{90}×\frac{1}{2}\)\(=\frac{31}{180}\)甲、乙、丙三队合作完成需要的时间：\(1\div\frac{31}{180}=\frac{180}{31}\)（天）答：甲、乙、丙三队合作，需\(\frac{180}{31}\)天完成。

（三）水管问题1.例题一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管，6小时能注满水池；单开乙管，9小时能注满水池。如果同时打开甲、乙两管，多少小时能注满水池的\(\frac{5}{6}\)？2.分析把水池的容积看成单位"1"。单开甲管，6小时能注满水池，甲管的注水效率就是\(1\div6=\frac{1}{6}\)；单开乙管，9小时能注满水池，乙管的注水效率就是\(1\div9=\frac{1}{9}\)。甲、乙两管同时开，注水效率就是\(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}\)。要求注满水池的\(\frac{5}{6}\)需要的时间，根据工作时间=工作总量÷工作效率来计算。3.解答甲、乙两管同时开的注水效率：\(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}\)\(=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}\)\(=\frac{5}{18}\)注满水池的\(\frac{5}{6}\)需要的时间：\(\frac{5}{6}\div\frac{5}{18}\)\(=\frac{5}{6}×\frac{18}{5}\)\(=3\)（小时）答：同时打开甲、乙两管，3小时能注满水池的\(\frac{5}{6}\)。

四、工程问题的解题技巧总结1.关键在于理解工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系始终牢记工作效率×工作时间=工作总量这个基本公式，并能根据题目所给条件灵活运用，通过已知的两个量求出第三个量。比如在已知工作总量和工作时间求工作效率时，直接用工作总量除以工作时间即可；已知工作效率和工作时间求工作总量时，将两者相乘；已知工作总量和工作效率求工作时间时，用工作总量除以工作效率。2.对于合作问题，要准确求出合作的工作效率合作工作效率等于各参与方工作效率之和。例如甲、乙合作完成一项工程，甲的工作效率是\(a\)，乙的工作效率是\(b\)，那么甲、乙合作的工作效率就是\(a+b\)。然后再根据工作总量、合作工作效率来计算合作完成工作所需的时间，即工作时间=工作总量÷（甲工作效率+乙工作效率）。3.面对交替工作问题，要明确循环周期及每个周期完成的工作量先确定一个循环周期内各参与方的工作情况，算出一个周期完成的工作量。用工作总量除以一个周期完成的工作量，得到完整周期的数量。再看剩余工作量由谁来完成，以及需要多长时间，最后将完整周期所用时间和剩余工作量完成时间相加，得到总的工作时间。4.遇到工作效率变化问题，要根据前后工作情况逐步分析先求出原工作效率，再根据已知条件算出工作效率变化后的工作量，进而求出变化后的工作效率，最后根据新的工作效率和剩余工作量来计算完成剩余工作所需时间。5.对于多人合作问题和水管问题，解题思路与两人合作问题类似多人合作就是把多人的工作效率相加得到合作工作效率；水管问题中进水管的注水效率为正，出水管的排水效率为负，同样通过计算各水管效率之和来确定整体的工作效率，然后依据工作总量和工作效率的关系求解工作时间。

五、工程问题练习题及答案

（一）基础练习题1.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。两人合做，几天可以完成这项工程？2.一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成。两人合做，几小时能加工完这批零件的\(\frac{3}{4}\)？3.一项工程，甲队每天完成\(\frac{1}{10}\)，乙队每天完成\(\frac{1}{15}\)。两队合做3天后，还剩下这项工程的几分之几？

（二）提高练习题1.一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2.一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？3.一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又