数学知识巧解学案：简单的三角恒等变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、半角的三角函数1。在倍角公式cos2α=1—2sin2α=2cos2α—1中，以α代替2α，以代替α,将得出sin=±,，，我们称之为半角公式,它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的。其正负号的选取由所在的象限确定.2。对于半角的切函数，还可写成，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明,即.同理，可把的分子、分母同乘以2sin，即可化成.也可从半角的切函数出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值。由于，∴|tan|=。∵sinα=2sincos=2tan·cos2，∴sinα与同号.又∵1+cosα〉0,∴。同理，若把的分子、分母同乘以1—cosα，可转化成.我们也把，称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的。3.对于半角公式,也必须明确“半角”是相对而言，不能认为才是半角。如2α是4α的半角、是3α的半角；反之,、2α分别是、α的倍角。正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.学法一得关于半角正切的三个公式：公式不带有根号,而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：和的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠（2k+1)π（k∈Z)，而第一个公式除α≠（2k+1)π(k∈Z）之外,还必须有α≠2kπ（k∈Z）。当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用。误区警示当所在的象限无法确定时，应保留根号前面的正、负两个符号；当α或的大小确定时,应根据所在的象限,确定根号前的正负号。二、积化和差公式1.公式：sinαcosβ=[sin(α+β）+sin（α—β）］；cosαsinβ=[sin(α+β）—sin(α-β)］；cosαcosβ=［cos(α+β）+cos(α-β）］;sinαsinβ=［cos（α+β）-cos（α—β）］.2.公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。如第一个公式，可以由S（α+β）+S（α—β)产生,因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ，所以sin（α+β）+sin(α-β）=2sinαcosβ，两边同除以2即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得。3。公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。记忆要诀积化和差公式可按如下方法记忆：(1)“+”两角的正弦、余弦的积都可化为［f（α—β）±f(α+β）］的形式.（2)如果两角的函数同为正弦或余弦,则“f”表示余弦;如果一个为正弦一个为余弦,则“f"表示正弦.（3)当左边含有余弦函数时，右边中间取“+”，否则取“-"。三、和差化积公式1.公式：sinx+siny=;sinx-siny=;cosx+cosy=;cosx-cosy=。2.公式推导：在积化和差公式中，令α+β=x,α—β=y，从而α=，β=,将上述值代入公式，即有，所以sinx+siny=，这就是和差化积公式中的第一个，其他公式同理可得。3。三角函数的和差化积公式与积化和差公式实质上是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.辨析比较①积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。②只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.③另外对三角函数的和差化积可以理解为代数中的因式分解.因此,因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.四、辅助角公式一般地，通过三角变换，可把形如y=asinx+bcosx的函数转化为y=sin（x+θ)，其中sinθ=，cosθ=的形式.证明：如图3—2—1,设点P（a，b)是角θ终边上一点,则cosθ=，sinθ=。图3—2-1于是=(cosθsinx+sinθcosx）=sin（x+θ）。其中sinθ=,cosθ=.特别地，当=±1，±，±时，θ是一特殊角,θ所在的象限由点P（a，b)所在的象限唯一确定，可先由tanφ=｜｜找到一个符合条件的锐角，再由诱导公式导出一个符合条件的角.学法一得利用上述公式可把形如asinx+bcosx的三角函数式转化成一个角的一个函数的形式，对我们研究函数的最值、周期、单调区间、对称中心、对称轴等都是大有裨益的。典题•热题知识点一半角公式的应用例1已知sin2010°=—,求sin1005°，cos1005°，tan1005°的值。解:∵2010°=5×360°+210°是第三象限的角，∴cos2010°=.又∵1005°=2×360°+285°是第四象限的角，∴，，.例2求的值.解:由于，∴.由于,∴.例3已知sin2α=,π＜2α＜，求tanα。解：∵π＜2α＜,∴＜α＜。由，得或；或.方法归纳①已知角α所在的象限，则所在的象限是角α的平分线及其反向延长线所在的象限.当α位于一、二象限时，位于一、三象限；当α位于三、四象限时，位于二、四象限。②已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式或可避开符号的讨论。③若角α的倍角2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把2α与的角的函数值连在一起.知识点二积化和差公式的应用例4求下列各式的值:(1）;(2)2cos50°cos70°—cos20°。解：（1）。巧解提示：。（2)原式=cos（50°+70°)+cos（50°-70°)-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=—cos60°=.例5求证：（1）sin80°cos40°=；(2)sin37。5°sin22。5°=+cos15°。证明：(1)左边=［sin（80°+40°）+sin(80°-40°)］=（sin120°+sin40°）=sin40°=右边,所以原式成立。（2）左边=-［cos(37.5°+22。5°）-cos（37.5°—22.5°）］=(cos60°—cos15°)=cos15°=右边，所以等式成立.方法归纳①只有同名或异名弦函数积的形式,才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了（α±β)这样的角。②在积化和差的过程中，构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同,但最终结果是相同的。③三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中的应用。知识点三和差化积公式的应用例6求下列各式的值：cos75°—cos15°；(2).解:(1）cos75°—cos15°=-2sin45°sin30°=.巧解提示:cos75°-cos15°=cos（45°+30°)-cos(45°—30°）=—2sin45°sin30°=.(2)原式=。例7求证：(1）cos40°-cos80°=sin20°；（2）.证明：(1）左边==-2sin60°sin（—20°）=sin20°=右边.所以原式成立。（2）右边=左边。所以原式成立。方法归纳①只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积,化积后实现了角的重组,出现了这样的角。②在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式,当进行积化和差时,应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合;当进行和差化积时,应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合。③积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，也是进行三角恒等变换的工具。例8求函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x的最小正周期与最小值，并写出该函数在［0,π]上的单调增区间。思路分析:本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征,先用a2-b2=（a+b）(a-b），再用asinθ+bcosθ=sin(θ+φ)求解.解:y=sin4x-cos4x+sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x—cos2x）+sin2x=3sin2x—cos2x=2（sin2x—cos2x）=2sin(2x—）。该函数的最小正周期是π,最小值是-2.令2kπ-≤2x—≤2kπ+，得kπ—≤x≤kπ+，k∈Z.取k=0，得—≤x≤；取k=1，得.由于0≤x≤π,所以该函数在［0，π］上的增区间是［0，］或［，π].例9设函数f(x）=a·b，其中向量a=(2cosx,1)，b=(cosx，sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1-且x∈[，］,求x；(2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m｜＜)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本小题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力。解：(1）依题设，f(x）=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2(cos2x+sin2x）=1+2sin(2x+).由1+2sin（2x+）=1-，得sin(2x+）=.∵-≤x≤,∴—。∴2x+=，即x=-.（2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x—m)+n的图象，即函数y=f（x）的图象。由（1)得f（x)=2sin2(x+）+1。∵|m|＜，∴m=，n=1。方法归纳①为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式或使辅助角θ是一锐角的形式。辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把y=asinωx+bcosωx的函数式转化为y=Asin（ωx+φ)的形式,以进一步研究函数的性质。②一般地，函数y=asinωx+bcosωx，x∈R的最大值是,最小值是;周期是；可把化简后的解析式y=sin(ωx+φ）的“ωx+φ"，ω>0视为一个整体,结合初等三角函数的性质求单调区间。问题•探究思想方法探究问题积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆