导学案数学第九章阶段提升课

阶段提升课题型一抽样方法的应用【典例1】一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层随机抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A.12,24,15,9 B.9,12,12,7C.8,15,12,5 D.8,16,10,6【解析】选D.因为抽样比为40800=1所以各层中依次抽取的人数分别是16020=8,32020=16,20020=10,【补偿训练】问题:①某小区有800户家庭,其中高收入家庭200户,中等收入家庭480户,低收入家庭120户,为了了解有关家用轿车购买力的某个指标,要从中抽取一个容量为100的样本;②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法:(1)简单随机抽样;(2)分层随机抽样.则问题与方法配对正确的是()A.①(1),②(2) B.①(2),②(1)C.①(1),②(1) D.①(2),②(2)【解析】选B.问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的,故可采用分层随机抽样;问题②中总体的个数较少,故可采用简单随机抽样.【总结升华】1.抽样方法有:简单随机抽样、分层随机抽样.2.两种抽样方法比较题型二用样本的取值规律估计总体的取值规律【典例2】某社区80名居民参加消防安全知识竞赛,竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计,将数据按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为4组,其频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中a的值;(2)试估计这80名居民竞赛成绩的平均分;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20%的居民开展消防安全知识讲座,求需要参加讲座的居民的分数不超过多少分.【解析】(1)依题意得,10×(0.01+0.02+0.03+a)=1,解得a=0.04.(2)这80名居民竞赛成绩的平均分为65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84(分).(3)由题中频率分布直方图可得,第一组的频率为0.01×10=0.1,前两组的频率之和为(0.01+0.02)×10=0.3.设需要参加讲座的居民的分数不超过x分,则x∈[70,80).0.02×(x70)+0.1=0.2,解得x=75.故需要参加讲座的居民的分数不超过75分.【补偿训练】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.分组[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80]企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:74≈8.602.【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y=1100×(0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.s2=1100∑i=15ni(yiy)2=1100×[(0.40)2×2+(0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,s=0.029所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.【总结升华】与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可利用频率和等于1求解.(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解.题型三样本的百分位数【典例3】某市进行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间[30,150]内,其频率分布直方图如图所示.(1)求a的值;(2)估计初赛成绩的第80百分位数是多少.【解析】(1)由频率分布直方图性质,得(0.0025+0.0075+0.0075+a+0.0125+0.0050)×20=1,所以a=0.0150.(2)初赛成绩在110分以下的频率为(0.0025+0.0075+0.0075+0.0150)×20=0.65,初赛成绩在130分以下的频率为0.65+0.0125×20=0.90,所以初赛成绩的第80百分位数一定在[110,130)内.方法一:110+0.方法二:设初赛成绩的第80百分位数是x,则有0.65+(x110)×0.0125=0.8,x=122,所以估计初赛成绩的第80百分位数是122.【补偿训练】一家商店从一家食品购进一批袋装白糖,抽取其中21袋白糖,每袋白糖的标准质量是500g,为了了解这些白糖的质量情况,称出各袋白糖的质量(单位:g)如下:486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估计这批袋装白糖的第75百分位数是________.

【解析】将样本数据按从小到大排列为484,486,487,489,493,493,495,495,496,497,498,498,498,499,499,500,503,503,504,508,509,75%×21=15.75,所以这组数据的第75百分位数为第16个数据,为500,所以估计这批袋装白糖的第75百分位数是500.答案:500【总结升华】百分位数问题处理策略(1)四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.(2)由频率分布直方图求百分位数时,一般采用方程的思想,设出第p百分位数,根据其意义列出方程求解.题型四用样本的集中趋势、离散程度估计总体【典例4】已知甲工厂生产一种内径为36.5mm的零件,为了了解零件的生产质量,从该厂的2000件零件中抽取100件,测得其内径尺寸如下(单位:mm):36.2×16,36.6×12,36.3×12,36.4×12,36.5×20,36.7×12,36.8×16.注:x×n表示有n件内径尺寸为xmm的零件.(1)求这100件零件内径尺寸的平均数x;(2)设这100件零件内径尺寸的方差为s2,试估计该厂2000件零件中其内径尺寸(单位:mm)在(xs,x+0.5s)内的件数;(3)若乙工厂也生产同种零件,为了了解零件的生产质量,从该厂的2000件零件中抽出100件,测得其内径(单位:mm)的方差为0.0405,试比较甲、乙两工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性.【解析】(1)x=1100×[(36.2+36.8)×16+(36.6+36.4)×12+(36.3+36.7)×12+36.5×20]=36.5(2)因为|36.236.5|=|36.836.5|=0.3,|36.636.5|=|36.436.5|=0.1,|36.336.5|=|36.736.5|=0.2,|36.536.5|=0,故s2=1100×(0.32×16×2+0.12×12×2+0.22×12×2)=0.0408所以s=0.0408∈(0故(xs,x+0.5s)∈(36.29,36.605),故零件内径尺寸在(xs,x+0.5s)内的频率为12+12+20+12100=0.故估计该厂2000件零件中内径尺寸在(xs,x+0.5s)内的件数为2000×0.56=1120.(3)因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差0.0408>0.0405,所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好.【补偿训练】某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩如表:成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数0006152112330(1)求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分);(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少名学生可以进入复赛?【解析】(1)x=160s2=160×[6×(46)2+15×(56)2+21×(66)2+12×(76)2+3×(86)2+3×(96)2]=1.5,所以s≈1.故样本的平均成绩为6分,标准差约为1.22分.(2)在60名学生中,有12+3+3=18(名)学生预赛成绩在7分或7分以上,所以估计210名学生中有1860故估计有63名学生可以进入复赛.【真题1】(多选)(2023·全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差【解析】选BD.对于选项A:设x2,x3,x4,x5的平均数为m,x1,x2,…,x6的平均数为n,则nm=x1+x2因为没有确定2(x1+x6),x2+x3+x4+x5的大小关系,所以无法判断m,n的大小,例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2;例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=116对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数均为x3对于选项C:因为x1是最小值,x6是最大值,则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,…,x6的波动性,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的标准差,例如:2,4,6,8,10,12,则平均数n=16(2+4+6+8+10+12)=7,标准差s11=10534,6,8,10,则平均数m=14标准差s2=14[(4-7)2+(6-7)对于选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x6x1≥x5x2,当且仅当x1=x2,x5=x6时,等号成立,故D正确.【溯源】(人教A必修二P222复习参考题9T3)如果一组数据的中位数比平均数小很多,下面哪种叙述一定是错误的?为什么?(1)数据中可能有异常值;(2)这组数据是近似对称的;(3)数据中可能有极端大的值;(4)数据中众数可能和中位数相同.【解析】当数据中存在异常值时,平均数不能体现总体的特征.当中位数比平均数小很多时可能出现了异常值,所以(1)正确;当数据近似对称时,平均数与中位数应接近相等,所以(2)是错误的;当数据中出现极端大的值时,平均数会大于中位数,所以(3)是正确的;当众数与中位数相同时,若其余值大于中位数,则中位数小于平均数,所以(4)可能正确.综上可知,(2)是错误的.[点评]教材习题考查了平均数、中位数在统计中的应用,各个数据对总体的影响.高考真题是在教材基础上的改编,体现高考真题源于教材、高于教材的特点,也体现了平时教学和学习回归教材的重要性.【真题2】(2019·全国Ⅰ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差【解析】选A.根据题意,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分,7个有效评分与9个原始评分相比,最中间的一个数不变,即中位数不变.【溯源】(人教A必修二P209练习T3)某校举行演讲比赛,10位评委对两位选手的评分如下:甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后,剩下8个评分的平均数.那么,这两个选手的最后得分是多少?若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,两位选手的排名有变化吗?你认为哪种评分办法更好?为什么?【解析】甲选手的最后得分为18×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8乙选手的最后得分为18×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.0625若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,则甲选手的得分为110×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.乙选手的得分为110×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05去掉最高分与最低分时,甲的得分小于乙的得分,即乙的排名靠前;若直接用评委评分的平均数作为得分,则甲