2025年河北唐山市3月高三押题测试卷(1)数学试题(理工农医类)试题含解析_第1页
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文档简介

2025年河北唐山市3月高三押题测试卷(1)数学试题(理工农医类)试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.2.已知向量,,则与共线的单位向量为()A. B.C.或 D.或3.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.4.的展开式中的项的系数为()A.120 B.80 C.60 D.405.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4006.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.7.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.09.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.10.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误12.已知函数的图象如图所示,则可以为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为锐角,若,则的值为____________.14.已知复数,且满足(其中为虚数单位),则____.15.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设为曲线上的动点,求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.16.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M

),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1

(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.18.(12分)如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱.(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥外接球的体积.19.(12分)已知函数(),且只有一个零点.(1)求实数a的值;(2)若,且,证明:.20.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)曲线在点处的切线斜率为.(i)求;(ii)若,求整数的最大值.21.(12分)已知.(1)解关于x的不等式:;(2)若的最小值为M,且,求证:.22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在上存在两个极值点,,且,证明.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

解:当直线过点时,最大,故选B2.D【解析】

根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【详解】因为,,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得或所以与共线的单位向量为或.故选:D.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.3.C【解析】

利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。4.A【解析】

化简得到,再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选:本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.5.B【解析】

设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.6.A【解析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.7.C【解析】

设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.8.B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.9.C【解析】

利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故选:.本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.10.C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).11.A【解析】

利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.12.A【解析】

根据图象可知,函数为奇函数,以及函数在上单调递增,且有一个零点,即可对选项逐个验证即可得出.【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断,可知,为偶函数,不符合题意,排除B;其次,在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断,在上无零点,不符合题意,排除D;然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断,在上单调递减,不符合题意,排除C.故选:A.本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

∵为锐角,,∴,∴,,故.14.【解析】

计算出,两个复数相等,实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.【详解】,所以,所以.故答案为:-8此题考查复数的基本运算和概念辨析,需要熟练掌握复数的运算法则.15.(1),;(2),.【解析】

(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程;(2)利用参数方程,结合点到直线的距离公式,将问题转化为求解二次函数最值的问题,即可求得.【详解】(1)直线的普通方程为.在曲线的参数方程中,,所以曲线的普通方程为.(2)设点.点到直线的距离.当时,,所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.本题考查将参数方程转化为普通方程,以及利用参数方程求距离的最值问题,属中档题.16.【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得,交圆于点,所以,建立等式,两式作商即可得解.【详解】设,交圆于点,所以易知:即.故答案为:此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论,若能熟记常见二级结论,此题可以简化计算.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析,,x[0,1];(2)P(,)时,视角∠EPF最大.【解析】

(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系,设出方程,通过点的坐标可求方程;(2)设出的坐标,表示出,利用基本不等式求解的最大值,从而可得观测点P的坐标.【详解】(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1];(2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,则:,当且仅当即,即,即时取等号;故P(,)时视角∠EPF最大,答:P(,)时,视角∠EPF最大.本题主要考查圆锥曲线的实际应用,理解题意,构建合适的模型是求解的关键,涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.18.(1)见解析;(2).【解析】

(1)设中点为,连接、,利用等腰三角形三线合一的性质得出,利用勾股定理得出,由线面垂直的判定定理可证得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先确定三棱锥的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半径,再由球体的体积公式可求得结果.【详解】(1)设中点为,连接、,因为,所以.又,所以,又由已知,,则,所以,.又为正三角形,且,所以,因为,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜边的中点,所以点是的外心,由(1)知平面,所以三棱锥的外接球的球心在上.在中,的垂直平分线与的交点即为球心,记的中点为点,则.由与相似可得,所以.所以三棱锥外接球的体积为.本题考查面面垂直的证明,同时也考查了三棱锥外接球体积的计算,找出外接球球心的位置是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)求导可得在上,在上,所以函数在时,取最小值,由函数只有一个零点,观察可知则有,即可求得结果.(2)由(1)可知为最小值,则构造函数(),求导借助基本不等式可判断为减函数,即可得,即则有,由已知可得,由,可知,因为时,为增函数,即可得证得结论.【详解】(1)().因为,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函数在时,取最小值,当最小值为0时,函数只有一个零点,易得,所以,解得.(2)由(1)得,函数,设(),则,设(),则,,所以为减函数,所以,即,所以,即,又,所以,又当时,为增函数,所以,即.本题考查借助导数研究函数的单调性及最值,考查学生分析问题的能力,及逻辑推理能力,难度困难.20.(1)在上增;在上减;(2)(i);(ii)2【解析】

(1)求导求出,对分类讨论,求出的解,即可得出结论;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求问题转化为,恒成立,设,,只需,根据的单调性,即可求解.【详解】(1)当时,,即在上增;当时,,,,,即在上增;在上减;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.当时,,在单调递增,所以满足题意;当时,,,,所以在上减,在上增,令,..在单调递减,所以所以在上单调递减,,综上可知,整数的最大值为.本题考查函数导数的综合应用,涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立,考查分类讨论思想,属于中档题.21.(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)分类讨论求解绝对值不等式即可;(2)由(1)中所得函数,求得最小值,再利用均值不等式即可证明.【详解】(1)当时,等价于,该不等式恒成立,当时,等价于,该不等式解集为,当时,等价于,解得,综上,或,所以不等式的解集为.(2),易得的最小值为1,即因为,,,所以,,,所以,当且仅当时等号成立.本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式,涉及利用均值

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