浙江省温州市2025届高三下学3月二模试题 数学 含解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线的一个焦点为（0，2），则A．B．C．3D．【答案】A【解析】由题意得，所以．故选择：A2．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故选择：C3．已知随机变量，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，则．故为充要条件．故选择：C4．若向量满足，则在上的投影向量是A．B．C．D．【答案】D【解析】设投影向量是，则，所以，即在上的投影向量是．1故选择：D5．已知数列满足，若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，所以．故选择：B6．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是A．B．C．D．【答案】D【解析】故选择：D7．已知函数，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】A项：，故错误；B项：，故错误；C项：，而，故正2确；D项：，无法重合，故错误．故选择：C8．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（加工过程中不计损耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①关于底面，设，则，最大内切球在内；②补成圆锥，内接四棱台延长后必交于圆锥顶点，考虑，，故，解得．故选择：C【解析二】为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为，棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则，所以球在与圆台围成部分可更大，记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于，设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切，设，则，则，所以，得．故选择：C3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知二项展开式，则A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A项：令知，正确；B项：令知①，所以，错误；C项：，所以，所以，所以，正确；D项：令知②，①+②可得：，正确．故选择：ACD10．在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如图，过点作交于点，连接，即有平面，由于，所以，若，则，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正确；若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确；假设平面，设平面，则，若平面，平面平面，所以，反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误，若，可能，也可能与相交．若与相交，由知延长必与、交于同一点，由几何关系知与不平行，故A、C错误．故选择：BD11．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行“亦或”求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态。A项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个；B项：，全零，乙胜；C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒；5D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个；故选择：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12．若复数是纯虚数，则实数．【答案】2【解析】由题意得．故答案为：213．已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点），则抛物线在处切线的斜率是．【答案】【解析】设，则，所以，解得，因为，所以，所以．故答案为：14．函数满足：①；②．则的最大值等于．【答案】【解析】设且，令，则有，即，设，则，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案为：6四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点．（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离．【解析】（1）证明：作中点，连接，则有，所以，又因为是正三角形，且为中点，因此，从而平面，所以．（2）由题，，设平面与平面夹角为，由三射线定理，解得，即，设点到平面的距离为，则．16．（本小题满分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）．（1）求该用户第3次停留在网页上的概率；（2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．【解析】．（1）．（2），所以，7所以，故该公司应该选择网页．17．（本小题满分15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围；（3）当时，解方程．【解析】（1）由题，，由于分母（对），故的正负由分子决定，记，当时，对任意有，故，即在定义域内单调递增；当时，注意到是唯一使的点，又观察到，若在区间内，由于，故，即时，，故．综上，当时，在定义域内单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在定义域内单调递增，且注意到，因此时不合题意；当时，考虑到，为使内有零点，则极小值点小于零，即，结合，则的取值范围为．（3）由题，，记上式为，则在定义域内单调递减，因此，仅有一个解，注意到待求方程，对中含的部分单独考察，即，其中关于的多项式的解为，8因此时可消去．当时，有，满足题意；当时，有，不符合题意；综上，原方程的解为．18．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知点是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为．（1）求的方程，并在图中画出该曲线；（2）直线过点，与交于，两点，（i）若，求直线的方程；（ii）若是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值．【解析】（1）设，则有，当时，；当时，，曲线如图所示．（2）（i）如图，，则．设，解得，所以，所以，所以直线方程为．（ii）由题意知，，且．设9，因为，，所以其中，所以，即，所以，所以，解得．19．（本小题满分17分）给定正数与无穷数列，若存在，当时，都有，则称数列具有性质．（1）求证：数列具有性质；（2）若无穷数列具有性质，求证：存在正数，使得；（3）若对任意正数，数列都具有性质，则称为“—数列”．若正项数列是“—数列”，试判断数列是否也是“—数列”，并证明你的结论．（注：