数学知识导引简单随机抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精6.1抽样方法在抽样调查中,样本的选择是至关重要的.样本能否代表总体,直接影响着统计结果的可靠性.我们知道为了判断一锅汤的味道如何,如果锅里的汤被充分搅拌了，那么我们只需品尝一勺就可以了.同样，高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体。如果我们能够设法将总体“搅拌均匀",那么从总体中任意抽取一部分个体的样本,它们含有与总体基本相同的信息.总之，为了使样本具有好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是要将总体“搅拌均匀"，即使每个个体有同样的机会被抽到.下面介绍的抽样方法都是以此作为出发点的.6.1．1简单随机抽样案例探究假设你作为一个产品质量检查员，要考察某公司生产的一批300克袋装牛奶的质量是否达标，你准备怎样做?分析：显然，你只能从中抽取一定数量的牛奶作为检验的样本(为什么？）.那么应当怎样获取样本呢?设计抽样方法时，在考虑样本代表性的前提下,应尽量使抽样过程简便易行.获得样本牛奶的一个方法就是，将这批袋装牛奶“搅拌均匀”,然后不放回的摸取（以保证每袋牛奶被抽中的机会相等）这样我们就可以得到一个简单的随机样本，这样的抽样方法就是简单随机抽样.一般地，设一个总体的个体总数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本，且每次抽取时总体的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.事实上:用简单随机抽样的方法从个体数为N的总体中逐次抽取一个容量为n的样本，那么每次抽取时，各个个体被抽到的机会相等，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会都等于。由于简单随机抽样体现了抽样的客观性和公平性,且这种抽样方法比较简单，所以成为一种基本的抽样方法.如何实施简单抽样呢？下面介绍两种常用方法。（1）抽签法先将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，对个体编号时，也可以利用已有的编号,例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等。(2）随机数表法下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，在利用随机数表抽取这个样本时，可以按下面的步骤进行：第一步，先将40件产品编号，可以编为00，01,02，…，38,39；第二步，在附录1随机数表中任意选一个数作为开始，例如从第8行第5列的数59开始，为便于说明,我们将附录1中的第6行至第10行摘录如下：1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步，从选定的数59开始向右读下去,得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继续向右读，得到16，将它取出；继续下去，又得到19，10,12，07，39,38，33,21，随后的两位数字号码是12，由于它在前面已经取出，将它去掉,再继续下去，得到34。至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16191012073938332134.注：将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如N＝100时编号可以是00，01,02，…，99,这样总体中的所有个体均可用两位数字号码表示，便于运用随机数表。当随机地选定开始读数的数后,读数的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等。在上面每两位地读数过程中，得到一串两位数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码.由于随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等可能的，每次读到哪一个两位数字号码,即从总体中抽到哪一个个体的号码也是等可能的。因而利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的可能性相等.自党导引1．在统计中,总体、个体、样本、样本容量分别指的是什么？为什么通常是从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？答案：在统计中，所有考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。由于我们所要考察的总体中的个体数往往很多,且有时虽然总体中的个体数目不是很多，但考察时带有破坏性,因此通常是从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体.2．为了了解某校高一学生在2005～2006学年度第二学期期末考试情况,要从该年级800名学生中抽取200名进行数据分析,则在这次考察中，考察的总体数为800,样本容量为200.3．某地有2000人参加自学考试,为了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的机率都是百分之四，则这个样本的容量是80。4.下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？说明理由。(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；（2）盒子里共有100个零件，从中选取8个零件进行质量检测,在抽样操作时,从中任意抽取一个零件进行检测后再把它放回盒子里.答案：（1）不是简单随机抽样，由于被抽去样本的总体的个数是无限的,而不是有限的。（2)不是简单随机抽样，由于它是放回抽样。5。为了检验某种产品个体质量，决定从60件产品中抽取15件进行检查，请利用随机数表法进行抽选，并写出抽样过程。分析：依据随机数表抽去样本的三个步骤.解：第一步,现将60件产品编号,可以编为00，01，02，03,…，58,59.第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第7行第9列的数3．第三步，从选定的数3开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下）,两位、两位地读，得到一个两位数字31．由于31〈59，说明号码31在总体内，将它取出;继续向右读数，又取出57、24、55、06当读到88时，由于88>59，将它去掉，再依次取下去，77〉59,也将它去掉,依次再取出04、47、21、33、50、25、12当读到06时，它与前面的重复，将它取掉,再继续取下去，直到样本的15个号码全部取出.这样我们就得到一个样本容量为15的样本。疑难剖析1．随机抽样：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的,样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。因此抽样时要保证每一个个体都可能被抽到，而且每一个个体被抽到的机会是均等的。满足这样条件的抽样是随机抽样.2．简单随机抽样的特点：（1）它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.（2）它是从总体中逐个地进行抽取.这样便于在抽样实践中进行操作.（3)它是一种不放回抽样.由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体,便于进行有关的分析和计算。（4）它每次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，从而保证了这种抽样方法的公平性。【例1】下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么?（1）从100个个体中一次性抽取10个个体作为样本。(2)从无限多个个体中抽取30个作为样本。（3）盒子里共有80枝钢笔，今从中选取8个进行检测，在抽样操作时，从中任意的拿出一个钢笔进行质量检测后再把它放回箱子里.思路分析：考查对简单随机抽样的定义及特点的理解和掌握.第（1）题中的“一次性”抽取不符合简单随机抽样的定义。第（2）题中的样本总体个数不是有限个.第（3)题中“放回抽样”不符合简单随机抽样的“不放回抽样”的特点.解：(1）不是简单随机抽样，它是一次性抽取,不是逐个抽取,不符合简单随机抽样的定义.(2）不是简单随机抽样，因为抽取的样本的总体的个数是无限的而不是有限的.（3）不是简单随机抽样，因为它是放回抽样，这不符合简单随机抽样“不放回抽样”的特点。思维启示：“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体抽到的可能性，但“一次性“抽取不符合简单随机抽样的定义.这就要求我们必须搞清楚简单随机抽样的定义。3．抽签法的优缺点：优点:简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于搅拌均匀的状态比较容易，这时每个个体有均等的机会被抽到，即抽签法能保证每一个个体入选样本的机会都相等,从而能保证样本的代表性。（得到样本是简单随机抽样）。缺点：(1）当总体的个数较多时，对个体编号的工作量太大，制作号签的成本将会增加，使得抽签法成本高(费时、费力）.（2）号签很多时把它“搅拌均匀”就很困难，结果很难保证每个个体入选样本的可能性相等，从而使产生坏样本（即代表性差的样本）的可能性增加。【例2】某车间有80名工人，为了了解该车间工人工作能力、态度等各个方面的情况,要从中抽取一个容量为20的样本,用抽签法确定抽取的工人。思路分析:考查抽签法抽取样本步骤及特点:这是一个用抽签法从容量为80的总体中抽取一个容量为20的样本的案例,用抽签法的步骤设计.解：（1)将80名工人编号，分别为1、2、3、…80.（2)将这80个号码分别写在相同的80张纸片上.(3）将这80张纸片放在一个盒子里搅拌均匀,抽出一张纸片记下上面的号码,然后再搅拌均匀，继续抽出第二张纸片，记下号码.重复这个过程直到取满20个号码时终止。于是和这20个号码对应的20个工人就构成了一个简单随机抽样.思维启示：抽签法简便易行，当总体的个体数不多时,适宜采用这种方法.4.随机数表法抽取样本的优点和缺点：优点:与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间。缺点：产生的样本不是真正的简单样本。拓展迁移【拓展点1】从某电动车厂生产的30辆电动车中,随机的抽取3辆进行测试，请合理选择抽样方法进行抽样,并写出抽样过程.思路分析：因为总体容量较小，样本容量也较小,可用抽签法进行抽样.解析：(1）将30辆电动车用随机方式编号，分别为01、02、03、…30.（2）将这30个号码分别写在相同的30张纸片上.（3)将这30张纸片放在一个盒子里搅拌均匀，抽出一张纸片记下上面的号码,然后再搅拌均匀，继续抽出第二张纸片，记下号码.重复这个过程直到取满3个号码时终止.(4）从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出.这样就得到了所要抽取的样本。思维启示：一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易搅拌均匀.一般地，当总体容量较小，样本容量也较小时，可用抽签法。【拓展点2】从某电动车厂生产的3000辆电动车中,随机的抽取10辆进行测试,请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程。思路分析：因为总体容量较大，若用抽签法，制签复杂，将号签搅匀也不容易，所以可用随机数法进行抽样.解析:第一步：将3000辆电动车用随机方式编号，分别为000