平面直角坐标系中的图形面积解题技巧教案

平面直角坐标系中的图形面积解题技巧教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解并掌握在平面直角坐标系中求图形面积的常见方法，如割补法、公式法等。能熟练运用这些方法准确计算各种图形（三角形、四边形等）在平面直角坐标系中的面积。2.过程与方法目标通过对不同类型例题的分析与解答，培养学生观察、分析、归纳和类比的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。引导学生经历从具体问题中抽象出数学模型，再运用模型解决问题的过程，体会数学的转化思想和数形结合思想。3.情感态度与价值观目标通过探究活动，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点掌握平面直角坐标系中求图形面积的方法，特别是割补法的运用。能根据图形的特点和已知条件，选择合适的方法准确计算图形面积。2.教学难点如何引导学生合理运用割补法，将不规则图形转化为规则图形来计算面积。培养学生在复杂图形中准确提取有效信息，灵活运用解题技巧的能力。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解平面直角坐标系中图形面积的解题方法和相关概念，使学生对基本知识有初步的认识。2.演示法：通过在黑板上或使用多媒体课件进行例题演示，直观展示解题过程和思路，帮助学生理解。3.讨论法：组织学生对一些典型例题进行讨论，鼓励学生积极发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。4.练习法：安排适量的课堂练习和课后作业，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入（5分钟）1.展示一些在平面直角坐标系中简单图形（如三角形、矩形）的图片，提问学生如何计算这些图形的面积。2.引导学生回顾三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）和矩形面积公式$S=ab$（$a$为长，$b$为宽），强调在平面直角坐标系中，这些公式仍然适用，但需要结合坐标来确定图形的边长和高。3.引出本节课的主题--平面直角坐标系中的图形面积解题技巧。

（二）知识讲解（15分钟）1.直接公式法对于一些在平面直角坐标系中位置特殊的规则图形，如平行于坐标轴的矩形、三角形等，可以直接利用面积公式求解。例如，已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则以$AB$为底，$BC$为高的矩形面积$S=|x_2x_1|\times|y_2y_1|$；以$AB$为底，$C$到$AB$的距离为高的三角形面积$S=\frac{1}{2}|x_2x_1|\times|y_2y_1|$（这里$AB$平行于$x$轴）。通过具体例子进行说明：已知$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(3,4)$，求$\triangleABC$的面积。分析：$AB$平行于$x$轴，$AB=31=2$，$C$到$AB$的距离为$42=2$。解：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2$。2.割补法对于不规则图形，通常采用割补法将其转化为规则图形来计算面积。分割法：将不规则图形分割成几个规则图形，分别计算它们的面积，再求和。例如，已知点$A(1,1)$，$B(3,1)$，$C(2,3)$，求$\triangleABC$的面积。分析：过点$C$作$CD\perpAB$于点$D$，则$\triangleABC$被分割成$\triangleACD$和$\triangleBCD$。解：$AB=31=2$，$CD=31=2$。$S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}\timesAD\timesCD=\frac{1}{2}\times1\times2=1$，$S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}\timesBD\timesCD=\frac{1}{2}\times1\times2=1$。所以$S_{\triangleABC}=S_{\triangleACD}+S_{\triangleBCD}=1+1=2$。补形法：将不规则图形补成一个规则图形，再用补成的图形面积减去补上的图形面积。例如，已知点$A(1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,2)$，求$\triangleABC$的面积。分析：延长$CA$、$CB$分别交坐标轴于点$D$、$E$，则$\triangleABC$补成了矩形$DOEC$，同时补上了$\triangleAOD$和$\triangleBOE$。解：$OD=1$，$OE=2$，$OA=1$，$OB=1$。$S_{矩形DOEC}=OD\timesOE=1\times2=2$，$S_{\triangleAOD}=\frac{1}{2}\timesOA\timesOD=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$，$S_{\triangleBOE}=\frac{1}{2}\timesOB\timesOE=\frac{1}{2}\times1\times2=1$。所以$S_{\triangleABC}=S_{矩形DOEC}S_{\triangleAOD}S_{\triangleBOE}=2\frac{1}{2}1=\frac{1}{2}$。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知点$A(2,3)$，$B(4,3)$，$C(3,1)$，求$\triangleABC$的面积。分析：$AB$平行于$x$轴，可直接利用公式计算。解：$AB=4(2)=6$，$C$到$AB$的距离为$3(1)=4$。根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times6\times4=12$。2.例2：已知点$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，求$\triangleABC$的面积。分析：采用分割法，过点$B$作$BD\perpx$轴于点$D$，过点$B$作$BE\perpy$轴于点$E$，则$\triangleABC$被分割成梯形$ACDB$和$\triangleBEC$。解：$AD=31=2$，$CD=53=2$，$BD=4$，$CE=4$，$BE=3$。$S_{梯形ACDB}=\frac{1}{2}(AD+CD)\timesBD=\frac{1}{2}(2+2)\times4=8$，$S_{\triangleBEC}=\frac{1}{2}\timesCE\timesBE=\frac{1}{2}\times4\times3=6$。所以$S_{\triangleABC}=S_{梯形ACDB}S_{\triangleBEC}=86=2$。3.例3：已知点$A(3,0)$，$B(0,4)$，$C(3,0)$，$D(0,2)$，求四边形$ABCD$的面积。分析：采用补形法，将四边形$ABCD$补成矩形$OEFH$，同时补上$\triangleAOD$、$\triangleBOC$和$\triangleBEF$。解：$OA=3$，$OB=4$，$OC=3$，$OD=2$，$OE=4$，$OF=3$，$OH=2$。$S_{矩形OEFH}=OE\timesOF=4\times3=12$，$S_{\triangleAOD}=\frac{1}{2}\timesOA\timesOD=\frac{1}{2}\times3\times2=3$，$S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}\timesOB\timesOC=\frac{1}{2}\times4\times3=6$，$S_{\triangleBEF}=\frac{1}{2}\times(42)\times(3+3)=6$。所以$S_{四边形ABCD}=S_{矩形OEFH}S_{\triangleAOD}S_{\triangleBOC}S_{\triangleBEF}=12366=3$（面积不能为负，说明计算有误，重新检查发现$S_{\triangleBEF}=\frac{1}{2}\times(4+2)\times(3+3)=18$，则$S_{四边形ABCD}=123618=15$，还是错误，再次检查发现$S_{\triangleBEF}=\frac{1}{2}\times(42)\times(30)=3$，则$S_{四边形ABCD}=12363=0$，这里应该是$S_{四边形ABCD}=S_{矩形OEFH}S_{\triangleAOD}S_{\triangleBOC}S_{\triangleBEF}=12363=0$，说明四边形$ABCD$的面积可以通过矩形面积减去周围三个三角形面积得到，$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}\times(3+3)\times(4+2)\frac{1}{2}\times3\times2\frac{1}{2}\times4\times3\frac{1}{2}\times2\times3=15$）。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知点$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(2,1)$，求$\triangleABC$的面积。2.已知点$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(0,3)$，$D(4,3)$，求四边形$ABCD$的面积。3.已知点$A(2,1)$，$B(1,3)$，$C(4,1)$，求$\triangleABC$的面积。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括平面直角坐标系中图形面积的解题方法--直接公式法和割补法。2.强调在运用割补法时，要根据图形的特点合理选择分割或补形的方式，准确计算各个部分的面积。3.提醒学生注意在计算过程中要认真仔细，避免出现计算错误。

（六）布置作业（5分钟）1.已知点$A(3,2)$，$B(1,2)$，$C(0,2)$，求$\triangleABC$的面积。2.已知点$A(1,1)$，$B(3,3)$，$C(5,1)$，$D(3,1)$，求四边形$ABCD$的面积。3.思考：如果已知平面直角坐标系中一个多边形的顶点坐标，如何用更简便的方法计算其面积？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对平面直角坐标系中的图形面积解题技巧有了较为系统的认识和掌握。在教学过程中，采用多种教学方法相结合，如讲授法、演示法、讨论法和练习法，让学生在学习过程中积极参与，提高了学生的学习兴趣和解题能力。

在讲解例题时，注重引导学生分析题目条件，选择合适的解题方法，培养了学